للسؤال 1:
للسؤال 2:
للسؤال 3:
السؤال 1: إيجاد الأرقام في ...8548
الخطوة 1: القابلية للقسمة على 5
يجب أن ينتهي العدد بـ 0 أو 5
العدد ينتهي بـ 8، لذا يجب تغييره: نجرب 8540 أو 8545
الخطوة 2: القابلية للقسمة على 8
إذا جربنا 8540: آخر 3 أرقام = 540
540 ÷ 8 = 67.5 ✗
إذا جربنا 8545: آخر 3 أرقام = 545
لا تقبل القسمة على 8 ✗
الخطوة 3: نحتاج لإضافة رقم في البداية
نجرب: X8540 حيث 8540 ÷ 8 = 1067.5 ✗
أفضل خيار: 38540 (آخر 3 أرقام: 540 لا تنفع)
الحل الأمثل: **08560** أو **48520**
السؤال 2: إيجاد الأرقام في ...874
الخطوة 1: القابلية للقسمة على 4
آخر رقمين: 74
74 = 4 × 18 + 2 (لا تقبل القسمة) ✗
نحتاج لإضافة رقم: X874
نجرب: 74 (لا)، 874 (لا)، لنجرب 1874: آخر رقمين 74 ✗
نحتاج لتعديل: ...876 (76 ÷ 4 = 19 ✓)
الخطوة 2: باقي القسمة على 9 هو 5
مجموع الأرقام: X + 8 + 7 + 6 = X + 21
نحتاج: (X + 21) ÷ 9 = ... باقي 5
X + 21 = 9k + 5
X = 9k + 5 - 21 = 9k - 16
نجرب k = 2: X = 2، العدد: 2876 ✓
السؤال 3: تحديد العدد الصحيح
العدد الإجمالي = 8 × عدد الكتب
يجب أن يكون قابلاً للقسمة على 8
فحص 26598: آخر 3 أرقام: 598 ÷ 8 = 74.75 ✗
فحص 77777: آخر 3 أرقام: 777 ÷ 8 = 97.125 ✗
فحص 29232: آخر 3 أرقام: 232 ÷ 8 = 29 ✓
السؤال 1:
العدد: 48520 أو 08560
التعليل:
• ينتهي بـ 0 → قابل للقسمة على 5 ✓
• 48520: آخر 3 أرقام = 520 = 8 × 65 ✓
السؤال 2:
العدد: 2876
التعليل:
• آخر رقمين: 76 = 4 × 19 → قابل للقسمة على 4 ✓
• مجموع الأرقام: 2 + 8 + 7 + 6 = 23
• 23 = 9 × 2 + 5 → باقي القسمة على 9 هو 5 ✓
السؤال 3:
العدد الصحيح: 29232
التعليل:
• العدد الإجمالي = 8 × عدد الكتب
• 29232 = 8 × 3654 ✓
• عدد الكتب = 3654
• عدد الكراسات = 7 × 3654 = 25578
• المجموع = 3654 + 25578 = 29232 ✓
$$NQ = ...... \quad MN = ...... \quad ON = ...... \quad OM = ......$$
$$x_M = ........... \quad x_N = ...........$$
للسؤال 1 (عمليات المجموعات):
للسؤال 2 (تحديد المجموعات):
للسؤال 3 (المستقيم المدرج):
السؤال 1: تبسيط المجموعة A
$$A = \{-5 ; 5 ; \frac{11}{7} ; 0 ; 3 ; 0.3 ; -2 ; 7 ; -3\}$$
الأعداد الصحيحة في A: {-5, -3, -2, 0, 3, 5, 7}
الأعداد الصحيحة غير الصفرية في A: {-5, -3, -2, 3, 5, 7}
حساب العمليات:
• $$\mathbb{Z}^* \cup \cap \mathbb{Z}$$: هذا التعبير غير واضح، ربما المقصود $$\mathbb{Z}^* \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^*$$
• $$A \cap \mathbb{Z}^* = \{-5, -3, -2, 3, 5, 7\}$$
• $$\mathbb{Z}_+ \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$$ (لأن Z+ جزء من Z)
• $$A \cap \mathbb{Z} = \{-5, -3, -2, 0, 3, 5, 7\}$$
السؤال 2: تحديد المجموعات
E: العناصر في A حيث $$|x| \leq 3$$
نتحقق من كل عنصر: |0| = 0 ≤ 3 ✓، |-2| = 2 ≤ 3 ✓، |3| = 3 ≤ 3 ✓، |0.3| = 0.3 ≤ 3 ✓، |-3| = 3 ≤ 3 ✓
F: العناصر في Z+ حيث $$|x| = -x$$
$$|x| = -x$$ يتحقق فقط عندما x ≤ 0
في Z+ (الأعداد الموجبة): فقط x = 0 يحقق الشرط
G: العناصر في A حيث $$|x| = 7$$
نبحث عن x = 7 أو x = -7
H: العناصر في A حيث $$|x| > 9$$
لا يوجد عنصر في A قيمته المطلقة أكبر من 9
السؤال 3: المستقيم المدرج
ب) حساب المسافات في المعلم (O,I):
M: x = -4، N: x = 3، P: x = -1، Q: x = 2
• NQ = |2 - 3| = 1
• MN = |3 - (-4)| = 7
• ON = |3 - 0| = 3
• OM = |-4 - 0| = 4
ج) تغيير المعلم إلى (O,P):
الوحدة الجديدة = OP = |-1 - 0| = 1
• x'_M = (-4) / (-1) = 4
• x'_N = 3 / (-1) = -3
السؤال 1: إكمال العمليات
أولاً، نبسط A:
$$A = \{-5 ; 5 ; \frac{11}{7} ; 0 ; 3 ; 0.3 ; -2 ; 7 ; -3\}$$
$$\mathbb{Z}^* \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z}^*$$
$$A \cap \mathbb{Z}^* = \{-5, -3, -2, 3, 5, 7\}$$
$$\mathbb{Z}_+ \cup \mathbb{Z} = \mathbb{Z}$$
$$A \cap \mathbb{Z} = \{-5, -3, -2, 0, 3, 5, 7\}$$
السؤال 2: المجموعات
$$E = \{-3, -2, 0, 0.3, 3\}$$
التعليل: العناصر التي قيمتها المطلقة ≤ 3
$$F = \{0\}$$
التعليل: في Z+، فقط 0 يحقق |x| = -x
$$G = \{-7, 7\} = \{7\}$$ (حسب A)
التعليل: فقط 7 موجود في A
$$H = \emptyset$$
التعليل: لا يوجد عنصر في A قيمته المطلقة > 9
السؤال 3: المستقيم المدرج
أ) وضع النقاط:
M(-4)، N(3)، P(-1)، Q(2)
ب) المسافات:
$$NQ = 1$$ (من 3 إلى 2)
$$MN = 7$$ (من -4 إلى 3)
$$ON = 3$$ (من 0 إلى 3)
$$OM = 4$$ (من 0 إلى -4)
ج) في المعلم الجديد (O,P):
الوحدة الجديدة: OP = 1 (باتجاه السالب)
$$x_M = 4$$ (M يقع 4 وحدات في اتجاه الوحدة الجديدة)
$$x_N = -3$$ (N يقع 3 وحدات عكس اتجاه الوحدة الجديدة)