1 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{-}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)
2 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{+*} \cup \mathbb{N} = \cdots\)
\(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x > 0\) أو \(x \geq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق
أحد الشرطين على الأقلّ : \(x > 0\) أو \(x \geq 0\).
\(\mathbb{Z}^{+*} \cup \mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\)
تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).
3 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(-\left|-7\right|=-7\)
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{6\right\}\)
4 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 0\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : العدد الوحيد الذي قيمته المطلقة \(0\) هو \(0\).
\(\left\{0\right\}\)
5 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(8 \;;\; -8\right)\) ، \(\left(25 \;;\; -25\right)\) ، أي \(2\) أزواج.
6 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{\dfrac{3}{7} \;;\; -10 \;;\; 0\right\} \;\cdots\; \mathbb{N}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{3}{7}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{\dfrac{3}{7} \;;\; -10 \;;\; 0\right\} \not\subset \mathbb{N}\).
7 — المصعد — ترقيم الطوابق يتوقّف المصعد في الطابق رقم 3 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-3\).
8 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|-42 - 19\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|-42 - 19\right| = \left|-61\right| = 61\)
9 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-2\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.
📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-2\right|\).
✅ الحلّ الكامل : \(OA = \left|-2\right| = 2\)
المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.
10 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) التالي :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الفاصلة تُقرأ انطلاقاً من \(O\) : الوحدة هي المسافة \(OI\).
📝 الطريقة : عُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، وضع الإشارة \(-\) إذا كانت النقطة على يسار \(O\).
✅ الحلّ الكامل : النقطة \(A\) تبعد عن \(O\) بـ \(0\) على اليمين ، إذن \(x_A = 0\).
11 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\sqrt{9} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{*}\) هو : \(x \neq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : نبسّط أوّلاً : \(\sqrt{9}=3\).
12 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(1\) ، ينزل 6 طوابق ثمّ يصعد 6 طوابق ثمّ ينزل 4 طوابق.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(1-6+6-4\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(1-6+6-4=-3\) أي في الطابق 3 تحت الأرضي.
13 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{N}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{N}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+}\) يحقّق شرط \(\mathbb{N}\) وهو \(x \geq 0\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{N}\).ملاحظة : هاتان المجموعتان متساويتان : \(\mathbb{Z}^{+} = \mathbb{N}\) ، وكلّ مجموعة محتواة في نفسها.
14 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) \(M\) نقطة من المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) حيث \(OM = 4\).
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك نقطتان تبعدان عن نقطة معلومة بنفس المسافة : واحدة يميناً وأخرى يساراً.
📝 الطريقة : نضيف \(4\) إلى فاصلة \(O\) ثمّ نطرحها منها.
✅ الحلّ الكامل : \(x_M = 0 + 4 = 4 \quad\text{أو}\quad x_M = 0 - 4 = -4\)
إذن للمسألة
حلّان .
15 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{N} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{N}\) : الأعداد الصحيحة الطبيعية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}^{*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(0 \in \mathbb{N}\) و \(0 \notin \mathbb{Z}^{*}\) ، إذن \(\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).
16 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{0\right\} \cap \mathbb{Z} = \cdots\)
\(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\mathbb{Z}^{+*}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x = 0\) و \(x\) عدد صحيح نسبي.
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x = 0\) و \(x\) عدد صحيح نسبي.
\(\left\{0\right\} \cap \mathbb{Z} = \left\{0\right\}\)
تذكّر : الصفر هو العدد الوحيد الذي هو موجب وسالب في آن واحد.
17 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{5 \;;\; -6 \;;\; \dfrac{-9}{3}\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \leq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(5\) يساوي \(5\) وهو لا يحقّق \(x \leq 0\) ، إذن \(\left\{5 \;;\; -6 \;;\; \dfrac{-9}{3}\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-}\).
18 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z}^{*} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \neq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : الأعداد \(\dfrac{1}{4}\) ، \(4{,}5\) ليست أعداداً صحيحة نسبية.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \neq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{-11 \;;\; -2\right\}\)
19 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 1\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(1\) هما \(1\) و \(-1\).
\(\left\{-1 \;;\; 1\right\}\)
20 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي : فاصلة \(A\) هي \(-5\) وفاصلة \(B\) هي \(-6\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A B x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطتين هي عدد التدريجات التي تفصل بينهما : وهي دائماً موجبة.
📝 الطريقة : نحسب \(AB = \left|x_B - x_A\right|\) ، أو نَعُدّ التدريجات على المستقيم.
✅ الحلّ الكامل : \(AB = \left|-6 - \left(-5\right)\right| = \left|-1\right| = 1\)