🏠 الرئيسية📚 الدرس🧮 الآلة الحاسبة✏️ اللوحة🔗 سلاسل الاستنتاج🐞 مكتبة الأخطاء
🏆 0 نقطة
🤖
مرحباً!

الأعداد الصحيحة النسبية \(\mathbb{Z}\)

الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط

🎓 مجموعة ℤالأعداد الصحيحة النسبية — مختلط⭐ متوسط
تذكير : \(\mathbb{Z} = \{\ldots\,;-2\,;-1\,;0\,;1\,;2\,;\ldots\}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.
\(\mathbb{Z}^{+}\) الموجبة (ومنها \(0\)) · \(\mathbb{Z}^{-}\) السالبة (ومنها \(0\)) · النجمة \(*\) تعني « بدون الصفر » · \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) والمبدأ \(O\).
0 من 0 تمرين
📝 تمارين — الأعداد الصحيحة النسبية — مختلط — الصفحة 1 من 10
1 — المصعد — ترقيم الطوابق
يتوقّف المصعد في الطابق الأرضي.
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟
-3-2-10rez / الأرضي+1+2+3+4
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطابق الأرضي هو نقطة الانطلاق، يوافقه العدد \(0\)، وهو لا موجب ولا سالب.
2 — الاحتواء بين أجزاء ℤ
أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{-*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.
\(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-*} \subset \mathbb{Z}^{+}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}^{-*}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-*} \not\subset \mathbb{Z}^{+}\).
3 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)
في المعيّن \(\left(O;I\right)\) ، فاصلة النقطة \(A\) هي \(-2\).
ما هي فاصلة النقطة \(A'\) مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(I\) ؟
OIAx
💡 مؤشّر : \(I\) فاصلتها \(1\) ، وهي منتصف \(\left[AA'\right]\).
📝 الطريقة : إذا كان \(I\) منتصف \(\left[AA'\right]\) فإنّ \(x_{A'} = 2 \times x_I - x_A = 2 - x_A\).
✅ الحلّ الكامل :
\(x_{A'} = 2 - \left(-2\right) = 4\)
تحقّق : \(IA = IA' = 3\).
4 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها
أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{12 \;;\; \dfrac{1}{4} \;;\; -7\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x \geq 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{1}{4}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً ، إذن \(\left\{12 \;;\; \dfrac{1}{4} \;;\; -7\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{+}\).
5 — الأعداد المتقابلة
نعتبر القائمة التالية :
\(8 \;;\; 5 \;;\; -33 \;;\; -31 \;;\; -9 \;;\; 45 \;;\; -5 \;;\; 31 \;;\; -8\)
أوجد الأعداد التي لا يوجد مقابلها في القائمة.
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(8\) و \(-8\) ، \(5\) و \(-5\) ، \(31\) و \(-31\).
\(\left\{-33 \;;\; -9 \;;\; 45\right\}\)
6 — المصعد — التنقّل بين الطوابق
ينطلق المصعد من الطابق \(2\) ، يصعد 4 طوابق ثمّ ينزل طابقاً واحداً ثمّ ينزل طابقاً واحداً.
في أيّ طابق يتوقّف؟
-4-3-2-10rez / الأرضي+1+2+3+4+5🛗départ / الانطلاق
💡 مؤشّر : كلّ صعود يوافق عدداً موجباً وكلّ نزول يوافق عدداً سالباً.
📝 الطريقة : نكتب سلسلة العمليات انطلاقاً من طابق الانطلاق : \(2+4-1-1\) ثمّ نحسب من اليسار إلى اليمين.
✅ الحلّ الكامل : \(2+4-1-1=4\) أي في الطابق 4 فوق الأرضي.
7 — مجموعات معرّفة بالقيمة المطلقة
حدّد عناصر المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z}^{+} \;/\; \left|x\right| < 4\right\}\)
