تمارين الرياضيات

التمرين الأول

تحديد المجموعين التاليين:

$$A = \left\{-3; \frac{144}{8}; 5; |-2|; 3{,}1; |-4|; 0\right\}$$ $$B = \left\{-2; 1; 5; \frac{20}{4}; -4; |-3|\right\}$$

1) عدد عناصر المجموعات التالية:

$$A \cap \mathbb{Z} = \ldots \quad A \cap \mathbb{Z}^{*} = \ldots$$ $$B \cap \mathbb{Z}_{+} = \ldots \quad A \cap B = \ldots$$

2) أتمم ما يلي مع إحدى الرموز التالية: ∈, ⊆, ∉, ⊄

$$\left\{\frac{15}{3}; 4; -4; |-2|\right\} \ldots B$$ $$0 \ldots A$$ $$\{-2; -3; -4\} \ldots A$$ $$\{0\} \ldots B$$ $$A \ldots \mathbb{Z}$$ $$\{0; -3\} \ldots A$$ $$B \ldots A$$

3) عدد عناصر المجموعات التالية:

$$E = \{x \in \mathbb{Z} : |x| = 3\}$$ $$F = \{x \in \mathbb{Z} : |x| = 5 \text{ و } x \in A\}$$ $$G = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 4 \text{ و } x \in B\}$$ $$H = \{x \in A : |x| = x\}$$ $$I = \{x \in B : |x| = x\}$$

تبسيط المجموعات

$$A = \left\{-3; \frac{144}{8}; 5; |-2|; 3{,}1; |-4|; 0\right\} = \{-3; 18; 5; 2; 3{,}1; 4; 0\}$$ $$B = \left\{-2; 1; 5; \frac{20}{4}; -4; |-3|\right\} = \{-2; 1; 5; 5; -4; 3\} = \{-2; 1; 5; -4; 3\}$$

ملاحظة: في المجموعة B نحذف التكرار، فـ 5 تظهر مرة واحدة فقط.

حساب التقاطعات

$$A \cap \mathbb{Z} = \{-3; 18; 5; 2; 4; 0\} \text{ → } \boxed{6 \text{ عناصر}}$$ $$A \cap \mathbb{Z}^{*} = \{18; 5; 2; 4\} \text{ → } \boxed{4 \text{ عناصر}}$$ $$B \cap \mathbb{Z}_{+} = \{1; 5; 3\} \text{ → } \boxed{3 \text{ عناصر}}$$ $$A \cap B = \{5\} \text{ → } \boxed{1 \text{ عنصر}}$$

تحديد العلاقات والمجموعات الأخرى

$$\left\{\frac{15}{3}; 4; -4; |-2|\right\} = \{5; 4; -4; 2\} \not\subseteq B$$

لأن 4 و 2 و -4 لا تنتمي إلى B

$$0 \in A \text{ ✓}$$ $$\{-2; -3; -4\} \not\subseteq A$$

لأن -2 لا تنتمي إلى A

$$\{0\} \not\subseteq B$$

لأن 0 لا تنتمي إلى B

$$A \not\subseteq \mathbb{Z}$$

لأن 3,1 ليس عددا صحيحا

$$\{0; -3\} \subseteq A \text{ ✓}$$ $$B \not\subseteq A$$

$$E = \{x \in \mathbb{Z} : |x| = 3\} = \{-3; 3\} \text{ → } \boxed{2 \text{ عنصر}}$$ $$F = \{x \in \mathbb{Z} : |x| = 5 \text{ و } x \in A\} = \{5\} \text{ → } \boxed{1 \text{ عنصر}}$$ $$G = \{x \in \mathbb{Z} : |x| < 4 \text{ و } x \in B\} = \{-2; 1; 3\} \text{ → } \boxed{3 \text{ عناصر}}$$ $$H = \{x \in A : |x| = x\} = \{18; 5; 2; 4; 0\} \text{ → } \boxed{5 \text{ عناصر}}$$ $$I = \{x \in B : |x| = x\} = \{1; 5; 3\} \text{ → } \boxed{3 \text{ عناصر}}$$

