اعتمد الأعداد العشرية النسبية بين الأعداد التالية واكتب كلاً منها على الشكل $$\frac{a}{10^n}$$ حيث $$n ∈ ℕ$$ و $$a ∈ ℤ$$
$$\frac{33}{120}$$ ؛ $$\frac{15}{72}$$ ؛ $$\frac{21}{60}$$ ؛ $$\frac{12}{7}$$ ؛ $$\frac{3}{8}$$
استنتج كتابته العشرية واستنتج عدد عشري $$\frac{18}{150}$$
الحل:
| الكسر الأصلي | التحليل | النتيجة | الكتابة العشرية |
|---|---|---|---|
| $$\frac{33}{120}$$ | $$\frac{11}{40}$$ (مقام جداء القوى 5 و 2) | $$∉ 𝔻$$ | - |
| $$\frac{15}{72}$$ | $$\frac{5}{24} = \frac{5}{2^3 × 3}$$ | $$∉ 𝔻$$ | - |
| $$\frac{21}{60}$$ | $$\frac{7}{20} = \frac{7 × 5}{20 × 5} = \frac{35}{100}$$ | $$∈ 𝔻$$ | 0.35 |
| $$\frac{12}{7}$$ | مقام في القوى 5 و 2 | $$∉ 𝔻$$ | - |
| $$\frac{3}{8}$$ | $$\frac{3 × 5^3}{8 × 5^3} = \frac{375}{1000}$$ | $$∈ 𝔻$$ | 0.375 |
بعد اختزال إلى أقصى حد وجدنا أن القواسم الأولية مقامه في 5 و 2:
$$\frac{18}{150} = \frac{6 × 2}{50 × 2} = \frac{12}{100} = 0.12$$
اختر الأعداد العشرية بين الأعداد التالية ثم اكتبها على الشكل $$\frac{a}{10^n}$$ واستنتج كتابتها العشرية:
$$\frac{221}{17} = 13$$ ؛ $$0.123456789101\ldots$$ ؛ $$\frac{41}{2^{13} \times 5^7 \times 3}$$ ؛ $$\frac{15}{21}$$ ؛ $$\frac{8}{1024}$$ ؛ $$\frac{49}{2^7 \times 5 \times 7}$$
حول الأعداد الكسرية العشرية التالية إلى الشكل $$\frac{a}{10^n}$$:
| $$\frac{135}{75} = \ldots$$ | $$-1.0029 = \ldots$$ | $$13.02 = \ldots$$ |
الحل:
| العدد | التحليل | الكتابة العشرية |
|---|---|---|
| $$\frac{221}{17} = 13$$ | $$13 ∈ 𝔻$$ | 13.0 |
| $$0.123456789101...$$ | $$∉ 𝔻$$ (كتابة عشرية غير منتهية) | - |
| $$\frac{41}{2^{13} × 5^7 × 3}$$ | $$∉ 𝔻$$ (مقام ليس جداء القوى 5 و 2 فقط) | - |
| $$\frac{15}{21}$$ | $$= \frac{5}{7} ∉ 𝔻$$ | - |
| $$\frac{8}{1024}$$ | $$= \frac{8}{2^{10}} = \frac{1}{128} ∈ 𝔻$$ | $$\frac{M_4}{M_4}$$ |
| $$\frac{49}{2^7 × 5 × 7}$$ | $$= \frac{7 × 5^2}{2^7 × 5 × 5^2} = \frac{175}{10^4} = 0.0175$$ | 0.0175 |
حول الأعداد الكسرية العشرية:
$$\frac{135}{75} = \frac{9 × 2}{5 × 2} = \frac{18}{10} = \frac{18000}{10^3}$$
$$-1.0029 = \frac{1029}{10^3}$$
$$13.02 = \frac{1302}{10^2}$$
حل مستعملاً إحدى الرموز $$∈$$ أو $$∉$$ أو $$⊂$$ أو $$∈$$:
$$-1.31 \ldots ℚ$$ ؛ $$ℕ^* \ldots ℤ$$ ؛ $$\frac{12}{3} \ldots ℤ$$ ؛ $$\left\{\frac{5}{11}\right\} \ldots 𝔻$$ ؛ $$\frac{3}{4} \ldots ℚ^*$$
$$\left\{\frac{4}{7}, \frac{2}{11}, 3, 2, 7\right\} \ldots ℚ^*$$ ؛ $$ℚ^* \ldots ℚ$$ ؛ $$ℚ^* \ldots ℚ$$ ؛ $$\left\{\frac{1.77}{2}, \frac{35}{35}, 0, -2.3\right\} \ldots 𝔻$$
$$𝔻 \ldots ℚ$$ ؛ $$ℚ \ldots ℤ$$
الحل:
| العبارة | الرمز الصحيح | التبرير |
|---|---|---|
| $$-1.31$$ ... $$ℚ$$ | $$∈$$ | عدد عشري منته |