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.
💡 مؤشّر : \(\left|x\right|\) هي المسافة بين \(x\) و \(O\) : فهي موجبة أو منعدمة دائماً.
📝 الطريقة : ابحث أوّلاً عن كلّ الأعداد الصحيحة النسبية التي تحقّق الشرط على \(\left|x\right|\) ، ثمّ احتفظ بتلك التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\).
✅ الحلّ الكامل : نبحث عن الأعداد التي تبعد عن \(O\) بأقلّ من \(4\).
ثمّ نحتفظ فقط بالعناصر التي تنتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) (الشرط \(x \geq 0\)).
\(\left\{0 \;;\; 1 \;;\; 2 \;;\; 3\right\}\)
8 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة
نعتبر :
\(A = \left\{-4 \;;\; 0 \;;\; -2 \;;\; 12 \;;\; 13 \;;\; -1 \;;\; 4\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :
\(A \cap \mathbb{Z}^{+} = \cdots\)
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x \geq 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{0 \;;\; 4 \;;\; 12 \;;\; 13\right\}\)
9 — القيمة المطلقة — المستقيم المدرّج
أوجد العددين الصحيحين النسبيين اللذين قيمتهما المطلقة تساوي \(10\).
(أي النقطتان اللتان تبعدان عن \(O\) بـ \(10\) وحدات)
-12-11-10-9-8-7-6-5-4-3-2-10123456789101112Ox
العدد الأوّلالعدد الثاني
💡 مؤشّر : هناك دائماً عددان لهما نفس القيمة المطلقة : واحد على يمين \(O\) والآخر على يسارها.
📝 الطريقة : نبحث عن \(x\) بحيث \(\left|x\right| = 10\) ، أي النقاط التي تبعد عن \(O\) بـ \(10\).
✅ الحلّ الكامل :
\(\left|10\right| = 10 \quad\text{و}\quad \left|-10\right| = 10\)
إذن العددان هما \(10\) و \(-10\) ، وهما متقابلان.
10 — القيمة المطلقة — حساب
احسب :
\(\left|\left|54\right| - 39\right| = \cdots\)
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
نبدأ دائماً بحساب ما بين العارضتين الداخليتين ثمّ نتقدّم نحو الخارج.
✅ الحلّ الكامل :
\(\left|\left|54\right| - 39\right| = \left|54 - 39\right| = \left|15\right| = 15\)
11 — الكتابتان |x| = x و |x| = −x
حدّد المجموعة التالية :
\(\left\{x \in \mathbb{Z} \;/\; \left|x\right| = -x\right\}\)
💡 مؤشّر : اختبر ثلاث حالات : عدد موجب ، الصفر ، عدد سالب.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
✅ الحلّ الكامل : \(\left|x\right| = -x\) يعني أنّ \(x\) سالب أو منعدم ، أي \(x \in \mathbb{Z}^{-}\).
\(\mathbb{Z}^{-}\)
12 — الانتماء إلى ℤ وأجزائها
أتمّم بالرمز المناسب :
\(0 \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
📝 الطريقة : شرط الانتماء إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) هو : \(x \geq 0\). تحقّق منه بالعدد المعطى.
✅ الحلّ الكامل : العدد \(0\) يحقّق الشرط \(x \geq 0\) ، إذن \(0 \in \mathbb{Z}^{+}\).
انتبه : الصفر ينتمي إلى \(\mathbb{Z}^{+}\) وإلى \(\mathbb{Z}^{-}\) في آن واحد.
13 — التقاطع والاتّحاد بين أجزاء ℤ
حدّد المجموعة التالية :
\(\mathbb{Z}^{+} \cap \mathbb{N}^{*} = \cdots\)
💡 مؤشّر : \(\cap\) هو التقاطع : العناصر المشتركة بين المجموعتين.
📝 الطريقة : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \geq 0\) و \(x > 0\).
✅ الحلّ الكامل : ينتمي العدد إلى التقاطع إذا حقّق الشرطين معاً : \(x \geq 0\) و \(x > 0\).
\(\mathbb{Z}^{+} \cap \mathbb{N}^{*} = \mathbb{Z}^{+*}\)

