تمارين المجموعات العددية

التمرين رقم 1

حدد العلاقة بين المجموعات العددية:

\mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}^+ \] \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}^- \] \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \] \[ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}^* \] \[ \mathbb{Z} \subset \mathbb{N}

\{-1,0,1\} \subset \mathbb{Z}^- \] \[ \{5,-2,14,-1,0,36\} \subset \mathbb{Z}^*

شرح مفصل:

الرموز:

\mathbb{Z} = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} \] \[ \mathbb{Z}^+ = \{1,2,3,\ldots\} \] \[ \mathbb{Z}^- = \{\ldots,-3,-2,-1\} \] \[ \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\} = \{\ldots,-2,-1,1,2,\ldots\} \] \[ \mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\}

تحليل العلاقات:

1. \( \mathbb{Z} \subset \mathbb{Z}^+ \) → خطأ، لأن \( \mathbb{Z} \) تحتوي أعداداً سالبة و0

2. \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}^- \) → خطأ، \( \mathbb{N} \) أعداد موجبة

3. \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \) → صحيح، كل الأعداد الطبيعية صحيحة

4. \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z}^* \) → خطأ، لأن \( \mathbb{N} \) تحتوي على 0

5. \( \mathbb{Z} \subset \mathbb{N} \) → خطأ، \( \mathbb{Z} \) تحتوي أعداداً سالبة

6. \( \{-1,0,1\} \subset \mathbb{Z}^- \) → خطأ، تحتوي على 0 و1 الموجب

7. \( \{5,-2,14,-1,0,36\} \subset \mathbb{Z}^* \) → خطأ، تحتوي على 0

التمرين رقم 2

أكمل العمليات على المجموعات:

\mathbb{Z}^* \cap \mathbb{N} = \ldots

\mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^- = \ldots

\mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^- = \ldots

حل مفصل:

1) \( \mathbb{Z}^* \cap \mathbb{N} \) :

\( \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} \setminus \{0\} = \{\ldots,-2,-1,1,2,\ldots\} \)

\( \mathbb{N} = \{0,1,2,3,\ldots\} \)

\( \mathbb{Z}^* \cap \mathbb{N} = \{1,2,3,\ldots\} = \mathbb{N}^* \)

2) \( \mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^- \) :

\( \mathbb{Z}^+ = \{0,1,2,3,\ldots\} \)

\( \mathbb{Z}^- = \{\ldots,-3,-2,-1,0\} \)

\( \mathbb{Z}^+ \cap \mathbb{Z}^- = \{0\} \)

3) \( \mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^- \) :

\( \mathbb{Z}^+ \cup \mathbb{Z}^- = \{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\} = \mathbb{Z} \)

التمرين رقم 6

استخرج الأعداد المتناظرة:

\[ -27,~ 25,~ 17,~ -25,~ 20,~ 7,~ -17,~ 18,~ -5,~ 11,~ -18,~ 5 \]

خطوات الحل:

الأعداد المتناظرة هي التي تتساوى في القيمة المطلقة وتختلف في الإشارة

الخطوة 1: ترتيب الأعداد:

\[ -27,~ -25,~ -18,~ -17,~ -5,~ 5,~ 7,~ 11,~ 17,~ 18,~ 20,~ 25 \]

الخطوة 2: إيجاد الأزواج:

1. \( -25 \) و \( 25 \) → متقابلان

2. \( -18 \) و \( 18 \) → متقابلان

3. \( -17 \) و \( 17 \) → متقابلان

4. \( -5 \) و \( 5 \) → متقابلان

النتيجة النهائية:

الأعداد المتقابلة: \( (-25,25) \), \( (-18,18) \), \( (-17,17) \), \( (-5,5) \)

\( -27 \), \( 7 \), \( 11 \), \( 20 \) ليس لها أعداد متقابلة في القائمة

التمرين رقم 7

احسب القيمة المطلقة:

\[ -3;~ 12;~ -7;~ -15;~ 0;~ 45;~ -128;~ -265;~ 15;~ 6 \]

شرح القيمة المطلقة:

القيمة المطلقة \( |x| \) تعطي مسافة العدد من الصفر على خط الأعداد وهي دائماً موجبة

طريقة الحساب:

|x| = \begin{cases} x & \text{إذا كان } x \geq 0 \\ -x & \text{إذا كان } x < 0 \end{cases}

حساب كل عدد:

\( |-3| = 3 \)

\( |12| = 12 \)

\( |-7| = 7 \)

\( |-15| = 15 \)

\( |0| = 0 \)

\( |45| = 45 \)

\( |-128| = 128 \)

\( |-265| = 265 \)

\( |15| = 15 \)

\( |6| = 6 \)

التمرين رقم 9

أوجد المجموعات التالية:

X = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 5\}

F = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = -x\}

D = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| < 4\}

حل كل مجموعة:

1) المجموعة \( X \) :

\( |x| = 5 \implies x = 5 \) أو \( x = -5 \)

\( X = \{-5, 5\} \)

2) المجموعة \( F \) :

\( |x| = -x \implies x \leq 0 \)

\( F = \{\ldots,-3,-2,-1,0\} = \mathbb{Z}^- \cup \{0\} \)

3) المجموعة \( D \) :

\( |x| < 4 \implies -4 < x < 4 \)

\( D = \{-3,-2,-1,0,1,2,3\} \)