| $$ℕ^*$$ ... $$ℤ$$ | $$⊂$$ | الأعداد الطبيعية غير المعدومة جزء من الصحيحة |
| $$\frac{12}{3}$$ ... $$ℤ$$ | $$∈$$ | $$\frac{12}{3} = 4 ∈ ℤ$$ |
| $$\left\{\frac{5}{11}\right\}$$ ... $$𝔻$$ | $$∉$$ | $$\frac{5}{11}$$ ليس عدد عشري |
| $$\frac{3}{4}$$ ... $$ℚ^*$$ | $$∈$$ | $$\frac{3}{4}$$ نسبي غير معدوم |
$$\left\{\frac{4}{7}, \frac{2}{11}, 3, 2, 7\right\}$$ ... $$ℚ^*$$ → $$⊂$$
$$\left\{\frac{1.77}{2}, \frac{35}{35}, 0, -2.3\right\}$$ ... $$𝔻$$ → $$∉$$ (لأن 0 ليس في $$𝔻$$)
$$𝔻$$ ... $$ℚ$$ → $$⊂$$
$$ℚ$$ ... $$ℤ$$ → $$∉$$
أكمل ما يلي:
$$\left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0, -\frac{3}{7}\right\} ∩ \left\{\frac{5}{7}, 2, 0, -0.5, \frac{4}{12}\right\} = \ldots$$
$$\left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0, -\frac{3}{7}\right\} ∪ \left\{\frac{5}{7}, 2, 0, -5, \frac{1}{3}\right\} = \ldots$$
$$𝔻 ∩ \left\{\frac{6}{5}, \frac{4}{7}, 2.57, \frac{1}{3}, 2.141414\ldots, \frac{91}{7}\right\} = \ldots$$ ؛ $$ℤ_+ ∩ ℚ^* = \ldots$$
الحل:
$$\left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0, -\frac{3}{7}\right\} ∩ \left\{\frac{5}{7}, 2, 0, -0.5, \frac{4}{12}\right\} = \left\{0, \frac{1}{3}, 2, 0.5, \frac{4}{12}\right\}$$
$$\left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0, -\frac{3}{7}\right\} ∪ \left\{\frac{5}{7}, 2, 0, -5, \frac{1}{3}\right\} = \left\{2, -\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, 0, -\frac{3}{7}, -5\right\}$$
$$𝔻 ∩ \left\{\frac{6}{5}, \frac{4}{7}, 2.57, \frac{1}{3}, 2.141414..., \frac{91}{7}\right\} = \left\{\frac{6}{5}, 1, 2.57, \frac{91}{7}\right\}$$
$$ℤ_+ ∩ ℚ^* = ℤ_+$$
أوجد المجموعات التالية:
A: مجموعة الأعداد $$x$$ بحيث $$|x| = \frac{3}{7}$$ و $$x ∈ ℚ$$
B: مجموعة الأعداد $$x$$ بحيث $$|x| = \frac{4}{11}$$ و $$x ∈ ℚ$$
C: مجموعة الأعداد $$x$$ بحيث $$|x| = -2.1$$ و $$x ∈ ℚ$$
الحل:
A: مجموعة الأعداد $$x$$ بحيث $$|x| = \frac{3}{7}$$ و $$x ∈ ℚ$$
$$A = \left\{-\frac{3}{7}, \frac{3}{7}\right\}$$
B: مجموعة الأعداد $$x$$ بحيث $$|x| = \frac{4}{11}$$ و $$x ∈ ℚ$$
$$B = \left\{-\frac{4}{11}\right\}$$
C: مجموعة الأعداد $$x$$ بحيث $$|x| = -2.1$$ و $$x ∈ ℚ$$
$$C = \{ \}$$ (المجموعة الفارغة لأن القيمة المطلقة لا تكون سالبة)
أكمل:
$$\ldots \frac{6}{20} = \frac{15}{\ldots}$$ ؛ $$\frac{21}{35} = \frac{3}{\ldots}$$ ؛ $$\frac{-11}{\ldots} = \frac{18}{\ldots}$$ ؛ $$\frac{6}{21} = \frac{\ldots}{14}$$ ؛ $$\frac{\ldots}{36} = \frac{3}{4}$$
الحل:
$$\frac{8}{20} = \frac{6}{15}$$ ؛ $$\frac{21}{35} = \frac{3}{5}$$ ؛ $$\frac{-11}{33} = \frac{6}{18}$$ ؛ $$\frac{6}{21} = \frac{-4}{14}$$ ؛ $$\frac{27}{36} = \frac{3}{4}$$
