تمرين عدد 4 (4 نقاط)

الجزء الأول: العمليات على المجموعات

1) أتمم بما يناسب:

\( \mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}_- = \)

\( \mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{Z}_+ = \)

\( \mathbb{Z}^* \cup \mathbb{Z}_+ = \)

\( \mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^+ = \)

2) لنعتبر المجموعة

\( A = \left\{ (-2); (-3); \left(-\frac{56}{8}\right); 0; 3; \frac{2^{23} + 3 \times 4^{11}}{20}; 5; \frac{6}{7}; \frac{3 \times 5^{2017} + 5^{2019}}{12}; \left(-\sqrt{25}\right) \right\} \)

حدّد عناصر المجموعات التالية:

أ) \( A \cap \mathbb{IN}^* = \)

ب) \( A \cap \mathbb{Z}^- = \)

ج) \( A \cap \mathbb{Z} = \)

ب) مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية \( x \) المنتمية للمجموعة \( A \) حيث \( |x| = 3 \)

\( B = \)

ج) مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة \( x \) المنتمية للمجموعة \( A \) حيث \( |x| < 4 \)

\( C = \)

الجزء الثاني: المستقيم المدرج

3) تعيير المستقيم التالي المدرج بالمعلمين \((O,I)\)

B
W
H
D
V
O
I
A
M
F
Q

أ) من بين النقاط المرسومة على هذا المستقيم تعرّف على التي فاصلاتها تنتمي إلى المجموعة \( A \)

اذكر في كل مرة النقطة و فاصلتها

ب) حدّد النقاط التي المرسومة في المستقيم المدرج و التي فاصلاتها متقابلة

🔑 الإصلاح المفصل - التمرين رقم 4

💡 التلميح

للجزء 1 - العمليات على المجموعات:

  • تذكر أن \(\mathbb{Z}_-\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة
  • \(\mathbb{Z}_+\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة والصفر
  • \(\mathbb{Z}^*\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة غير الصفرية
  • \(\mathbb{Z}^+\) هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة (بدون الصفر)

للجزء 2 - المجموعة A:

  • احسب قيمة كل عنصر في المجموعة \(A\)
  • تذكر: \(\frac{2^{23} + 3 \times 4^{11}}{20}\) يمكن تبسيطها
  • \(\sqrt{25} = 5\)

للجزء 3 - المستقيم المدرج:

  • الفاصلة هي البعد من النقطة \(O\) على المستقيم
  • إذا كانت النقطة على يمين \(O\)، الفاصلة موجبة
  • إذا كانت النقطة على يسار \(O\)، الفاصلة سالبة

📝 الطريقة

الخطوة 1: فهم الرموز

  • \(\mathbb{Z}\) = جميع الأعداد الصحيحة النسبية {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
  • \(\mathbb{Z}_-\) = الأعداد الصحيحة السالبة {..., -3, -2, -1}
  • \(\mathbb{Z}_+\) = الأعداد الصحيحة الموجبة والصفر {0, 1, 2, 3, ...}
  • \(\mathbb{Z}^+\) = الأعداد الصحيحة الموجبة (بدون الصفر) {1, 2, 3, ...}
  • \(\mathbb{Z}^*\) = الأعداد الصحيحة غير الصفرية {..., -2, -1, 1, 2, ...}

الخطوة 2: حساب التقاطعات

التقاطع \(\cap\) يعني العناصر المشتركة بين المجموعتين.

الخطوة 3: تبسيط عناصر A

  1. احسب قيمة كل كسر
  2. احسب قيمة كل جذر
  3. احسب قيمة كل قوة
  4. صنف العناصر حسب نوعها

الخطوة 4: استخدام القيمة المطلقة

تذكر: \(|x| = x\) إذا كان \(x \geq 0\)، و \(|x| = -x\) إذا كان \(x < 0\)

الخطوة 5: المستقيم المدرج

  1. حدد موقع النقطة \(O\) (الأصل)
  2. حدد موقع النقطة \(I\) (الوحدة)
  3. البعد \(OI\) هو وحدة القياس
  4. احسب فاصلة كل نقطة حسب بعدها عن \(O\)

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: العمليات على المجموعات

1) أتمم بما يناسب:

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}_- = \mathbb{Z}_-\)

التعليل: تقاطع الأعداد الصحيحة مع الأعداد الصحيحة السالبة يعطي الأعداد الصحيحة السالبة.

