الأعداد الصحيحة النسبية — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

1 — المصعد — ترقيم الطوابق

يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(5\).
كم عدد الطوابق التي تفصله عن الطابق الأرضي (صعوداً)؟

💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).

📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.

✅ الحلّ الكامل : الطابق \(5\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(5\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.

2 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = 5\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\).

✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(5\) هما \(5\) و \(-5\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) (الشرط \(x \leq 0\)).

\(\left\{-5\right\}\)

3 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج

أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(5\).
(أي النقطتان اللتان تبعدان عن \(O\) بـ \(5\) وحدات)

العدد الأوّلالعدد الثاني

💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.

📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 5\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(5\).

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|5\right| = 5 \quad\text{و}\quad \left|-5\right| = 5\)

إذن العددان هما \(5\) و \(-5\) ، وهما متقابلان.

4 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(48 \;;\; 21 \;;\; -50 \;;\; 50 \;;\; -48 \;;\; -21 \;;\; 12\)
أوجد الأعداد التي لا يوجد مقابلها في القائمة.

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(48\) و \(-48\) ، \(21\) و \(-21\) ، \(50\) و \(-50\).

\(\left\{12\right\}\)

5 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\dfrac{406102}{8} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+*}\) هو : \(x > 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : العدد \(\dfrac{406102}{8}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً لأنّ \(\dfrac{406102}{8}=50762{,}75\) ، إذن \(\dfrac{406102}{8} \notin \mathbb{Z}^{+*}\).

6 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|-48\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|-48\right| = 48\)

7 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x

حدّد المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = x\right\}\)

💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = x\) يعني أنّ \(x\) موجب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{+}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{+}\)

8 — المصعد — التنقّل بين الطوابق

ينطلق المصعد من الطابق \(6\) ، ينزل 3 طوابق ثمّ ينزل 7 طوابق ثمّ يصعد 7 طوابق.
في أيّ طابق يتوقّف؟

💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.

📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(6-3-7+7\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.

✅ الحلّ الكامل : \(6-3-7+7=3\) أي في الطابق 3 فوق الأرضي.

9 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة

نعتبر :
\(A = \left\{-1 \;;\; -5 \;;\; 0 \;;\; \sqrt{9} \;;\; \dfrac{18}{3}\right\}\)
\(B = \left\{-7 \;;\; -3 \;;\; 0 \;;\; 3\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :

\(A \cap B = \cdots\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.

📝 الطريقة : التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\) و في \(B\) في آن واحد.

✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(\sqrt{9}=3\) ، \(\dfrac{18}{3}=6\)
التقاطع : العناصر الموجودة في \(A\) و في \(B\) في آن واحد.

\(\left\{0 \;;\; 3\right\}\)

10 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{+*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
\(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{Z}^{-*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(1 \in \mathbb{Z}^{+*}\) و \(1 \notin \mathbb{Z}^{-*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+*} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).

11 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\mathbb{Z}^{-} \cup \mathbb{N} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x \leq 0\) أو \(x \geq 0\).

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x \leq 0\) أو \(x \geq 0\).

\(\mathbb{Z}^{-} \cup \mathbb{N} = \mathbb{Z}\)

تذكّر : \(\mathbb{N} = \mathbb{Z}^{+}\).

12 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)

\(M\) نقطة من المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) حيث \(IM = 2\).
ما هي فاصلة النقطة \(M\) ؟

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : هناك نقطتان تبعدان عن نقطة معلومة بنفس المسافة : واحدة يميناً وأخرى يساراً.

📝 الطريقة : نضيف \(2\) إلى فاصلة \(I\) ثمّ نطرحها منها.

✅ الحلّ الكامل :

\(x_M = 1 + 2 = 3 \quad\text{أو}\quad x_M = 1 - 2 = -1\)

إذن للمسألة حلّان.

13 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{-1 \;;\; 11 \;;\; -\left(-2\right) \;;\; 12 \;;\; -10\right\} \;\cdots\; \mathbb{N}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-1\) يساوي \(-1\) وهو لا يحقّق \(x \geq 0\) ، إذن \(\left\{-1 \;;\; 11 \;;\; -\left(-2\right) \;;\; 12 \;;\; -10\right\} \not\subset \mathbb{N}\).

14 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ

حدّد المجموعة التالية :

\(\mathbb{Z}^{+*} \cap \left\{0\right\} = \cdots\)

💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.

📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x > 0\) و \(x = 0\).

✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x > 0\) و \(x = 0\).

\(\mathbb{Z}^{+*} \cap \left\{0\right\} = \emptyset\)

لا يوجد أيّ عدد يحقّق الشرطين معاً، إذن المجموعة فارغة.

15 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\left\{\dfrac{-9}{3} \;;\; 0 \;;\; 11 \;;\; -1\right\} \;\cdots\; \mathbb{N}\)

💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.

📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.

✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{-9}{3}\) يساوي \(-3\) وهو لا يحقّق \(x \geq 0\) ، إذن \(\left\{\dfrac{-9}{3} \;;\; 0 \;;\; 11 \;;\; -1\right\} \not\subset \mathbb{N}\).

16 — الأعداد المتقابلة

نعتبر القائمة التالية :
\(-26 \;;\; -11 \;;\; 11 \;;\; -50 \;;\; 26 \;;\; 19 \;;\; 57 \;;\; 50 \;;\; -10\)
أوجد الأعداد التي لا يوجد مقابلها في القائمة.

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).

📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).

✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(11\) و \(-11\) ، \(26\) و \(-26\) ، \(50\) و \(-50\).

\(\left\{-10 \;;\; 19 \;;\; 57\right\}\)

17 — الاحتواء بين أجزاء ℤ

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\mathbb{Z}^{*} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
\(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.

📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{*} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.

✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{*}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{Z}^{*} \subset \mathbb{Z}\).

18 — القيمة المطلقة — حساب

احسب :

\(\left|5\right| - \left|-22\right| = \cdots\)

💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.

📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.

✅ الحلّ الكامل :

\(\left|5\right| - \left|-22\right| = 5-22 = -17\)

النتيجة عدد سالب : لا تنسَ أنّ القيمة المطلقة موجبة، لكنّ الفرق بين قيمتين مطلقتين قد يكون سالباً.

19 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة

حدّد عناصر المجموعة التالية :

\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{-} \;/\; \left|x\right| = 12\right\}\)

اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.

💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.

📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\).

✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(12\) هما \(12\) و \(-12\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{-}\) (الشرط \(x \leq 0\)).

\(\left\{-12\right\}\)

20 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها

أتمّم بالرمز المناسب :

\(\dfrac{3}{7} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)

💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.

📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{*}\) هو : \(x \neq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.

✅ الحلّ الكامل : العدد \(\dfrac{3}{7}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\dfrac{3}{7} \notin \mathbb{Z}^{*}\).

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

🎉 أحسنت!