التمرين الثاني

ليكن $(O,I)$ مدرج متعامد $(xx')$ حيث $OI = 1$

إذا كان $x = -2020$ عندما $x \in \mathbb{Z}$ و $|x| = 2020$

و $x \in \mathbb{Z}^{-}$ بحيث $|x| = -x$

1) أعط فاصلة من النقاط التالية: $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $O$

$$C(\ldots); \quad B(\ldots); \quad A(\ldots)$$

2) ضع على المستقيم $(xx')$ النقطتين $D(-1)$ و $E(3)$

3) ارسم كعلامة على الخط بالنسبة إلى النقطة $O$ النقطة التي تحتاجها لتصبح:

متماثلة إلى قياسيتها

تحليل المعطيات

المعطى: مدرج متعامد $(O,I)$ حيث $OI = 1$

إذا كان $x = -2020$ و $x \in \mathbb{Z}$ و $|x| = 2020$، فإن $x = -2020$ أو $x = 2020$
وبما أن $x = -2020$ معطى، فالحل صحيح.

كما أن $x \in \mathbb{Z}^{-}$ و $|x| = -x$ يعني أن $x$ عدد سالب.

تحديد إحداثيات النقاط

بناءً على المعطيات في الصورة ونمط التمرين:

$$C(-1); \quad B(0); \quad A(1)$$

تفسير:

$B(0)$: هي النقطة الأصل $O$
$A(1)$: على بعد وحدة واحدة يميناً من $O$
$C(-1)$: على بعد وحدة واحدة يساراً من $O$

رسم النقاط الإضافية والتماثل

النقطتان المعطاتان:

$$D(-1) \text{ و } E(3)$$

للحصول على النقطة المتماثلة:

إذا كانت النقطة $P(a)$، فإن نقطتها المتماثلة بالنسبة إلى $O$ هي $P'(-a)$

مثال:

$$A(1) \leftrightarrow A'(-1)$$ $$E(3) \leftrightarrow E'(-3)$$ $$D(-1) \leftrightarrow D'(1)$$

التمرين الثالث

1) أعط القيمة المطلقة لكل من النقاط التالية:

$$|123| = \ldots \quad |-25| = \ldots \quad |23| = \ldots$$ $$|0| = \ldots \quad |-11| = \ldots \quad |-17| = \ldots$$

2) أحسب القيمة المطلقة لكل من الأعداد التالية:

$$\sqrt{400} = \ldots \quad |9| = \ldots \quad \sqrt{81} = \ldots \quad |-15| = \ldots$$

3) أعط الحل الأدنى من النقاط التالية وعدد الإمكانات:

$$|a| = |-7| \Rightarrow a = \ldots$$ $$|a| = 21 \Rightarrow a = \ldots$$ $$|a| = 13 \Rightarrow a = \ldots$$ $$|a| = -12 \Rightarrow a = \ldots$$ $$|a| = 0 \Rightarrow a = \ldots$$ $$|a| = |21| \Rightarrow a = \ldots$$

حساب القيم المطلقة الأساسية

$$|123| = 123$$ $$|-25| = 25$$ $$|23| = 23$$ $$|0| = 0$$ $$|-11| = 11$$ $$|-17| = 17$$

قاعدة: القيمة المطلقة لأي عدد هي المسافة بين هذا العدد والصفر على خط الأعداد.

إكمال المعادلات

$$\sqrt{400} = 20$$ $$|9| = 9$$ $$\sqrt{81} = 9$$ $$|-15| = 15$$

ملاحظة: $\sqrt{n^2} = |n| = n$ إذا كان $n \geq 0$

حل معادلات القيمة المطلقة

$$|a| = |-7| = 7 \Rightarrow a = 7 \text{ أو } a = -7 \text{ → } \boxed{2 \text{ حل}}$$ $$|a| = 21 \Rightarrow a = 21 \text{ أو } a = -21 \text{ → } \boxed{2 \text{ حل}}$$ $$|a| = 13 \Rightarrow a = 13 \text{ أو } a = -13 \text{ → } \boxed{2 \text{ حل}}$$ $$|a| = -12 \Rightarrow \text{لا يوجد حل} \text{ → } \boxed{\emptyset}$$

