دليل المساعدة لتحديد مجموعات الأعداد بالقيمة المطلقة

تتضمن هذه التمارين تحديد مجموعات الأعداد بناءً على شروط تتعلق بالقيمة المطلقة. إليك الشرح:

• القيمة المطلقة:
  • \(|x|\) هي المسافة بين \(x\) والصفر على المستقيم العددي. دائمًا \(|x| \geq 0\).
  • إذا \(|x| = k\)، فإن \(x = k\) أو \(x = -k\). مثال: \(|x| = 5 \Rightarrow x = 5, -5\)، لذا \(A = \{-5, 5\}\).
  • إذا \(|x| = k\) و\(k < 0\)، فالمجموعة فارغة (\(\emptyset\)) لأن القيمة المطلقة لا تكون سالبة. مثال: \(B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = -6\} = \emptyset\).
  • إذا \(|x| < k\)، فإن \(x\) يقع في الفترة \(-k < x < k\). مثال: \(|x| < 4 \Rightarrow x \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}\).
• مجموعات الأعداد:
  • \(\mathbb{Z}\): الأعداد الصحيحة (\(\{\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots\}\)).
  • \(\mathbb{Z}_+\): الأعداد الصحيحة غير السالبة (\(\{0, 1, 2, \ldots\}\)).
  • \(\mathbb{Z}_-\): الأعداد الصحيحة السالبة (\(\{-1, -2, -3, \ldots\}\)).
  • \(\mathbb{N}\): الأعداد الطبيعية (\(\{0, 1, 2, 3, \ldots\}\)).
• شروط القيمة المطلقة:
  • إذا \(|x| = x\)، فإن \(x \geq 0\)، لذا المجموعة هي \(\mathbb{Z}_+\). مثال: \(I = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = x\} = \mathbb{Z}_+\).
  • إذا \(|x| = -x\)، فإن \(x \leq 0\)، لذا المجموعة هي \(\mathbb{Z}_-\). مثال: \(J = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = -x\} = \mathbb{Z}_-\).
  • إذا كان الشرط يتعارض مع المجموعة، فالمجموعة فارغة. مثال: \(K = \{x \in \mathbb{Z}_- \mid |x| = x\} = \emptyset\) لأن \(x < 0\) و\(|x| = -x \neq x\).
• تبسيط الشروط:
  • بسّط أي تعبير قبل الحل. مثال: \(|x| = \frac{15}{3} = 5 \Rightarrow x = \pm 5\)، لذا \(G = \{-5, 5\}\).
  • إذا كان الشرط يتضمن عددًا غير صحيح (مثل \(4.5\) أو \(\frac{3}{7}\)) مع \(\mathbb{Z}\) أو \(\mathbb{N}\)، فالمجموعة غالبًا فارغة. مثال: \(C = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 4.5\} = \emptyset\).
• نصيحة: تحقق من القيمة المطلقة خطوة بخطوة: هل الشرط ممكن؟ هل القيم تنتمي إلى المجموعة المحددة (\(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{Z}_+\), إلخ)؟ بسّط التعابير أولاً!