قارن بين:
| $$\frac{131}{121}$$ و $$\frac{241}{261}$$ | $$\frac{-22}{33}$$ و $$\frac{-48}{72}$$ | $$\frac{9997}{9993}$$ و $$\frac{2019}{2012}$$ |
الحل:
| المقارنة | النتيجة | التبرير |
|---|---|---|
| $$\frac{131}{121}$$ و $$\frac{241}{261}$$ | $$\frac{131}{121} > \frac{241}{261}$$ | لأن $$\frac{22}{33} = \frac{-48}{72}$$ |
| $$\frac{9997}{9993}$$ و $$\frac{2019}{2012}$$ | $$\frac{9997}{9993} > \frac{2019}{2012}$$ | - |
أ) أحسب ق.م.أ $$(148 ; 222)$$
ب) استنتج اختزال إلى أقصى حد العدد الكسري $$\frac{222}{148}$$
الحل:
أ) أحسب ق.م.أ $$(148 ; 222)$$
لدينا $$222 = 2 × 111 = 2 × 3 × 37$$ و $$148 = 2 × 74 = 2^2 × 37$$
ق.م.أ $$(148 ; 222) = 2 × 37 = 74$$ ومنه $$148 = 2 × 74 = 2^2 × 37$$
ب) استنتج اختزال إلى أقصى حد العدد الكسري $$\frac{222}{148}$$
$$\frac{222}{148} = \frac{222 ÷ 74}{148 ÷ 74} = \frac{3}{2}$$
أ) اختزل إلى أقصى حد الكتابة الكسرية $$\frac{682}{1023}$$
ب) أوجد كتابة كسرية للعدد $$\frac{2}{3}$$ بحيث يكون مجموع بسطها ومقامها 17050
الحل:
أ) اختزل إلى أقصى حد الكتابة الكسرية $$\frac{682}{1023}$$
$$\frac{682}{1023} = \frac{2 × 11 × 31}{3 × 11 × 31} = \frac{2}{3}$$
ب) أوجد كتابة كسرية للعدد $$\frac{2}{3}$$ بحيث يكون مجموع بسطها ومقامها 17050
نلاحظ أن $$6820 + 10230 = 17050$$
$$\frac{2}{3} = \frac{682}{1023} = \frac{6820}{10230}$$
وحد مقام:
أ) $$\frac{3}{16}$$ ؛ $$\frac{4}{25}$$
ب) $$\frac{2}{35}$$ ؛ $$\frac{7}{5}$$
ج) $$\frac{2}{3}$$ ؛ $$\frac{3}{8}$$
د) $$-\frac{7}{15}$$ ؛ $$\frac{7}{3}$$
الحل:
أ) $$-\frac{7}{15} = \frac{7}{15}$$ ؛ $$\frac{7}{5} = \frac{7 × 3}{5 × 3} = \frac{21}{15}$$
ب) $$\frac{2}{3} = \frac{2 × 8}{3 × 8} = \frac{16}{24}$$ ؛ $$-\frac{3}{8} = \frac{3 × 3}{8 × 3} = \frac{9}{24}$$
ج) $$-\frac{7}{5} = \frac{7 × 7}{5 × 7} = \frac{49}{35}$$
د) $$\frac{3}{16} = \frac{3 × 25}{16 × 25} = \frac{75}{400}$$ ؛ $$-\frac{4}{25} = \frac{4 × 16}{25 × 16} = \frac{64}{400}$$
(1) رتب تصاعدياً: $$1$$ و $$0$$ و $$\frac{18}{30}$$ و $$\frac{48}{180}$$ و $$\frac{7}{15}$$
(2) رتب تنازلياً: $$\frac{7}{22}$$ و $$-\frac{7}{12}$$ و $$\frac{7}{15}$$
(3) قارن العددين الكسريين $$\frac{2020}{2021}$$ و $$1.023$$
الحل:
(1) رتب تصاعدياً: $$1$$ و $$0$$ و $$\frac{18}{30}$$ و $$\frac{48}{180}$$ و $$\frac{7}{15}$$
التعليل: $$\frac{48}{180} < 1$$ و $$-14 > 18$$ لأن $$\frac{14}{30} > \frac{18}{30}$$
لأن البسط أصغر من المقام
(2) رتب تنازلياً: $$\frac{7}{22}$$ و $$-\frac{7}{12}$$ و $$\frac{7}{15}$$
رتب فيها المطلقة لأنها تشارك في البسط فيحصل على $$\frac{7}{12} < \frac{7}{15} < \frac{7}{22}$$ ومنه $$\frac{7}{12} < \frac{7}{15} < \frac{7}{22}$$
(1) اعتماد القسمة الإقليدية أبحث عن كتابة على شكل مجموع عدد صحيح مع عدد كسري أصغر من 1 لكل من العددين:
$$\frac{38}{9}$$ ؛ $$\frac{32}{7}$$ ؛ $$-\frac{29}{12}$$ ؛ $$-1$$ ؛ $$\frac{32}{7}$$ ؛ $$0$$ ؛ $$\frac{38}{9}$$
قارن $$\frac{4}{7}$$ و $$\frac{2}{9}$$
الحل:
بما أن $$38 = 9 × 4 + 2$$ فإن: $$\frac{38}{9} = \frac{36}{9} + \frac{2}{9} = 4 + \frac{2}{9}$$
بما أن $$32 = 7 × 4 + 4$$ فإن: $$\frac{32}{7} = \frac{28}{7} + \frac{4}{7} = 4 + \frac{4}{7}$$
ثم استنتج ترتيباً تصاعدياً للأعداد التالية: $$-\frac{29}{12}$$؛ $$-1$$؛ $$\frac{32}{7}$$؛ $$0$$؛ $$\frac{38}{9}$$ قارن $$\frac{4}{7}$$ و $$\frac{2}{9}$$
لدينا: $$\frac{14}{63} < \frac{36}{63} < \frac{4}{7}$$ و $$\frac{14}{63} < \frac{2 × 7}{9 × 7} = \frac{14}{63}$$
ومن ناحية أخرى: $$\frac{29}{12} > 1$$ لأن (البسط أكبر من المقام) $$\frac{29}{12} = \frac{24}{12} + \frac{5}{12} = 2 + \frac{5}{12}$$
الخلاصة: $$\frac{29}{12} < -1 < 0 < \frac{38}{9} < \frac{32}{7}$$
(1) أذكر خمسة أعداد كسرية محصورة بين العددين $$-\frac{1}{4}$$ و $$\frac{1}{5}$$
(2) أحصر كل عدد من الأعداد الكسرية التالية بين عددين صحيحين طبيعيين متتاليين:
$$\frac{1033}{21}$$ ؛ $$\frac{21}{25}$$ ؛ $$\frac{77}{9}$$ نسبتين متتاليين
ب) أحصر العدد الكسري بين عددين عشريين الفرق بينهما 0.001
الحل:
(1) أذكر خمسة أعداد كسرية محصورة بين العددين $$-\frac{1}{4}$$ و $$\frac{1}{5}$$
$$\frac{30}{120} < \frac{29}{120} < \frac{28}{120} < \frac{26}{120} < \frac{25}{120} < \frac{24}{120} < \frac{1}{5}$$
ومنه $$-\frac{1}{4} < \frac{29}{120} < \frac{7}{30} < \frac{9}{40} < \frac{13}{60} < \frac{1}{24} < \frac{1}{5}$$
(2) أحصر كل عدد من الأعداد الكسرية التالية بين عددين صحيحين طبيعيين متتاليين:
$$\frac{1033}{21}$$ ؛ $$\frac{21}{25}$$ ؛ $$\frac{77}{9}$$ نسبتين متتاليين: $$\frac{77}{9}$$
$$\frac{77}{9} = -8 + \left(-\frac{77}{9}\right) ⇒ -9 < -\frac{77}{9} < -8$$
$$\frac{21}{25} = 0 + \frac{21}{25} ⇒ 0 < \frac{21}{25} < 1$$
$$\frac{1033}{21} = \frac{1029}{21} + \frac{4}{21} = 49 + \frac{4}{21} ⇒ 49 < \frac{1033}{21} < 50$$
ب) أحصر العدد الكسري بين عددين عشريين الفرق بينهما 0.001: $$\frac{73}{11}$$
نعلم أن $$\frac{73}{11} = 6.636363636...$$
$$6.636 < \frac{73}{11} < 6.637$$ والفرق الحصر بحيث $$(6.637) - (6.636) + 6.637 = 0.001$$ يساوي أو يساوي مدى الحصر
(1) قارن: $$\frac{14}{15}$$ ... $$\frac{42}{45}$$
(2) أحصر العدد الكسري النسبي بين عددين صحيحين نسبيين متتاليين:
$$\frac{5}{3} = -1 + \ldots$$ إذن ... $$< \frac{5}{3} < \ldots$$
ومنه الجزء الصحيح للعدد الكسري النسبي $$\frac{5}{3}$$ هو ...