القيمة المطلقة لا تكون سالبة أبداً!

$$|a| = 0 \Rightarrow a = 0 \text{ → } \boxed{1 \text{ حل}}$$ $$|a| = |21| = 21 \Rightarrow a = 21 \text{ أو } a = -21 \text{ → } \boxed{2 \text{ حل}}$$

التمرين الرابع

نعتبر المجموعين التاليين:

$$A = \left\{-11; \frac{315}{5}; +11; |-7|; -1; 0; -2; 3\right\}$$ $$B = \left\{-1; 1; 5; \frac{35}{5}; -4; |-3|\right\}$$

1) عدد عناصر المجموعات التالية:

$$A \cap \mathbb{Z}_{+} = \ldots \quad A \cap \mathbb{Z} = \ldots$$ $$B \cap \mathbb{Z}_{+} = \ldots \quad A \cap B = \ldots$$

2) أتمم ما يلي مع إحدى الرموز التالية: ∈, ⊆, ∉, ⊄

$$A \ldots \mathbb{Z} \quad \left\{\frac{21}{3}; -4\right\} \ldots B$$ $$A \ldots \mathbb{Z}^{-} \quad \{-2; -3; 5\} \ldots A$$ $$B \ldots \mathbb{Z}^{+} \quad \{3\} \ldots B$$ $$B \ldots A$$

تبسيط المجموعات

$$A = \left\{-11; \frac{315}{5}; +11; |-7|; -1; 0; -2; 3\right\}$$ $$= \{-11; 63; 11; 7; -1; 0; -2; 3\}$$
$$B = \left\{-1; 1; 5; \frac{35}{5}; -4; |-3|\right\}$$ $$= \{-1; 1; 5; 7; -4; 3\}$$

العمليات المستخدمة:

$\frac{315}{5} = 63$
$|-7| = 7$
$\frac{35}{7} = 7$
$|-3| = 3$

حساب التقاطعات

$$A \cap \mathbb{Z}_{+} = \{63; 11; 7; 3\} \text{ → } \boxed{4 \text{ عناصر}}$$

الأعداد الصحيحة الموجبة في A

$$A \cap \mathbb{Z} = A = \{-11; 63; 11; 7; -1; 0; -2; 3\} \text{ → } \boxed{8 \text{ عناصر}}$$

جميع عناصر A صحيحة

$$B \cap \mathbb{Z}_{+} = \{1; 5; 7; 3\} \text{ → } \boxed{4 \text{ عناصر}}$$

الأعداد الصحيحة الموجبة في B

$$A \cap B = \{-1; 7; 3\} \text{ → } \boxed{3 \text{ عناصر}}$$

العناصر المشتركة بين A و B

تحديد العلاقات

$$A \subseteq \mathbb{Z} \text{ ✓}$$

جميع عناصر A صحيحة

$$\left\{\frac{21}{3}; -4\right\} = \{7; -4\} \not\subseteq B$$

لأن -4 ∉ B

$$A \not\subseteq \mathbb{Z}^{-}$$

لأن A تحتوي على أعداد موجبة

$$\{-2; -3; 5\} \not\subseteq A$$

لأن -3 و 5 ∉ A

$$B \not\subseteq \mathbb{Z}^{+}$$

لأن B تحتوي على -1 و -4

$$\{3\} \subseteq B \text{ ✓}$$

3 ∈ B

$$B \not\subseteq A$$

لأن 1 و 5 ∉ A

المجموعات والفترات

تبسيط المجموعات

حساب التقاطعات

تحديد العلاقات والمجموعات الأخرى

تحليل المعطيات

تحديد إحداثيات النقاط

رسم النقاط الإضافية والتماثل

حساب القيم المطلقة الأساسية

إكمال المعادلات

حل معادلات القيمة المطلقة

تبسيط المجموعات

حساب التقاطعات

تحديد العلاقات

دليل المساعدة - تمارين الرياضيات

🎯 المواضيع المعالجة:

📚 نصائح للحل:

🔧 استخدام الصفحة: