دليل المساعدة لتمارين مجموعات الأعداد

تتضمن هذه التمارين مفاهيم أساسية حول مجموعات الأعداد، العمليات عليها، الأعداد المتقابلة، والقيمة المطلقة. إليك الشرح:

• مجموعات الأعداد:
  • \(\mathbb{Z}\): الأعداد الصحيحة (\(\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\)).
  • \(\mathbb{Z}^*\): الأعداد الصحيحة بدون الصفر (\(\{\ldots, -2, -1, 1, 2, \ldots\}\)).
  • \(\mathbb{Z}_+\): الأعداد الصحيحة غير السالبة (\(\{0, 1, 2, \ldots\}\)).
  • \(\mathbb{Z}_-\): الأعداد الصحيحة السالبة (\(\{-1, -2, -3, \ldots\}\)).
  • \(\mathbb{N}\): الأعداد الطبيعية (\(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\)).
  • \(\mathbb{N}^*\): الأعداد الطبيعية بدون الصفر (\(\{1, 2, 3, \ldots\}\)).
• عمليات المجموعات:
  • التقاطع (\(\cap\)): يعطي العناصر المشتركة بين مجموعتين. مثال: \(\mathbb{Z}^* \cap \mathbb{N} = \mathbb{N}^*\)، لأن العناصر المشتركة هي الأعداد الطبيعية بدون الصفر.
  • الاتحاد (\(\cup\)): يعطي جميع العناصر في إحدى المجموعتين أو كلتيهما. مثال: \(\mathbb{Z}_+ \cup \mathbb{Z}_- = \mathbb{Z} \setminus \{0\}\)، لأن الاتحاد يشمل كل الأعداد الصحيحة ما عدا الصفر.
  • ملاحظة: اتحاد مجموعة مع نفسها يعطي نفس المجموعة، مثل \(\mathbb{Z}_+ \cup \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}_+\).
• الأعداد المتقابلة:
  • العددان \(x\) و\(-x\) هما متقابلان، أي أن مجموعهما يساوي الصفر. مثال: \(25\) و\(-25\)، \(17\) و\(-17\). تحقق من الأعداد التي تأتي بإشارتين مختلفتين.
• القيمة المطلقة:
  • \(|x|\) هي المسافة بين \(x\) والصفر على المستقيم العددي، وهي دائمًا غير سالبة.
  • إذا \(x \geq 0\)، فإن \(|x| = x\). إذا \(x < 0\)، فإن \(|x| = -x\). مثال: \(|-3| = 3\)، \(|12| = 12\).
• نصيحة: عند حل التمارين، تحقق من تعريف كل مجموعة بعناية (مثل \(\mathbb{Z}^*\) أو \(\mathbb{N}\)). للأعداد المتقابلة، ابحث عن أزواج \(x\) و\(-x\). للقيمة المطلقة، تذكر أنها دائمًا غير سالبة!