تمارين في الهندسة التحليلية

دليل المساعدة لتمارين الهندسة التحليلية

تتضمن هذه التمارين مفاهيم أساسية حول المستقيم العددي والفاصلات في معايين مختلفة. إليك الشرح:

المستقيم العددي والمعيّن:
- المستقيم العددي هو خط يمثل الأعداد، حيث \(O\) (الأصل) عند الفاصلة 0، و\(I\) (نقطة الوحدة) عند الفاصلة 1 في المعيّن \((O, I)\).
- فاصلة النقطة هي موقعها على المستقيم. مثال: النقطة \(A\) بفاصلة 2 تقع على بعد وحدتين يمينًا من \(O\).
حساب المسافة بين نقطتين:
- المسافة بين نقطتين \(P\) و\(Q\) بفاصلتيهما \(x_P\) و\(x_Q\) هي \(|x_P - x_Q|\).
- مثال: \(BD = |3 - (-3)| = 6\)، لأن \(B\) عند \(-3\) و\(D\) عند 3.
إيجاد فاصلة نقطة بناءً على مسافة:
- إذا كانت المسافة من نقطة إلى أخرى معلومة، استخدم القيمة المطلقة. مثال: \(OM = |x_M - 0| = 4\) يعني \(x_M = 4\) أو \(x_M = -4\).
- لنقطة \(N\) بحيث \(IN = 6\) و\(I\) عند 1: \(|x_N - 1| = 6\)، فإن \(x_N = 7\) أو \(x_N = -5\).
تغيير المعيّن:
- لتحويل الفاصلات من معيّن \((O, I)\) إلى معيّن آخر مثل \((I, A)\):
  - استخدم الصيغة: \(x' = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)، حيث \(x_1\) و\(x_2\) هما فاصلتا الأصل والوحدة في المعيّن القديم.
  - مثال: لتحويل فاصلة \(C = -3\) من \((O, I)\) إلى \((I, A)\)، حيث \(I = 1\)، \(A = 2\): \(x' = \frac{-3 - 1}{2 - 1} = -4\).
- في المعيّن \((C, B)\)، \(C\) هو الأصل (\(x' = 0\))، و\(B\) عند \(|-3 - (-3)| = 0\).
نصيحة: تحقق من موقع النقاط على المستقيم العددي، وحل معادلات القيمة المطلقة بعناية لإيجاد الفاصلات. عند تغيير المعيّن، تأكد من استخدام الصيغة الصحيحة!

تمرين في الهندسة التحليلية

في الرسم التالي A مستقيم مدرج بالمعيّن \( (O; I) \):

1) عيّن النقاط \( A \) و \( B \) و \( C \) و \( D \) التي فاصلاتها على التوالي 2 و -3 و -3 و 3.

النقاط على المستقيم المدرج:

\( A \) عند الفاصلة 2

\( B \) عند الفاصلة -3

\( C \) عند الفاصلة -3 (نفس موقع \( B \))

\( D \) عند الفاصلة 3

2) أكمل:

\[ BD = ...... \quad AC = ...... \quad IA = ...... \quad OB = ...... \quad OA = ...... \]

\[ BD = |3 - (-3)| = 6 \]

\[ AC = |2 - (-3)| = 5 \]

\[ IA = |2 - 1| = 1 \] (بافتراض أن \( I \) عند الفاصلة 1)

\[ OB = |-3 - 0| = 3 \]

\[ OA = |2 - 0| = 2 \]

3) لتكن \( M \) نقطة من \( A \) بحيث \( OM = 4 \) ماهي فاصلة \( M \) في المعيّن \( (O; I) \).

\( OM = |x_M - 0| = 4 \)

إذن \( x_M = 4 \) أو \( x_M = -4 \)

4) لتكن \( N \) نقطة من \( A \) بحيث \( IN = 6 \) ماهي فاصلة \( N \) في المعيّن \( (O; I) \).

\( IN = |x_N - 1| = 6 \)

إذن \( x_N = 1 + 6 = 7 \) أو \( x_N = 1 - 6 = -5 \)

5) ما هي فاصلات النقاط \( C \) و \( B \) في المعيّن \( (C; B) \).

في المعيّن \( (C; B) \):

فاصلة \( C = 0 \) (الأصل)

فاصلة \( B = |-3 - (-3)| = 0 \)

6) لتكن \( P \) نقطة من \( A \) بحيث \( IP = 8 \) ماهي فاصلة \( P \) في المعيّن \( (I; A) \).

في المعيّن \( (I; A) \):

\( IP = 8 \) ⇒ \( |x_P - 0| = 8 \) (حيث \( I \) هو الأصل)

إذن \( x_P = 8 \) أو \( x_P = -8 \)

7) ما هي فاصلات النقاط \( A \) و \( B \) و \( C \) و \( D \) في المعيّن \( (I; A) \).

في المعيّن \( (I; A) \):

\( x_A = 2 - 1 = 1 \)

\( x_B = -3 - 1 = -4 \)

\( x_C = -3 - 1 = -4 \)

\( x_D = 3 - 1 = 2 \)

8) ما هي فاصلات النقاط \( A \) و \( B \) و \( C \) و \( D \) في المعيّن \( (I; O) \).

في المعيّن \( (I; O) \):

\( x_A = \frac{2 - 1}{1 - 0} = 1 \)

\( x_B = \frac{-3 - 1}{1 - 0} = -4 \)

\( x_C = \frac{-3 - 1}{1 - 0} = -4 \)

\( x_D = \frac{3 - 1}{1 - 0} = 2 \)