$$-\frac{19}{7} = -2 + \ldots$$ إذن ... $$< -\frac{19}{7} < \ldots$$
(3) كم يوجد من عدد صحيح نسبي محصور بين $$-\frac{5}{3}$$ و $$\frac{10}{3}$$
الحل:
(1) قارن: $$\frac{14}{15}$$ ... $$\frac{42}{45}$$
$$(-9 ← -3) → -\frac{9}{7} ← \frac{3}{7}$$
لتعيين المجموعة E:
$$E = \left\{\frac{4}{3} ; -\frac{7}{3} ; 0 ; \frac{13}{12} ; -\frac{5}{2} ; 0.231 ; -\frac{13}{6} ; \frac{22}{18} ; -2\right\}$$
رتب تصاعدياً عناصر المجموعة E
(*) العناصر الموجبة
(**) العناصر السالبة
الخلاصة
الحل:
رتب تصاعدياً عناصر المجموعة في E:
$$0; 0.231 ; \frac{13}{39} ; \frac{22}{36} ; \frac{11}{44} ; \frac{4}{36} ; \frac{48}{36}$$
يتم تجميع الأعداد حسب علاماتها:
$$\frac{-36}{18} = \frac{-13}{6} = \frac{-39}{18} = \frac{-5}{2} = \frac{-45}{18} ; \frac{7}{18} = \frac{-42}{18}$$
$$\frac{-45}{18} < \frac{-42}{18} < \frac{-39}{18} < \frac{-36}{18} < 0 < 0.231 < \frac{39}{36} < \frac{44}{36} < \frac{48}{36}$$
ثم ترتيبها: $$\frac{-5}{2} < \frac{7}{3} < \frac{-13}{6} < -2 < 0 < 0.231 < \frac{13}{12} < \frac{22}{18} < \frac{4}{3}$$
المستقيم △ مدرج بالنقطتين O و I حيث O أصل التدريج و $$OI = 1$$
━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼△
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(1) انقله على ورقك ثم عين النقاط A و B و C و D والتي فاصلاتها على التوالي هي 4 و -2.5 و $$\frac{11}{4}$$
(2) أحسب الأبعاد: AD و OD و OC و OB و OA
الحل:
D B O I N C A
━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼━━━┼△
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
(1) انقله على ورقك ثم عيّن النقاط A و B و C و D والتي فاصلاتها على التوالي هي $$-3$$ و $$\frac{11}{4}$$ و $$-2.5$$ و $$4$$
| النقطة | الفاصلة | الموقع |
|---|---|---|
| A | $$4$$ | يمين O |
| B | $$-2.5$$ | يسار O |
| C | $$\frac{11}{4} = 2.75$$ | يمين O |
| D | $$-3$$ | يسار O |
ملاحظة: $$\frac{11}{4} = \frac{8}{4} + \frac{3}{4} = 2 + \frac{3}{4}$$
(2) أحسب الأبعاد: AD و OD و OC و OB و OA
$$OD = |x_D| = |-3| = 3$$ و $$OC = |x_C| = \left|\frac{11}{4}\right| = \frac{11}{4}$$ و $$OB = |x_B| = |-2.5| = 2.5$$ و $$OA = |x_A| = |4| = 4$$
(1) هذا معين (O,M,N) في المستوى ! حدد احداثيات كل من النقطتين N و M
إذا كانت M نقطة من المستوى وفاصلة M سالبة ومنه $$OM = \frac{3}{2}$$ ، $$|x_M| = \frac{1}{2}$$ ، $$y_M = \frac{1}{2}$$
أ) عيّن نقطة N من الضرب 5
ب) عيّن نقطة P من المستوى بحيث $$DP = 3$$
ج) وحدة قياس الطول في $$OI = 1$$
الحل:
إذا كانت M نقطة من المستوى وفاصلة M سالبة ومنه $$OM = \frac{3}{2}$$ ، $$|x_M| = \frac{1}{2}$$ ، $$y_M = \frac{1}{2}$$
أ) عيّن نقطة N من الضرب 5
$$x_N = \frac{5}{4} - \frac{4}{4} + \frac{1}{4} = 1 + \frac{1}{4}$$
ب) عيّن نقطة P من المستوى بحيث $$DP = 3$$
ج) وحدة قياس الطول في $$OI = 1$$
P في نقطة من البداية O ذات المركز $$D$$ والشعاع $$3$$
وفاصلة M سالبة: $$OM = \frac{3}{2}$$ بحيث A ... M النقطة M في نقطة OM