1 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{0 \;;\; -1 \;;\; -\left(-4\right)\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x\) عدد صحيح نسبي. ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عناصر المجموعة تحقّق الشرط \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\left\{0 \;;\; -1 \;;\; -\left(-4\right)\right\} \subset \mathbb{Z}\).
2 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(5\) وفاصلة \(B\) هي \(6\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|6 - 5\right| = \left|1\right| = 1\)
3 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) : فاصلات النقاط \(A\) و \(B\) و \(C\) و \(D\) هي على التوالي \(-3\) و \(-1\) و \(2\) و \(3\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : في المعيّن \(\left(B;A\right)\) تصبح \(B\) هي المبدأ و \(A\) هي نقطة الوحدة.
📝 الطريقة : الوحدة الجديدة هي \(BA\) ، والفاصلة الجديدة تُحسب بـ \(\dfrac{x_M - x_{B}}{x_{A} - x_{B}}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\dfrac{-3 - \left(-1\right)}{-3 - \left(-1\right)} = \dfrac{-2}{-2} = 1\)
4 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(5\) ، يصعد 5 طوابق ثمّ ينزل 6 طوابق ثمّ يصعد 3 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(5+5-6+3\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(5+5-6+3=7\) أي في الطابق 7 فوق الأرضي.
5 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|56\right| + \left|-10\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|56\right| + \left|-10\right| = 56+10 = 66\)
6 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :لا يوجد مقابلها في القائمة.
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(59\) و \(-59\) ، \(38\) و \(-38\).
\(\left\{-19 \;;\; 31 \;;\; 35\right\}\)
7 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 1 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-1\).
8 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{Z}^{*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(0 \in \mathbb{Z}^{+}\) و \(0 \notin \mathbb{Z}^{*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).
9 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cup B = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
✅ الحلّ الكامل : الاتّحاد : كلّ عناصر \(A\) وكلّ عناصر \(B\) دون تكرار.
\(\left\{-11 \;;\; -6 \;;\; -2 \;;\; 0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 8 \;;\; 9 \;;\; 11\right\}\)
10 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 0\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : العدد الوحيد الذي قيمته المطلقة \(0\) هو \(0\).
\(\left\{0\right\}\)
11 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{-}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)
12 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\dfrac{1}{4} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+*}\) هو : \(x > 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(\dfrac{1}{4}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\dfrac{1}{4} \notin \mathbb{Z}^{+*}\).
13 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{N}^{*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x > 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x\) عدد صحيح نسبي و \(x > 0\).
\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{N}^{*} = \mathbb{Z}^{+*}\)
تذكّر : \(\mathbb{N}^{*} = \mathbb{Z}^{+*}\).
14 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|\left|36\right| - \left(-31\right)\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|\left|36\right| - \left(-31\right)\right| = \left|36 - \left(-31\right)\right| = \left|67\right| = 67\)
15 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left|-5\right| \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\left|-5\right|=5\).
16 — المصعد — ترقيم الطوابق يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(-5\).
-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).
📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق \(-5\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(5\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.
17 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{*} \cap \mathbb{Z} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{+*}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \neq 0\) و \(x\) عدد صحيح نسبي.
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x \neq 0\) و \(x\) عدد صحيح نسبي.
\(\mathbb{Z}^{*} \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^{*}\)
18 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{-}\) \(\mathbb{Z}^{*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\)
موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
\(\mathbb{Z}^{+}\)
19 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :لا يوجد مقابلها في القائمة.
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(5\) و \(-5\) ، \(40\) و \(-40\) ، \(51\) و \(-51\).
\(\left\{-27 \;;\; -9 \;;\; 13\right\}\)
20 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{N} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{N}\) : الأعداد الصحيحة الطبيعية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}^{-*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(1 \in \mathbb{N}\) و \(1 \notin \mathbb{Z}^{-*}\) ، إذن \(\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).