ℕ (الأعداد الطبيعية): {0, 1, 2, 3, 4, ...}
ℤ (الأعداد الصحيحة): {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
ℤ+ (الأعداد الصحيحة الموجبة): {1, 2, 3, 4, ...}
ℤ- (الأعداد الصحيحة السالبة): {..., -4, -3, -2, -1}
ℚ (الأعداد النسبية): كل عدد يكتب على الشكل a/b حيث a, b ∈ ℤ و b ≠ 0
∈ (ينتمي إلى): 3 ∈ ℕ يعني أن 3 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الطبيعية
∉ (لا ينتمي إلى): -2 ∉ ℕ يعني أن -2 لا ينتمي إلى الأعداد الطبيعية
⊂ (جزء من): ℕ ⊂ ℤ يعني أن الأعداد الطبيعية جزء من الأعداد الصحيحة
∩ (تقاطع): A ∩ B عناصر مشتركة بين A و B
∪ (اتحاد): A ∪ B جميع عناصر A و B
أمثلة:
قاعدة التبسيط: a/b = (a÷d)/(b÷d) حيث d = PGCD(a,b)
أمثلة:
• تذكر أن 0 ∈ ℕ و 0 ∈ ℤ
• العدد النسبي ليس بالضرورة عدد صحيح
• √n ليس دائماً عدد صحيح (مثل √169 = 13)
• القيمة المطلقة لا تكون أبداً سالبة
• -(-a) = a (سالب السالب موجب)
الأعداد الطبيعية ⊂ الأعداد الصحيحة ⊂ الأعداد النسبية
هل A ∩ ℤ المجموعة:
المطلوب هو إيجاد تقاطع المجموعة A مع مجموعة الأعداد الصحيحة ℤ
أسئلة للتفكير:
• ما هو تعريف تقاطع مجموعتين؟
• أي من عناصر A هي أعداد صحيحة؟
• هل 567108/8 عدد صحيح؟ احسب القسمة
• هل 0.4 عدد صحيح؟
تذكر:
A ∩ B يحتوي على العناصر المشتركة بين A و B فقط
الطريقة:
1. نحدد عناصر المجموعة A
2. نتحقق من كل عنصر: هل هو عدد صحيح؟
3. العناصر التي هي أعداد صحيحة تشكل A ∩ ℤ
فحص العناصر:
فحص كل عنصر من A:
1) 567108/8:
هذا ليس عدد صحيح ✗
2) -5:
هذا عدد صحيح سالب، إذن -5 ∈ ℤ ✓
3) 0.4:
هذا عدد عشري، ليس عدد صحيح ✗
4) 2:
هذا عدد صحيح موجب، إذن 2 ∈ ℤ ✓
النتيجة:
العناصر المشتركة بين A و ℤ هي: -5 و 2
الإجابة الصحيحة: ج
أتمم كل فراغ بـ ∈ أو ∉ أو ⊂ أو ⊄:
هذا التمرين يتطلب فهم الفرق بين الانتماء والاحتواء
تذكر:
• ∈ و ∉: للعناصر (أعداد مفردة)
• ⊂ و ⊄: للمجموعات
• ℤ+ = {1, 2, 3, 4, ...} (الأعداد الصحيحة الموجبة)
أسئلة مساعدة:
• احسب قيمة 8967525/25
• ما قيمة |-5|؟
• هل جميع عناصر المجموعة تنتمي إلى ℤ+؟
استراتيجية الحل:
1. نحسب قيم الكسور والقيم المطلقة
2. نتحقق من طبيعة كل عدد أو مجموعة
3. نختار الرمز المناسب
قواعد مهمة:
1) 8967525/25 ... ℤ:
النتيجة عدد صحيح، إذن: 8967525/25 ∈ ℤ
2) {-13; |-5|; 0} ... ℤ+:
أولاً، نبسط المجموعة:
|-5| = 5
المجموعة = {-13; 5; 0}
ℤ+ = {1, 2, 3, 4, ...} (الأعداد الصحيحة الموجبة)
-13 ∉ ℤ+ و 0 ∉ ℤ+
