دفواراتي فرض المراقبة رقم 1
أساسي 8 		المدرسة الإعدادية النموذجية صفاقس البحيرة

التمرين رقم 1

التمرين رقم 1

يعتبر المجموعة التالية:

\( F = \left\{ -(-7); \frac{18}{3}; |-1|; \frac{11}{4}; 3.25; -\sqrt{6^2 + 8^2}; 3; -5 \right\} \)
\( E = \left\{ \frac{79}{25}; 0; \frac{16}{26}; -\sqrt{121}; 10^3; -\frac{\sqrt{100}}{10}; 5; -\frac{666}{222}; \frac{81}{9}; \frac{1089}{90}; -6 \right\} \)

1- حدّد المجموعات التالية:

\( E \cap F \) =

\( E \cap \mathbb{Z} \) =

\( E \cap \mathbb{N}^* \) =

\( E \cap \mathbb{Z}^* \) =

2- حدّد عناصر المجموعة \( E \) التي تساوي قيمتها المطلقة

ب- حدّد العناصر السالبة من \( F \) التي قيمتها المطلقة أصغر أو تساوي \( |-1| \)

ج- حدّد العناصر السالبة من المجموعة \( F \) التي قيمتها المطلقة تساوي 3.

🔑 الإصلاح المفصل - التمرين رقم 1

💡 التلميح

للجزء 1: ابدأ بتبسيط كل عنصر في المجموعتين \(F\) و \(E\).

تذكر:

  • \(-(-7) = 7\)
  • \(\frac{18}{3} = 6\)
  • \(|-1| = 1\)
  • \(\sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
  • \(\sqrt{121} = 11\)
  • \(10^3 = 1000\)

للجزء 2-3: القيمة المطلقة \(|x|\) تعطي دائما قيمة موجبة أو صفر.

📝 الطريقة

الخطوة 1: تبسيط عناصر \(F\):

  1. احسب قيمة كل عنصر
  2. اكتب المجموعة \(F\) بشكل مبسط

الخطوة 2: تبسيط عناصر \(E\):

  1. احسب قيمة كل كسر وكل جذر
  2. اكتب المجموعة \(E\) بشكل مبسط

الخطوة 3: حساب التقاطعات:

  1. \(E \cap F\): العناصر المشتركة بين المجموعتين
  2. \(E \cap \mathbb{Z}\): العناصر الصحيحة النسبية من \(E\)
  3. \(E \cap \mathbb{N}^*\): الأعداد الطبيعية الموجبة غير الصفرية من \(E\)
  4. \(E \cap \mathbb{Z}^*\): الأعداد الصحيحة النسبية غير الصفرية من \(E\)

الخطوة 4: القيمة المطلقة:

لإيجاد عناصر \(E\) التي قيمتها المطلقة تساوي قيمتها، نبحث عن الأعداد الموجبة أو الصفر.

✅ الحل الكامل

أولا: تبسيط المجموعة \(F\):

\( F = \{ 7; 6; 1; 2.75; 3.25; -10; 3; -5 \} \)

التفاصيل:

  • \(-(-7) = 7\)
  • \(\frac{18}{3} = 6\)
  • \(|-1| = 1\)
  • \(\frac{11}{4} = 2.75\)
  • \(3.25 = 3.25\)
  • \(-\sqrt{6^2 + 8^2} = -\sqrt{100} = -10\)
  • \(3 = 3\)
  • \(-5 = -5\)

ثانيا: تبسيط المجموعة \(E\):

\( E = \{ 3.16; 0; \frac{8}{13}; -11; 1000; -1; 5; -3; 9; 12.1; -6 \} \)

التفاصيل:

  • \(\frac{79}{25} = 3.16\)
  • \(0 = 0\)
  • \(\frac{16}{26} = \frac{8}{13} \approx 0.615\)
  • \(-\sqrt{121} = -11\)
  • \(10^3 = 1000\)
  • \(-\frac{\sqrt{100}}{10} = -\frac{10}{10} = -1\)
  • \(5 = 5\)
  • \(-\frac{666}{222} = -3\)
  • \(\frac{81}{9} = 9\)
  • \(\frac{1089}{90} = 12.1\)
  • \(-6 = -6\)

1) حساب المجموعات:

أ) \(E \cap F\): العناصر المشتركة

\( E \cap F = \{ 5 \} \)

ب) \(E \cap \mathbb{Z}\): الأعداد الصحيحة من \(E\)

\( E \cap \mathbb{Z} = \{ 0; -11; 1000; -1; 5; -3; 9; -6 \} \)

ج) \(E \cap \mathbb{N}^*\): الأعداد الطبيعية الموجبة غير الصفرية

\( E \cap \mathbb{N}^* = \{ 1000; 5; 9 \} \)

د) \(E \cap \mathbb{Z}^*\): الأعداد الصحيحة غير الصفرية

\( E \cap \mathbb{Z}^* = \{ -11; 1000; -1; 5; -3; 9; -6 \} \)

2) عناصر \(E\) التي تساوي قيمتها المطلقة:

نبحث عن العناصر حيث \(x = |x|\)، أي الأعداد الموجبة أو الصفر:

\( \{ 3.16; 0; \frac{8}{13}; 1000; 5; 9; 12.1 \} \)

ب) العناصر السالبة من \(F\) حيث \(|x| \leq |-1| = 1\):

العناصر السالبة من \(F\): \(\{-10, -5\}\)

نحسب القيمة المطلقة:

  • \(|-10| = 10 > 1\) ❌
  • \(|-5| = 5 > 1\) ❌
الجواب: \( \emptyset \) (المجموعة الفارغة)

ج) العناصر السالبة من \(F\) حيث \(|x| = 3\):

نبحث عن \(x\) سالب بحيث \(|x| = 3\)، أي \(x = -3\).

لكن \(-3 \notin F\) (المجموعة \(F\) لا تحتوي على \(-3\)).

الجواب: \( \emptyset \) (المجموعة الفارغة)

التمرين رقم 2

التمرين رقم 2

1] ضع رقما مكان كل نقطة لكي يصبح العدد

أ) 3 . 6 قابلا للقسمة على 8 و 5 في نفس الوقت

ب) 5 . . 3 قابلا للقسمة على 9 و 25 في نفس الوقت

2] يعتبر العدد الصحيح التالي 32659

حدّد باقي القسمة الإقليدية لهذا العدد على 9 ثم 4 ثم 8 مع تعليل الجواب في كل مرة

3] بيّن أن \( 3 \times 2^{10} + 5 \times 4^4 \) يقبل القسمة على 17 و 4

🔑 الإصلاح المفصل - التمرين رقم 2

💡 التلميح

للسؤال 1:

  • أ) لكي يقبل العدد القسمة على 8: آخر 3 أرقام يجب أن تقبل القسمة على 8
  • لكي يقبل القسمة على 5: آخر رقم يجب أن يكون 0 أو 5
  • ب) لكي يقبل القسمة على 9: مجموع الأرقام يجب أن يقبل القسمة على 9
  • لكي يقبل القسمة على 25: آخر رقمين يجب أن يقبلا القسمة على 25

للسؤال 2: استخدم معايير القابلية للقسمة:

  • القسمة على 9: مجموع الأرقام
  • القسمة على 4: آخر رقمين
  • القسمة على 8: آخر 3 أرقام

للسؤال 3: احسب قيمة العبارة ثم تحقق من قابليتها للقسمة.

📝 الطريقة

السؤال 1أ) العدد 3.6 قابل للقسمة على 8 و 5:

  1. لكي يقبل القسمة على 5، الرقم الأخير يجب أن يكون 0 أو 5
  2. لكي يقبل القسمة على 8، ننظر للأرقام الثلاثة الأخيرة
  3. جرب القيم الممكنة

السؤال 1ب) العدد 5..3 قابل للقسمة على 9 و 25:

  1. لكي يقبل القسمة على 25، آخر رقمين يجب أن يكونا: 00, 25, 50, أو 75
  2. لكي يقبل القسمة على 9، مجموع الأرقام يقبل القسمة على 9
  3. جرب القيم الممكنة

السؤال 2) باقي قسمة 32659:

  1. على 9: احسب مجموع الأرقام
  2. على 4: انظر لآخر رقمين
  3. على 8: انظر لآخر 3 أرقام

السؤال 3) \(3 \times 2^{10} + 5 \times 4^4\):

  1. احسب قيمة \(2^{10}\) و \(4^4\)
  2. احسب قيمة العبارة الكاملة
  3. تحقق من قابلية القسمة على 17 و 4

✅ الحل الكامل

1أ) العدد 3.6 قابل للقسمة على 8 و 5:

الشكل: 3a6 حيث a هو الرقم المجهول.

شرط القسمة على 5: آخر رقم = 6 ❌

العدد 3a6 لا يمكن أن يقبل القسمة على 5 لأن آخر رقم ليس 0 أو 5.

لا يوجد حل (العدد بهذا الشكل لا يمكن أن يقبل القسمة على 5)

ملاحظة: ربما السؤال يقصد 3.60 أو العدد بشكل مختلف.

إذا كان السؤال: 3a6b

  • لكي يقبل القسمة على 5: b = 0 أو 5
  • إذا كان b = 0: العدد 3a60، لكي يقبل القسمة على 8، يجب أن 360 يقبل القسمة على 8
  • 360 ÷ 8 = 45، إذن a = 6 والعدد هو 3660

1ب) العدد 5..3 قابل للقسمة على 9 و 25:

الشكل: 5ab3 حيث a و b رقمان مجهولان.

شرط القسمة على 25: آخر رقمين b3 يقبلان القسمة على 25

لكن لا يوجد عدد ينتهي بـ .3 يقبل القسمة على 25 (الأعداد التي تقبل القسمة على 25 تنتهي بـ 00, 25, 50, 75).

إذا كان السؤال: 5a2b (أي الرقم الأخير ليس 3)

  • لكي يقبل القسمة على 25: آخر رقمين = 25 أو 75
  • إذا كان: 5a25 → مجموع الأرقام: 5 + a + 2 + 5 = 12 + a
  • لكي يقبل القسمة على 9: 12 + a يقبل القسمة على 9 → a = 6
  • الحل: العدد هو 5625

2) باقي قسمة العدد 32659:

أ) القسمة على 9:

مجموع الأرقام: 3 + 2 + 6 + 5 + 9 = 25

25 ÷ 9 = 2 والباقي 7

الباقي = 7

ب) القسمة على 4:

آخر رقمين: 59

59 ÷ 4 = 14 والباقي 3

الباقي = 3

ج) القسمة على 8:

آخر 3 أرقام: 659

659 ÷ 8 = 82 والباقي 3

الباقي = 3

3) إثبات أن \(3 \times 2^{10} + 5 \times 4^4\) يقبل القسمة على 17 و 4:

الخطوة 1: حساب القيمة

  • \(2^{10} = 1024\)
  • \(4^4 = (2^2)^4 = 2^8 = 256\)

الخطوة 2: حساب العبارة

\(3 \times 1024 + 5 \times 256 = 3072 + 1280 = 4352\)

الخطوة 3: التحقق من القسمة على 17

4352 ÷ 17 = 256

\(4352 = 17 \times 256\)

إذن العدد يقبل القسمة على 17 ✓

الخطوة 4: التحقق من القسمة على 4

آخر رقمين: 52

52 ÷ 4 = 13

\(4352 = 4 \times 1088\)

إذن العدد يقبل القسمة على 4 ✓

أو يمكن أن نلاحظ:

\(3 \times 2^{10} + 5 \times 4^4 = 3 \times 2^{10} + 5 \times 2^8 = 2^8(3 \times 2^2 + 5) = 256 \times 17\)

إذن العدد من مضاعفات 17 ومن مضاعفات \(2^8\) وبالتالي من مضاعفات 4.

التعيين رقم 3

التعيين رقم 3

دائرة \((C)\) مركزها \(O\) و قطرها \([AB]\) بحيث \(AB=8cm\)

1) ابن المماسان \(A\Delta\) و \(A'\Delta\) للدائرة \((C)\) في \(A\) و \(B\) على التوالي

2) حدّد مناظرة النقطة \(A\) بالنسبة إلى \(O\) مع تعليل الجواب

3) بيّن أن \(\Delta\) و \(A'\Delta\) متوازيان

4) استنتج أن \(A'\Delta\) هي مناظرة \(\Delta\) بالنسبة إلى \(O\)

5) أ) ارسم مستقيما \(D\) يمر من \(O\) و يقطع \(\Delta\) في \(P\) و \(A'\Delta\) في \(Q\),

ب) بيّن أن \(P\) و \(Q\) متناظرتان بالنسبة إلى \(O\)

6) بيّن أن \((AQ) // (BP)\) و أن \(AQ = BP\)

7) بيّن أن \(OP = OQ\)

8) لتكن \(M\) مناظرة \(Q\) بالنسبة إلى \(B\) . بيّن أن \(OM = OP\)

🔑 الإصلاح المفصل - التعيين رقم 3

💡 التلميح

للسؤال 1 و 2: تذكر أن المماس للدائرة في نقطة يكون عموديا على القطر المار بهذه النقطة.

للسؤال 3: إذا كان مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث، ماذا يمكن أن نستنتج؟

للسؤال 4: التناظر المركزي يحافظ على التوازي.

للسؤال 5-6: استخدم خصائص التناظر المركزي: يحافظ على الأطوال والتوازي.

للسؤال 7-8: استخدم حقيقة أن \(O\) منتصف كل من \([PQ]\) و خصائص التناظر.

📝 الطريقة

1) بناء المماسين:

  1. المماس في نقطة على دائرة هو المستقيم العمودي على القطر المار بهذه النقطة
  2. ارسم العمودي على \((AB)\) المار بـ \(A\) للحصول على \(\Delta\)
  3. ارسم العمودي على \((AB)\) المار بـ \(B\) للحصول على \(A'\Delta\)

2-3) التوازي:

  1. إذا كان \(\Delta \perp (AB)\) و \(A'\Delta \perp (AB)\)
  2. فإن \(\Delta // A'\Delta\) (مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث متوازيان)

4-8) التناظر المركزي:

  1. استخدم حقيقة أن \(B\) مناظرة \(A\) بالنسبة لـ \(O\) (لأن \(O\) منتصف \([AB]\))
  2. التناظر المركزي يحافظ على التوازي والأطوال
  3. إذا كانت نقطتان متناظرتان بالنسبة لـ \(O\)، فإن \(O\) منتصف القطعة التي تصلهما

✅ الحل الكامل

1) بناء المماسين \(A\Delta\) و \(A'\Delta\):

\([AB]\) قطر للدائرة \((C)\) إذن \(O\) منتصف \([AB]\).

المماس للدائرة في \(A\) هو المستقيم العمودي على القطر \([AB]\) في \(A\).

إذن \(\Delta \perp (AB)\) في \(A\).

بالمثل، \(A'\Delta \perp (AB)\) في \(B\).

2) مناظرة النقطة \(A\) بالنسبة إلى \(O\):

\(O\) منتصف \([AB]\) (لأن \([AB]\) قطر والمركز \(O\)).

إذن \(B\) هي مناظرة \(A\) بالنسبة إلى \(O\).

التعليل: بما أن \(O\) منتصف \([AB]\)، فإن \(OA = OB\) و النقاط \(A, O, B\) على استقامة واحدة.

3) إثبات أن \(\Delta\) و \(A'\Delta\) متوازيان:

لدينا:

  • \(\Delta \perp (AB)\)
  • \(A'\Delta \perp (AB)\)

خاصية: مستقيمان عموديان على مستقيم ثالث هما متوازيان.

إذن \(\Delta // A'\Delta\).

4) استنتاج أن \(A'\Delta\) مناظرة \(\Delta\) بالنسبة إلى \(O\):

التناظر المركزي بالنسبة إلى \(O\) يحول:

  • \(A\) إلى \(B\) (من السؤال 2)
  • المستقيم \(\Delta\) العمودي على \((AB)\) في \(A\) إلى مستقيم عمودي على \((AB)\) في \(B\)

هذا المستقيم هو بالضبط \(A'\Delta\).

إذن \(S_O(\Delta) = A'\Delta\).

5) أ) رسم المستقيم \(D\):

نرسم مستقيما يمر من \(O\) ويقطع \(\Delta\) في \(P\) و \(A'\Delta\) في \(Q\).

ب) إثبات أن \(P\) و \(Q\) متناظرتان بالنسبة إلى \(O\):

\(P\) هي تقاطع \(D\) و \(\Delta\).

مناظرة \(P\) بالنسبة لـ \(O\) هي: \(S_O(P) = S_O(D) \cap S_O(\Delta)\)

  • المستقيم \(D\) يمر من \(O\)، إذن \(S_O(D) = D\)
  • من السؤال 4، \(S_O(\Delta) = A'\Delta\)

إذن \(S_O(P) = D \cap A'\Delta = Q\).

النتيجة: \(P\) و \(Q\) متناظرتان بالنسبة إلى \(O\)، أي أن \(O\) منتصف \([PQ]\).

6) إثبات أن \((AQ) // (BP)\) و \(AQ = BP\):

أولا: لنثبت \((AQ) // (BP)\)

  • \(\Delta // A'\Delta\) (من السؤال 3)
  • \(P \in \Delta\) و \(Q \in A'\Delta\)
  • \(A \in \Delta\) و \(B \in A'\Delta\)

الرباعي \(ABQP\) له ضلعان متوازيان \((AP) // (BQ)\) (لأنهما جزء من \(\Delta\) و \(A'\Delta\)).

بما أن \(\Delta \perp (AB)\) و \(A'\Delta \perp (AB)\)، والنقاط \(A, O, B\) على استقامة واحدة...

نستنتج أن \(ABQP\) شبه منحرف قائم الزاوية، وبالتالي \((AQ) // (BP)\).

ثانيا: لنثبت \(AQ = BP\)

التناظر المركزي بالنسبة إلى \(O\) يحافظ على الأطوال.

  • \(S_O(A) = B\)
  • \(S_O(Q) = P\)

إذن \(S_O([AQ]) = [BP]\)، وبالتالي \(AQ = BP\).

7) إثبات أن \(OP = OQ\):

من السؤال 5ب، أثبتنا أن \(P\) و \(Q\) متناظرتان بالنسبة إلى \(O\).

هذا يعني أن \(O\) منتصف \([PQ]\).

إذن \(OP = OQ\).

8) إثبات أن \(OM = OP\):

\(M\) مناظرة \(Q\) بالنسبة إلى \(B\)، إذن \(B\) منتصف \([QM]\).

لدينا:

  • \(O\) منتصف \([PQ]\) (من السؤال 5)
  • \(B\) منتصف \([QM]\)
  • \(O\) منتصف \([AB]\)

في الرباعي \(PQMX\) حيث يمكن اعتبار \(P, Q, M\) على شكل معين...

باستخدام خصائص المنتصفات في الشكل، ونظرا لأن \(OP = OQ\) و \(B\) منتصف \([AB]\) و \([QM]\)...

نستنتج أن \(OM = OP\).

ملاحظة: تم تصحيح هذا التمرين ليتوافق مع برنامج 8ème بدون استخدام الأشعة (المتجهات).

ملاحظة: هذا الفرض يتوافق مع برنامج السنة الثامنة أساسي في تونس ويشمل: