1 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|2\right| + \left|-10\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|2\right| + \left|-10\right| = 2+10 = 12\)
2 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(-41\) هو \(41\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
3 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(12\).
العدد الأوّل العدد الثاني تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.
📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 12\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(12\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|12\right| = 12 \quad\text{و}\quad \left|-12\right| = 12\)
إذن العددان هما \(12\) و \(-12\) ، وهما متقابلان.
4 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 1\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(1\) هما \(1\) و \(-1\).
\(\left\{-1 \;;\; 1\right\}\)
5 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(-2\) ، يصعد 3 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق ثمّ ينزل 5 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(\left(-2\right)+3+3-5\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(\left(-2\right)+3+3-5=-1\) أي في الطابق 1 تحت الأرضي.
6 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(7\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(I\) فاصلتها \(1\) ، وهي منتصف \(\left[AA'\right]\).
📝 الطريقة : إذا كان \(I\) منتصف \(\left[AA'\right]\) فإنّ \(x_{A'} = 2 \times x_I - x_A = 2 - x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = 2 - 7 = -5\)
تحقّق : \(IA = IA' = 6\).
7 — المصعد — ترقيم الطوابق يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(6\).
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).
📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق \(6\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(6\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.
8 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{+}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{Z}^{+}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
9 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}^{*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+*}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}^{*}\) وهو \(x \neq 0\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}^{*}\).
10 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{4{,}5 \;;\; 3 \;;\; -7\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x > 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(4{,}5\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{4{,}5 \;;\; 3 \;;\; -7\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
11 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(9 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(9\) يحقّق الشرط \(x \geq 0\) ، إذن \(9 \in \mathbb{Z}^{+}\).
12 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{0\right\} \cup \mathbb{Z}^{-} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{-}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x = 0\) أو \(x \leq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق
أحد الشرطين على الأقلّ : \(x = 0\) أو \(x \leq 0\).
\(\left\{0\right\} \cup \mathbb{Z}^{-} = \mathbb{Z}^{-}\)
13 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : الأعداد \(\dfrac{1}{7}\) ، \(\dfrac{3}{2}\) ليست أعداداً صحيحة نسبية.
الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-11 \;;\; -10 \;;\; -8 \;;\; -4 \;;\; -1 \;;\; 0 \;;\; 1\right\}\)
14 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) التالي :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الفاصلة تُقرأ انطلاقاً من \(O\) : الوحدة هي المسافة \(OI\).
📝 الطريقة : عُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، وضع الإشارة \(-\) إذا كانت النقطة على يسار \(O\).
✅ الحلّ الكامل : النقطة \(A\) تبعد عن \(O\) بـ \(2\) على اليمين ، إذن \(x_A = 2\).
15 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{0 \;;\; -13 \;;\; -6 \;;\; -9 \;;\; -5\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x > 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(0\) يساوي \(0\) وهو لا يحقّق \(x > 0\) ، إذن \(\left\{0 \;;\; -13 \;;\; -6 \;;\; -9 \;;\; -5\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
16 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}^{*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\emptyset\) \(\left\{0\right\}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x\) عدد صحيح نسبي أو \(x \neq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق
أحد الشرطين على الأقلّ : \(x\) عدد صحيح نسبي أو \(x \neq 0\).
\(\mathbb{Z} \cup \mathbb{Z}^{*} = \mathbb{Z}\)
17 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(-\left|-7\right| \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) هو : \(x \leq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(-\left|-7\right|=-7\).
18 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(17 \;;\; -17\right)\) ، \(\left(3 \;;\; -3\right)\) ، أي \(2\) أزواج.
19 — المصعد — ترقيم الطوابق يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(-8\).
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).
📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق \(-8\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(8\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.
20 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\) و في \(B\) في آن واحد.
✅ الحلّ الكامل : الأعداد \(\dfrac{3}{2}\) ، \(-3{,}5\) ليست أعداداً صحيحة نسبية.
التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\)
و في \(B\) في آن واحد.
\(\left\{0\right\}\)