\(\mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}_+\)

التعليل: تقاطع مجموعة مع نفسها يعطي نفس المجموعة.

\(\mathbb{Z}^* \cup \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}\)

التعليل: اتحاد الأعداد الصحيحة غير الصفرية مع الأعداد الموجبة والصفر يعطي جميع الأعداد الصحيحة.

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}^+ = \mathbb{N}^*\)

التعليل: تقاطع الأعداد الصحيحة مع الأعداد الصحيحة الموجبة (بدون الصفر) يعطي الأعداد الطبيعية الموجبة.

2) تبسيط المجموعة A:

لنحسب قيمة كل عنصر:

  • \(-(-7) = 7\)
  • \(\frac{18}{3} = 6\)
  • \(|-1| = 1\)
  • \(\frac{11}{4} = 2.75\)
  • \(3.25 = 3.25\)
  • \(-\sqrt{6^2 + 8^2} = -\sqrt{36 + 64} = -\sqrt{100} = -10\)
  • \(3 = 3\)
  • \(-5 = -5\)
\(A = \{7; 6; 1; 2.75; 3.25; -10; 3; -5\}\)

أ) \(A \cap \mathbb{IN}^*\): الأعداد الطبيعية الموجبة في \(A\)

\(A \cap \mathbb{IN}^* = \{7; 6; 1; 3\}\)

ب) \(A \cap \mathbb{Z}^-\): الأعداد الصحيحة السالبة في \(A\)

\(A \cap \mathbb{Z}^- = \{-10; -5\}\)

ج) \(A \cap \mathbb{Z}\): الأعداد الصحيحة في \(A\)

\(A \cap \mathbb{Z} = \{7; 6; 1; 3; -10; -5\}\)

ب) مجموعة \(B\) حيث \(|x| = 3\) و \(x \in A\):

نبحث عن العناصر في \(A\) التي قيمتها المطلقة تساوي 3.

  • \(|3| = 3\) ✓
  • \(|-5| = 5 \neq 3\) ✗
  • \(|-10| = 10 \neq 3\) ✗
\(B = \{3\}\)

ج) مجموعة \(C\) حيث \(|x| < 4\) و \(x\) سالب و \(x \in A\):

نبحث عن العناصر السالبة في \(A\) التي قيمتها المطلقة أصغر من 4.

  • \(x = -5\): \(|-5| = 5 > 4\) ✗
  • \(x = -10\): \(|-10| = 10 > 4\) ✗
\(C = \emptyset\) (المجموعة الفارغة)

الجزء الثاني: المستقيم المدرج

3) المستقيم المدرج بالمعلمين \((O,I)\):

نفترض أن المسافة بين نقطتين متتاليتين هي وحدة واحدة.

إذا كانت \(O\) في الوسط و \(I\) على يمينها بمسافة وحدة واحدة:

النقطة الفاصلة التقريبية تنتمي إلى A؟
B -5 ✓ نعم (B, -5)
W -4 ✗
H -3 ✗
D -2 ✗
V -1 ✗
O 0 ✗
I 1 ✓ نعم (I, 1)
A 2 ✗
M 3 ✓ نعم (M, 3)
F 4 ✗
Q 5 ✗

أ) النقاط التي فاصلاتها تنتمي إلى A:

B (فاصلتها -5)

I (فاصلتها 1)

M (فاصلتها 3)

ملاحظة: إذا كان 6 أو 7 ضمن النقاط، ستكون أيضا من المجموعة A.

ب) النقاط المتقابلة (الفواصل المتقابلة):

نقطتان متقابلتان إذا كانت مجموع فاصلتيهما = 0 (أو إحداهما \(x\) والأخرى \(-x\)).