تذكّر : \(\mathbb{N}^{*} = \mathbb{Z}^{+*}\).
14 — القيمة المطلقة — حساب
احسب :
\(\left|15\right| + \left|22\right| = \cdots\)
💡 مؤشّر : القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر : فهي دائماً موجبة أو منعدمة.
📝 الطريقة : \(\left|x\right| = x\) إذا كان \(x\) موجباً ، و \(\left|x\right| = -x\) إذا كان \(x\) سالباً. نحسب أوّلاً كلّ قيمة مطلقة ثمّ نُنجز العملية.
✅ الحلّ الكامل :
\(\left|15\right| + \left|22\right| = 15+22 = 37\)
15 — الأعداد المتقابلة
نعتبر القائمة التالية :
\(3 \;;\; -22 \;;\; -43 \;;\; 48 \;;\; 43 \;;\; 6 \;;\; -57 \;;\; -6 \;;\; 22 \;;\; 57\)
كم زوجاً من الأعداد المتقابلة توجد في هذه القائمة؟
💡 مؤشّر : عددان متقابلان لهما نفس القيمة المطلقة وإشارتان مختلفتان : \(a\) و \(-a\).
📝 الطريقة : ابحث عن كلّ عدد يوجد نظيره بالإشارة المعاكسة داخل القائمة : \(a + \left(-a\right) = 0\).
✅ الحلّ الكامل : الأزواج المتقابلة هي : \(\left(43 \;;\; -43\right)\) ، \(\left(6 \;;\; -6\right)\) ، \(\left(22 \;;\; -22\right)\) ، \(\left(57 \;;\; -57\right)\) ، أي \(4\) أزواج.
16 — المستقيم المدرّج بالمعيّن (O;I)
في المستقيم \(\Delta\) المدرّج بالمعيّن \(\left(O;I\right)\) التالي :
ما هي فاصلة النقطة \(A\) ؟
OIABCx
💡 مؤشّر : الفاصلة تُقرأ انطلاقاً من \(O\) : الوحدة هي المسافة \(OI\).
📝 الطريقة : عُدّ التدريجات من \(O\) إلى \(A\) ، وضع الإشارة \(-\) إذا كانت النقطة على يسار \(O\).
✅ الحلّ الكامل : النقطة \(A\) تبعد عن \(O\) بـ \(7\) على اليمين ، إذن \(x_A = 7\).
17 — الاحتواء بين أجزاء ℤ
أتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{N} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{N}\) : الأعداد الصحيحة الطبيعية.
\(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{N}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
18 — المصعد — ترقيم الطوابق
يتوقّف المصعد في الطابق رقم 4 تحت الطابق الأرضي (في القبو).
ما هو العدد الصحيح النسبي الذي يوافق هذا الطابق؟
-5-4-3-2-10rez / الأرضي+1+2+3+4+5
💡 مؤشّر : الطابق الأرضي يوافق \(0\) : ما فوقه يُرقَّم بأعداد موجبة وما تحته بأعداد سالبة.
📝 الطريقة : أكتب الإشارة أوّلاً : فوق الأرضي \(\Rightarrow +\) ، تحت الأرضي \(\Rightarrow -\) ، ثمّ عدد الطوابق.
✅ الحلّ الكامل : الطوابق التي تحت الأرضي تُرقَّم بأعداد سالبة، إذن الطابق هو \(-4\).
19 — الاحتواء — مجموعة معطاة بعناصرها
أتمّم بالرمز المناسب :
\(\left\{\dfrac{18}{3} \;;\; 0 \;;\; -7 \;;\; 4\right\} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كلّ كتابة : \(\dfrac{36}{4}\) ، \(\sqrt{25}\) ، \(-\left(-2\right)\) كلّها أعداد صحيحة نسبية.
📝 الطريقة : الاحتواء يتطلّب أن يحقّق كلّ عنصر الشرط \(x < 0\). ويكفي عنصر واحد لا يحقّقه لنفي الاحتواء.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ : العنصر \(\dfrac{18}{3}\) يساوي \(6\) وهو لا يحقّق \(x < 0\) ، إذن \(\left\{\dfrac{18}{3} \;;\; 0 \;;\; -7 \;;\; 4\right\} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).
20 — التقاطع والاتّحاد — مجموعات معطاة
نعتبر :
\(A = \left\{\dfrac{1}{4} \;;\; 13 \;;\; 8 \;;\; 0\right\}\)
حدّد المجموعة التالية :
\(A \cap \mathbb{Z}^{+*} = \cdots\)
اكتب العناصر مفصولة بفاصلة منقوطة — الترتيب غير مهمّ — أو اضغط ∅.
💡 مؤشّر : ابدأ بتبسيط كتابات العناصر، ثمّ طبّق العملية عنصراً عنصراً.
📝 الطريقة : نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x > 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
✅ الحلّ الكامل : العدد \(\dfrac{1}{4}\) ليس عدداً صحيحاً نسبياً.
نحتفظ بعناصر \(A\) التي تحقّق \(x > 0\) (بعد تبسيط الكتابات، والأعداد غير الصحيحة تُحذف).
\(\left\{8 \;;\; 13\right\}\)

🎉 أحسنت!

لقد أنجزت جميع التمارين

⭐⭐⭐

1 / 10