1 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|55\right| + \left|-36\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|55\right| + \left|-36\right| = 55+36 = 91\)
2 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| < 5\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(5\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).
\(\left\{0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3 \;;\; 4\right\}\)
3 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{N} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
\(\mathbb{Z}^{*}\) \(\emptyset\) \(\left\{0\right\}\) \(\mathbb{Z}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\)
سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
ثمّ نقاطع مع \(\mathbb{N}\) حيث \(x \geq 0\).
\(\left\{0\right\}\)
الصفر هو العدد الوحيد الذي يحقّق الشرطين معاً.
4 — الاحتواء بين أجزاء ℤ أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{-*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-*} \subset \mathbb{Z}^{+*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}^{-*}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-*} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
5 — الأعداد المتقابلة نعتبر القائمة التالية :
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : مقابل العدد \(-26\) هو \(26\) : لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان، ومجموعهما \(0\).
6 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{-12 \;;\; 0 \;;\; -3 \;;\; \dfrac{406102}{8} \;;\; 4{,}5\right\} \;\cdots\; \mathbb{N}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-12\) يساوي \(-12\) وهو لا يحقّق \(x \geq 0\) ، إذن \(\left\{-12 \;;\; 0 \;;\; -3 \;;\; \dfrac{406102}{8} \;;\; 4{,}5\right\} \not\subset \mathbb{N}\).
7 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I) في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-1\).
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المناظرة بالنسبة إلى \(O\) تعطي العدد المقابل .
📝 الطريقة : \(O\) منتصف \(\left[AA'\right]\) إذن \(x_{A'} = -x_A\).
✅ الحلّ الكامل : \(x_{A'} = -\left(-1\right) = 1\)
8 — المصعد — ترقيم الطوابق يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(-2\).
-3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).
📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق \(-2\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(2\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.
9 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها أتمّم بالرمز المناسب :
\(3 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(3\) يحقّق الشرط \(x \geq 0\) ، إذن \(3 \in \mathbb{Z}^{+}\).
10 — المصعد — التنقّل بين الطوابق ينطلق المصعد من الطابق \(-1\) ، يصعد 6 طوابق ثمّ ينزل 7 طوابق ثمّ يصعد طابقين.
-4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 🛗 départ / الانطلاق
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(\left(-1\right)+6-7+2\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(\left(-1\right)+6-7+2=0\) أي أنّه يتوقّف في الطابق الأرضي.
11 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x\) عدد صحيح نسبي (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : الأعداد \(\dfrac{1}{7}\) ، \(-3{,}5\) ليست أعداداً صحيحة نسبية.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x\) عدد صحيح نسبي (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{-8 \;;\; -2 \;;\; 0 \;;\; 1\right\}\)
12 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج في المستقيم المدرّج التالي، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-4\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 O A x تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : المسافة بين نقطة والمبدأ \(O\) هي القيمة المطلقة لفاصلتها.
📝 الطريقة : نَعُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، أو نحسب مباشرة \(\left|-4\right|\).
✅ الحلّ الكامل : \(OA = \left|-4\right| = 4\)
المسافة عدد موجب دائماً، حتّى إذا كانت الفاصلة سالبة.
13 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{0\right\} \cup \mathbb{Z}^{+*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}^{-*}\) \(\emptyset\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cup\) هو الاتّحاد : كلّ عناصر المجموعتين مجتمعة.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق أحد الشرطين على الأقلّ : \(x = 0\) أو \(x > 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى الاتّحاد إذا حقّق
أحد الشرطين على الأقلّ : \(x = 0\) أو \(x > 0\).
\(\left\{0\right\} \cup \mathbb{Z}^{+*} = \mathbb{Z}^{+}\)
14 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{-3{,}5 \;;\; \dfrac{18}{3} \;;\; -1\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
⊂محتواة في ⊄غير محتواة
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x < 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(-3{,}5\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{-3{,}5 \;;\; \dfrac{18}{3} \;;\; -1\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).
15 — المصعد — ترقيم الطوابق يقف المصعد في الطابق الذي رقمه \(9\).
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 rez / الأرضي +1 +2 +3 +4 +5 +6 +7 +8 +9 +10
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي هو المرجع : رقمه \(0\).
📝 الطريقة : الإشارة (\(+\) أو \(-\)) تحدّد الجهة، والعدد بدون إشارة يحدّد عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق \(9\) يبعد عن الطابق الأرضي بـ \(9\) طوابق، لأنّ الإشارة تدلّ على الجهة والعدد يدلّ على البعد.
16 — القيمة المطلقة — حساب احسب :
\(\left|60\right| = \cdots\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة .
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل : \(\left|60\right| = 60\)
17 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة نعتبر :
\(A \cap \mathbb{Z}^{-} = \cdots\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \leq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نبسّط : \(-\left(-4\right)=4\)
العدد \(4{,}5\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \leq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{-2 \;;\; 0\right\}\)
18 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(12\).
العدد الأوّل العدد الثاني تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.
📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 12\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(12\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|12\right| = 12 \quad\text{و}\quad \left|-12\right| = 12\)
إذن العددان هما \(12\) و \(-12\) ، وهما متقابلان.
19 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{0\right\} \cap \mathbb{Z}^{*} = \cdots\)
\(\mathbb{Z}\) \(\mathbb{Z}^{+}\) \(\mathbb{Z}^{*}\) \(\emptyset\)
تحقّق ✓
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x = 0\) و \(x \neq 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين
معاً : \(x = 0\) و \(x \neq 0\).
\(\left\{0\right\} \cap \mathbb{Z}^{*} = \emptyset\)
لا يوجد أيّ عدد يحقّق الشرطين معاً، إذن المجموعة فارغة.
20 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = 12\right\}\)
💡 مؤشّر 📝 الطريقة ✅ الحلّ الكامل 🔄
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}\).
✅ الحلّ الكامل : العددان اللذان قيمتهما المطلقة \(12\) هما \(12\) و \(-12\).
\(\left\{-12 \;;\; 12\right\}\)