إذن: {-13; |-5|; 0} ⊄ ℤ+
3) {98208/8; -15; 0; 2} ... ℤ:
نحسب: 98208/8 = 12276
المجموعة = {12276; -15; 0; 2}
جميع العناصر أعداد صحيحة:
إذن: {98208/8; -15; 0; 2} ⊂ ℤ
أتمم بما يناسب:
تذكر التعريفات:
• ℕ = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
• ℤ₋ = {..., -4, -3, -2, -1}
أسئلة للتفكير:
• ما هي العناصر المشتركة بين ℕ و ℤ₋؟
• ماذا يحدث عند اتحاد ℤ₋ مع ℕ؟
• احسب قيمة 987656/4 و |-78|
• أي من عناصر المجموعة الأخيرة ينتمي إلى ℕ؟
للتقاطع (∩):
نبحث عن العناصر الموجودة في كلا المجموعتين
للاتحاد (∪):
نجمع جميع عناصر المجموعتين دون تكرار
للمجموعة الثالثة:
1. نحسب قيم الكسور والقيم المطلقة
2. نحدد أي منها ينتمي إلى ℕ
3. نكتب النتيجة
1) ℕ ∩ ℤ₋:
ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} (الأعداد الطبيعية)
ℤ₋ = {..., -3, -2, -1} (الأعداد الصحيحة السالبة)
لا توجد عناصر مشتركة بينهما
ℕ ∩ ℤ₋ = ∅
2) ℤ₋ ∪ ℕ:
نجمع الأعداد الصحيحة السالبة مع الأعداد الطبيعية
ℤ₋ ∪ ℕ = {..., -3, -2, -1} ∪ {0, 1, 2, 3, ...}
ℤ₋ ∪ ℕ = ℤ (جميع الأعداد الصحيحة)
3) {987656/4; -13; |-78|; 0; 3.4} ∩ ℕ:
أولاً، نبسط المجموعة:
المجموعة = {246914; -13; 78; 0; 3.4}
نتحقق من انتماء كل عنصر إلى ℕ:
{987656/4; -13; |-78|; 0; 3.4} ∩ ℕ = {246914; 78; 0}
أوجد العدد الصحيح النسبي x في كل حالة من الحالات التالية إن أمكن ذلك:
خصائص القيمة المطلقة:
• |x| ≥ 0 دائماً
• |x| = a له حلان: x = a أو x = -a (إذا كان a ≥ 0)
• |-x| = |x|
أسئلة للتفكير:
• هل يمكن أن تكون القيمة المطلقة سالبة؟
• ما قيمة |-21|؟
• إذا كان |-x| = 49، فما قيمة |x|؟
انتبه:
بعض المعادلات قد لا يكون لها حل!
قاعدة عامة:
لحل |x| = a:
خصائص مفيدة:
• |-x| = |x|
• |-a| = |a|
خطوات الحل:
1. نبسط الطرف الأيمن إن أمكن
2. نتحقق من إمكانية وجود حل
3. نطبق القاعدة المناسبة
1) |x| = 8:
بما أن 8 > 0، فإن المعادلة لها حلان:
x = 8 أو x = -8
2) |x| = -12:
القيمة المطلقة لا تكون أبداً سالبة
إذن: لا يوجد حل
3) |x| = 0:
القيمة المطلقة تساوي صفر فقط عندما يكون العدد نفسه صفر
x = 0
4) |x| = |-21|:
أولاً، نحسب |-21| = 21
إذن المعادلة تصبح: |x| = 21
بما أن 21 > 0، فإن:
x = 21 أو x = -21
5) |-x| = 49:
نستخدم خاصية |-x| = |x|
إذن المعادلة تصبح: |x| = 49
بما أن 49 > 0، فإن:
x = 49 أو x = -49
ملخص الإجابات:
1) x ∈ {8; -8}
2) لا يوجد حل
3) x = 0
4) x ∈ {21; -21}
5) x ∈ {49; -49}