الكسر العشري هو كسر اعتيادي مقامه قوة للعدد 10. يمكن تحويل أي كسر عادي إلى كسر عشري إذا كان مقامه، بعد كل تبسيط ممكن، على شكل جداء قوى العدد 2 وقوى العدد 5.
يكون الكسر المختزل \(\frac{a}{b}\) كسراً عشرياً إذا كان مقامُه \(b\) يُكتب على الصورة:
\(b = 2^n \times 5^m\)
حيث \(n\) و \(m\) عددان صحيحان طبيعيان.
اعتمد الأعداد العشرية النسبية بين الأعداد التالية واكتب كلاً منها على الشكل $$\frac{a}{10^n}$$ حيث $$n ∈ ℕ$$ و $$a ∈ ℤ$$
$$\frac{33}{120}$$ ؛ $$\frac{15}{72}$$ ؛ $$\frac{21}{60}$$ ؛ $$\frac{12}{7}$$ ؛ $$\frac{3}{8}$$
استنتج كتابته العشرية واستنتج عدد عشري $$\frac{18}{150}$$
لكي يكون عدد كسري عددًا عشريًا، يجب بعد اختزاله إلى أقصى حد، أن يكون مقامه حاصل ضرب قوى العددين 2 و 5 فقط.
1. اختزل كل كسر إلى أبسط صورة.
2. حلل مقام الكسر المختزل إلى عوامله الأولية.
3. إذا كانت العوامل الأولية للمقام هي فقط 2 و/أو 5، فإن العدد عشري. مثال: $$\frac{21}{60} = \frac{7}{20}$$. المقام 20 يساوي $$2^2 \times 5$$، إذن العدد عشري.
4. لكتابته على الشكل $$\frac{a}{10^n}$$، اضرب البسط والمقام في القوة المناسبة لـ 2 أو 5 للحصول على قوة للعدد 10 في المقام.
اختر الأعداد العشرية بين الأعداد التالية ثم اكتبها على الشكل $$\frac{a}{10^n}$$ واستنتج كتابتها العشرية:
$$\frac{221}{17}$$ ؛ $$0.123456789101\ldots$$ ؛ $$\frac{41}{2^{13} \times 5^7 \times 3}$$ ؛ $$\frac{15}{21}$$ ؛ $$\frac{8}{1024}$$ ؛ $$\frac{49}{2^7 \times 5 \times 7}$$
حول الأعداد الكسرية العشرية التالية إلى الشكل $$\frac{a}{10^n}$$: $$\frac{135}{75}$$ ؛ $$-1.0029$$ ؛ $$13.02$$
تذكر أن كل عدد صحيح هو عدد عشري. الأعداد ذات الكتابة العشرية غير المنتهية وغير الدورية ليست أعدادًا كسرية (وبالتالي ليست عشرية). لا تنسَ الاختزال أولاً!
لكل عدد، قم بتحليله أو تبسيطه:
• $$\frac{221}{17}$$: قم بإجراء القسمة.
• $$0.123...$$: انظر إلى طبيعة الكتابة العشرية.
• الكسور: اختزلها أولاً، ثم حلل المقام كما في التمرين السابق.
• لتحويل عدد عشري مثل $$-1.0029$$، اكتب العدد بدون فاصلة في البسط، والمقام يكون قوة للعدد 10 حسب عدد الأرقام بعد الفاصلة.
الأعداد العشرية هي:
تحويل الأعداد:
حل مستعملاً إحدى الرموز $$∈$$ أو $$∉$$ أو $$⊂$$ :
$$-1.31 \ldots ℚ$$ ؛ $$ℕ^* \ldots ℤ$$ ؛ $$\frac{12}{3} \ldots ℤ$$ ؛ $$\left\{\frac{5}{11}\right\} \ldots 𝔻$$ ؛ $$\frac{3}{4} \ldots ℚ^*$$
$$\left\{\frac{4}{7}, \frac{2}{11}, 3, 2, 7\right\} \ldots ℚ^*$$ ؛ $$𝔻 \ldots ℚ$$ ؛ $$ℚ \ldots ℤ$$
استخدم الرمز $$∈$$ (ينتمي) أو $$∉$$ (لا ينتمي) عند الحديث عن علاقة عنصر بمجموعة (مثال: عدد ومجموعة أعداد). استخدم الرمز $$⊂$$ (محتواة) عند الحديث عن علاقة مجموعة بمجموعة أخرى.
• لكل عبارة، حدد إذا كان الجزء الأول عنصرًا أم مجموعة.
• إذا كان عنصرًا، تحقق مما إذا كان يحقق خصائص المجموعة الثانية (مثال: هل $$\frac{12}{3}$$ عدد صحيح؟).
• إذا كان مجموعة، تحقق مما إذا كانت كل عناصر المجموعة الأولى تنتمي إلى المجموعة الثانية.
أكمل ما يلي:
$$\left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0, -\frac{3}{7}\right\} ∩ \left\{\frac{5}{7}, 2, 0, -0.5, \frac{4}{12}\right\} = \ldots$$
$$\left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0, -\frac{3}{7}\right\} ∪ \left\{\frac{5}{7}, 2, 0, -5, \frac{1}{3}\right\} = \ldots$$
$$𝔻 ∩ \left\{\frac{6}{5}, \frac{4}{7}, 2.57, \frac{1}{3}, 2.141414\ldots, \frac{91}{7}\right\} = \ldots$$
التقاطع $$∩$$ يعني "العناصر المشتركة فقط". الاتحاد $$∪$$ يعني "كل العناصر بدون تكرار". انتبه للقيم المتساوية المكتوبة بأشكال مختلفة (مثل $$-\frac{1}{2}$$ و $$-0.5$$).
1. بالنسبة للتقاطع الأول، ابحث عن العناصر الموجودة في كلتا المجموعتين. لاحظ أن $$-\frac{1}{2} = -0.5$$ و $$\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$$.
2. بالنسبة للاتحاد، اكتب كل عناصر المجموعة الأولى، ثم أضف عناصر المجموعة الثانية التي لم يتم كتابتها بعد.
3. بالنسبة للتقاطع الأخير، حدد أي من عناصر المجموعة الثانية هي أعداد عشرية. تذكر أن العدد العشري له مقام من قوى 2 و 5 فقط.
$$ \left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0 \right\} $$
$$ \left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0, -\frac{3}{7}, \frac{5}{7}, -5 \right\} $$
$$ \left\{\frac{6}{5}, 2.57, \frac{91}{7} \right\} $$ لأن $$\frac{6}{5}=1.2$$, $$\frac{91}{7}=13$$.
أ) أحسب ق.م.أ $$(148 ; 222)$$
ب) استنتج اختزال إلى أقصى حد العدد الكسري $$\frac{222}{148}$$
لإيجاد القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ)، قم بتحليل كل عدد إلى جداء عوامله الأولية. بعد ذلك، خذ العوامل المشتركة بأصغر أس.
1. تحليل العدد 222 إلى عوامله الأولية: $$222 = 2 \times 111 = 2 \times 3 \times 37$$
2. تحليل العدد 148 إلى عوامله الأولية: $$148 = 2 \times 74 = 2^2 \times 37$$
3. تحديد العوامل الأولية المشتركة: هي 2 و 37.
4. أخذ كل عامل مشترك بأصغر أس يظهر به: $$2^1$$ و $$37^1$$
5. حساب الجداء: ق.م.أ = $$2 \times 37$$
6. لاختزال الكسر، اقسم البسط والمقام على ق.م.أ الذي وجدته.
أ) حساب ق.م.أ (148 ; 222)
لدينا $$222 = 2 × 3 × 37$$ و $$148 = 2^2 × 37$$
إذن، ق.م.أ $$(148 ; 222) = 2 × 37 = 74$$
ب) اختزال الكسر $$\frac{222}{148}$$
$$\frac{222}{148} = \frac{222 \div 74}{148 \div 74} = \frac{3}{2}$$
(1) اعتماد القسمة الإقليدية أبحث عن كتابة على شكل مجموع عدد صحيح مع عدد كسري أصغر من 1 لكل من العددين: $$\frac{38}{9}$$ و $$\frac{32}{7}$$
(2) استنتج ترتيباً تصاعدياً للأعداد التالية: $$-\frac{29}{12}$$ ؛ $$-1$$ ؛ $$0$$ ؛ $$\frac{38}{9}$$ ؛ $$\frac{32}{7}$$
استخدم القسمة الإقليدية لكتابة البسط على شكل `(المقام × الحاصل) + الباقي`. هذا سيساعدك على فصل الجزء الصحيح عن الجزء الكسري لكل عدد، مما يسهل المقارنة والترتيب.
1. بالنسبة لـ $$\frac{38}{9}$$: القسمة الإقليدية لـ 38 على 9 تعطي حاصل 4 والباقي 2. إذن $$38 = 9 \times 4 + 2$$. وبالتالي $$\frac{38}{9} = 4 + \frac{2}{9}$$.
2. بالنسبة لـ $$\frac{32}{7}$$: القسمة الإقليدية لـ 32 على 7 تعطي حاصل 4 والباقي 4. إذن $$32 = 7 \times 4 + 4$$. وبالتالي $$\frac{32}{7} = 4 + \frac{4}{7}$$.
3. بالنسبة لـ $$-\frac{29}{12}$$: القسمة الإقليدية لـ 29 على 12 تعطي $$29 = 12 \times 2 + 5$$. إذن $$-\frac{29}{12} = -(2 + \frac{5}{12}) = -2 - \frac{5}{12}$$. هذا يعني أن العدد يقع بين -3 و -2.
4. الآن قارن بين الأعداد: لديك أعداد سالبة، صفر، وعددين موجبين لهما نفس الجزء الصحيح (4). لمقارنة الأخيرين، قارن أجزاءهما الكسرية: $$\frac{2}{9}$$ و $$\frac{4}{7}$$.
(1) كتابة الأعداد:
• بما أن $$38 = 9 \times 4 + 2$$ فإن: $$\frac{38}{9} = 4 + \frac{2}{9}$$
• بما أن $$32 = 7 \times 4 + 4$$ فإن: $$\frac{32}{7} = 4 + \frac{4}{7}$$
(2) الترتيب التصاعدي:
• أولاً، نرتب الأعداد السالبة. لدينا $$-\frac{29}{12} = -2.41\overline{6}$$. إذن $$-\frac{29}{12} < -1$$.
• ثانياً، نرتب الأعداد الموجبة. كلاهما أكبر من 4. نقارن أجزاءهما الكسرية: $$\frac{2}{9}$$ و $$\frac{4}{7}$$.
بتوحيد المقامات: $$\frac{2}{9} = \frac{14}{63}$$ و $$\frac{4}{7} = \frac{36}{63}$$. بما أن $$\frac{14}{63} < \frac{36}{63}$$، فإن $$\frac{2}{9} < \frac{4}{7}$$، وبالتالي $$4 + \frac{2}{9} < 4 + \frac{4}{7}$$، أي $$\frac{38}{9} < \frac{32}{7}$$.
• الخلاصة، الترتيب التصاعدي هو:
$$-\frac{29}{12} < -1 < 0 < \frac{38}{9} < \frac{32}{7}$$