  • B (فاصلة -5) و نقطة فاصلتها 5 (ليست موجودة في القائمة)
  • W (فاصلة -4) و نقطة فاصلتها 4 (ليست موجودة)
  • H (فاصلة -3) و M (فاصلة 3) ✓
  • D (فاصلة -2) و A (فاصلة 2) ✓
  • V (فاصلة -1) و I (فاصلة 1) ✓

النقاط المتقابلة:

(H, M) - (D, A) - (V, I)

🔑 الإصلاح المفصل للتمرين رقم 4

💡 التلميح

للجزء الأول - العمليات على المجموعات:

  • \(\mathbb{Z}\) = جميع الأعداد الصحيحة النسبية {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
  • \(\mathbb{Z}_-\) = الأعداد الصحيحة السالبة {..., -3, -2, -1}
  • \(\mathbb{Z}_+\) = الأعداد الصحيحة الموجبة والصفر {0, 1, 2, 3, ...}
  • \(\mathbb{Z}^+\) = الأعداد الصحيحة الموجبة (بدون الصفر)
  • \(\mathbb{Z}^*\) = الأعداد الصحيحة غير الصفرية

للجزء الثاني - المجموعة A:

  • ابدأ بتبسيط كل عنصر في المجموعة
  • \(-\sqrt{25} = -5\)
  • \(\frac{2^{23} + 3 \times 4^{11}}{20}\) يمكن تبسيطها
  • \(\frac{3 \times 5^{2017} + 5^{2019}}{12} = \frac{5^{2017}(3 + 5^2)}{12}\)

للجزء الثالث - المستقيم المدرج:

  • الفاصلة = البعد من النقطة O
  • موجبة إذا كانت النقطة على يمين O
  • سالبة إذا كانت النقطة على يسار O
  • نقطتان متقابلتان إذا كانت إحداهما x والأخرى -x

📝 الطريقة

الخطوة 1: فهم العمليات على المجموعات

  • التقاطع \(\cap\): العناصر المشتركة بين المجموعتين
  • الاتحاد \(\cup\): جميع العناصر من المجموعتين

الخطوة 2: تبسيط المجموعة A

  1. احسب قيمة كل كسر
  2. احسب قيمة كل جذر
  3. احسب قيمة كل قوة
  4. اكتب المجموعة بشكل مبسط

الخطوة 3: تحديد المجموعات الفرعية

  • \(A \cap \mathbb{IN}^*\): الأعداد الطبيعية الموجبة غير الصفرية
  • \(A \cap \mathbb{Z}^-\): الأعداد الصحيحة السالبة
  • \(A \cap \mathbb{Z}\): جميع الأعداد الصحيحة

الخطوة 4: استخدام القيمة المطلقة

  • إذا كان \(|x| = 3\)، فإن \(x = 3\) أو \(x = -3\)
  • إذا كان \(|x| < 4\)، فإن \(-4 < x < 4\)

الخطوة 5: قراءة المستقيم المدرج

  1. حدد موقع O و I
  2. احسب فاصلة كل نقطة
  3. قارن مع عناصر المجموعة A
  4. ابحث عن النقاط المتقابلة

✅ الحل الكامل

الجزء الأول: العمليات على المجموعات

1) إتمام الفراغات:

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}_- = \mathbb{Z}_-\)

التعليل: تقاطع جميع الأعداد الصحيحة مع الأعداد السالبة يعطي الأعداد السالبة فقط.

\(\mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}_+\)

التعليل: تقاطع مجموعة مع نفسها يعطي نفس المجموعة.

\(\mathbb{Z}^* \cup \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}\)

التعليل: الأعداد غير الصفرية + الأعداد الموجبة والصفر = جميع الأعداد الصحيحة.

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Z}^+ = \mathbb{Z}^+ = \mathbb{N}^*\)

التعليل: الأعداد الصحيحة الموجبة (بدون الصفر) هي الأعداد الطبيعية الموجبة.

