1 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
2 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|-\left|-49\right|\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|-\left|-49\right|\right| = \left|-49\right| = 49\)
3 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| \leq 2\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(2\) أو تساويه.
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).
\(\left\{0 \;;\; 1 \;;\; 2\right\}\)
4 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(2\) ، يصعد 5 طوابق ثمّ يصعد 4 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12 +13 +14 +15 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(2+5+4+3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(2+5+4+3=14\) أي في الطابق 14 فوق الأرضي.
5 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{\dfrac{36}{4} \;;\; 0 \;;\; \dfrac{406102}{8} \;;\; 1\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x\) عدد صحيح نسبي. ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{406102}{8}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{\dfrac{36}{4} \;;\; 0 \;;\; \dfrac{406102}{8} \;;\; 1\right\} \not\subset \mathbb{Z}\).
6 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-5\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل .
📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = -\left(-5\right) = 5\)
7 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(-42\) هو \(42\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
8 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z}^{-} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \leq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\left|-3\right|=3\)
العدد \(\dfrac{1}{7}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \leq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{-11 \;;\; -9 \;;\; -5 \;;\; -4\right\}\)
9 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{+*} = \cdots\)
\(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x > 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x > 0\).
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^{+*} = \mathbb{Z}^{+*}\)
10 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق الأرضي.
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق الأرضي هو نقطة الانطلاق، يوافقه العدد \(0\)، وهو لا موجب ولا سالب.
11 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(0 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{*}\) هو : \(x \neq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) لا يحقّق الشرط \(x \neq 0\) ، إذن \(0 \notin \mathbb{Z}^{*}\).انتبه : النجمة \(*\) تعني « بدون الصفر ».
12 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}^{-}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(1 \in \mathbb{Z}^{+*}\) و \(1 \notin \mathbb{Z}^{-}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+*} \not\subset \mathbb{Z}^{-}\).
13 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(-3\) وفاصلة \(B\) هي \(-9\).
-11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|-9 - \left(-3\right)\right| = \left|-6\right| = 6\)
14 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+*} \;\cdots\; \mathbb{N}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{N}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+*}\) يحقّق شرط \(\mathbb{N}\) وهو \(x \geq 0\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{N}\).
15 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :لا يوجد مقابلها في القائمة.
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(13\) و \(-13\) ، \(10\) و \(-10\).
\(\left\{-41 \;;\; -34\right\}\)
16 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 8\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(8\) هما \(8\) و \(-8\).
\(\left\{-8 \;;\; 8\right\}\)
17 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^{+*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \geq 0\) و \(x > 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x \geq 0\) و \(x > 0\).
\(\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^{+*} = \mathbb{Z}^{+*}\)
تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).
18 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{0 \;;\; \dfrac{-9}{3} \;;\; \left|-3\right| \;;\; 11\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \neq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(0\) يساوي \(0\) وهو لا يحقّق \(x \neq 0\) ، إذن \(\left\{0 \;;\; \dfrac{-9}{3} \;;\; \left|-3\right| \;;\; 11\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).
19 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 11 فوق الطابق الأرضي.
-12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10 +11 +12
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي فوق الأرضي تُرقَّم بأعداد موجبة، إذن الطابق هو \(+11\) أي \(11\).
20 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(0 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{*}\) هو : \(x \neq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) لا يحقّق الشرط \(x \neq 0\) ، إذن \(0 \notin \mathbb{Z}^{*}\).انتبه : النجمة \(*\) تعني « بدون الصفر ».