الجزء الثاني: المجموعة A

2) تبسيط المجموعة A:

نحسب قيمة كل عنصر:

  • \(-2 = -2\)
  • \(-3 = -3\)
  • \(-\frac{56}{8} = -7\)
  • \(0 = 0\)
  • \(3 = 3\)
  • \(\frac{2^{23} + 3 \times 4^{11}}{20} = \frac{2^{23} + 3 \times 2^{22}}{20} = \frac{2^{22}(2 + 3)}{20} = \frac{5 \times 2^{22}}{20} = \frac{2^{22}}{4} = 2^{20} = 1048576\)
  • \(5 = 5\)
  • \(\frac{6}{7} \approx 0.857\)
  • \(\frac{3 \times 5^{2017} + 5^{2019}}{12} = \frac{5^{2017}(3 + 5^2)}{12} = \frac{28 \times 5^{2017}}{12} = \frac{7 \times 5^{2017}}{3}\) (عدد كبير جدا)
  • \(-\sqrt{25} = -5\)
\(A = \{-7; -5; -3; -2; 0; \frac{6}{7}; 3; 5; 1048576; \frac{7 \times 5^{2017}}{3}\}\)

أ) \(A \cap \mathbb{IN}^*\): الأعداد الطبيعية الموجبة في A

\(A \cap \mathbb{IN}^* = \{3; 5; 1048576; \frac{7 \times 5^{2017}}{3}\}\)

ملاحظة: \(\frac{7 \times 5^{2017}}{3}\) ليس عددا طبيعيا، إذن:

\(A \cap \mathbb{IN}^* = \{3; 5; 1048576\}\)

ب) \(A \cap \mathbb{Z}^-\): الأعداد الصحيحة السالبة في A

\(A \cap \mathbb{Z}^- = \{-7; -5; -3; -2\}\)

ج) \(A \cap \mathbb{Z}\): الأعداد الصحيحة في A

\(A \cap \mathbb{Z} = \{-7; -5; -3; -2; 0; 3; 5; 1048576\}\)

ب) مجموعة B حيث \(|x| = 3\) و \(x \in A\):

نبحث عن العناصر التي قيمتها المطلقة = 3:

  • \(|3| = 3\) ✓
  • \(|-3| = 3\) ✓
\(B = \{-3; 3\}\)

ج) مجموعة C حيث \(|x| < 4\) و x سالب و \(x \in A\):

العناصر السالبة في A: \(\{-7; -5; -3; -2\}\)

نتحقق من القيمة المطلقة:

  • \(|-7| = 7 > 4\) ✗
  • \(|-5| = 5 > 4\) ✗
  • \(|-3| = 3 < 4\) ✓
  • \(|-2| = 2 < 4\) ✓
\(C = \{-3; -2\}\)

الجزء الثالث: المستقيم المدرج

3) تحليل المستقيم المدرج:

بفرض أن المسافة بين نقطتين متتاليتين = 1 وحدة:

النقطة الفاصلة تنتمي لـ A؟
B -5 ✓ نعم
W -4 ✗
H -3 ✓ نعم
D -2 ✓ نعم
V -1 ✗
O 0 ✓ نعم
I 1 ✗
A 2 ✗
M 3 ✓ نعم
F 4 ✗
Q 5 ✓ نعم

أ) النقاط التي فاصلاتها تنتمي إلى A:

B (فاصلتها: -5)

H (فاصلتها: -3)

D (فاصلتها: -2)

O (فاصلتها: 0)

M (فاصلتها: 3)

Q (فاصلتها: 5)

ب) النقاط المتقابلة (الفواصل المتقابلة):

نقطتان متقابلتان إذا كانت فاصلتاهما معاكستين (x و -x):

(B, Q): -5 و 5

(H, M): -3 و 3

(D, A): -2 و 2

(V, I): -1 و 1

ملاحظة: هذا التمرين يتعلق ببرنامج السنة الثامنة أساسي في تونس ويركز على: