ورقة تمارين الرياضيات

دليل المساعدة لتمارين الأعداد والهندسة التحليلية

تتضمن هذه التمارين مفاهيم أساسية في الأعداد النسبية، القسمة، القيمة المطلقة، التناظر المركزي، والمجموعات. إليك الشرح:

قابلية القسمة:
- عدد يقبل القسمة على \(n\) إذا كان الناتج عددًا صحيحًا.
- مثال: العدد \(10n\) يقبل القسمة على 2 و5 لأن \(10n = 2 \times 5n\) و\(10n = 5 \times 2n\). لكن ليس كل \(10n\) يقبل القسمة على 4 (مثال: \(10 \div 4 = 2.5\)).
القيمة المطلقة:
- \(|x| = x\) إذا \(x \geq 0\)، و\(|x| = -x\) إذا \(x < 0\).
- مثال: \(|-3| = 3\)، لذا \(-|-3| = -3\). هذا يعني أن \(-|-3| = -3\) صواب.
المجموعات:
- \(\mathbb{Z}\): الأعداد الصحيحة (\(\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\)).
- لتحديد مجموعة مثل \(\{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 3\}\): حل \(|x| = 3\)، أي \(x = 3\) أو \(x = -3\). لذا \(E = \{-3, 3\}\).
- لشرط مثل \(2 < |x| < 5\) و\(x\) سالب: حل \(2 < -x < 5\)، أي \(-5 < x < -2\). الأعداد الصحيحة هي \(-4, -3\).
الفاصلات على المستقيم العددي:
- في معين \((O, I)\): \(O\) فاصلتها 0، \(I\) فاصلتها 1.

نصيحة: تحقق من الشروط خطوة بخطوة، سواء كانت تتعلق بالقسمة، القيمة المطلقة، أو الفاصلات. استخدم أمثلة بسيطة للتحقق!

تمرين رقم 1

أكمل بصواب أو خطأ

كل عدد رقم وحدته صفر يقبل القسمة على 2 و 4 و 5

الحل التفصيلي للسؤال الأول:

التحليل:

أي عدد ينتهي بصفر يمكن كتابته على الشكل: 10n حيث n عدد صحيح طبيعي

قابلية القسمة على 2:

10n = 2 \times 5n

← العدد يقبل القسمة على 2 ✓

قابلية القسمة على 5:

10n = 5 \times 2n

← العدد يقبل القسمة على 5 ✓

قابلية القسمة على 4:

ليس كل عدد ينتهي بصفر يقبل القسمة على 4
مثال:

10 \div 4 = 2.5

(ليس عدداً صحيحاً) ✗
مثال:

30 \div 4 = 7.5

(ليس عدداً صحيحاً) ✗

الإجابة: خطأ

أمثلة توضيحية:

• العدد 20: يقبل القسمة على 2 و 4 و 5
• العدد 30: يقبل القسمة على 2 و 5 لكن لا يقبل القسمة على 4
• العدد 10: يقبل القسمة على 2 و 5 لكن لا يقبل القسمة على 4

-|-3| = -3

الحل التفصيلي للسؤال الثاني:

تعريف القيمة المطلقة:

|x| = x إذا كان x ≥ 0

|x| = -x إذا كان x < 0

الخطوة الأولى: حساب |-3|

بما أن

-3 < 0

، فإن

|-3| = -(-3) = 3

الخطوة الثانية: حساب -|-3|

-|-3| = -(3) = -3

المقارنة:

الطرف الأيسر:

-|-3| = -3

الطرف الأيمن:

-3

إذن:

-3 = -3

✓

الإجابة: صواب

أمثلة مماثلة:

• -|5| = -5
• -|-7| = -7
• -|0| = 0
• -|-2.5| = -2.5

إذا كان Δ و Δ' مستقيمين متوازيين و نقطة I من Δ فإن مناظر المستقيم Δ بالنسبة إلى I هو المستقيم Δ'

الحل التفصيلي للسؤال الثالث:

تعريف التناظر المركزي:

مناظر نقطة M بالنسبة إلى مركز I هو النقطة M' بحيث I منتصف القطعة MM'

خاصيات التناظر المركزي:

• مناظر مستقيم هو مستقيم يوازيه
• إذا كانت النقطة I تنتمي للمستقيم Δ فإن مناظر Δ هو مستقيم يمر بـ I ويوازي Δ

التحليل:

بما أن I ∈ Δ، فإن مناظر Δ بالنسبة إلى I هو مستقيم يمر بـ I
لكن Δ' يوازي Δ، وبما أن I ∈ Δ فإن I ∉ Δ' (لأن مستقيمين متوازيين لا يتقاطعان)

الاستنتاج:

مناظر Δ لا يمكن أن يكون Δ' لأن المناظر يمر بـ I بينما Δ' لا يمر بـ I

الإجابة: خطأ

مثال توضيحي:

إذا كان Δ هو المحور السيني و I النقطة (2,0)، فإن مناظر Δ بالنسبة إلى I هو المستقيم الذي يمر بـ I ويوازي المحور السيني، أي y = 0 (نفس المستقيم Δ)

العدد 9³⁰ + 2 × 3⁶¹ يقبل القسمة على 7

الحل التفصيلي للسؤال الرابع:

إعادة كتابة العبارة:

9³⁰ + 2 × 3⁶¹ = (3²)³⁰ + 2 × 3⁶¹ = 3⁶⁰ + 2 × 3⁶¹

إخراج العامل المشترك:

3⁶⁰ + 2 × 3⁶¹ = 3⁶⁰(1 + 2 × 3) = 3⁶⁰(1 + 6) = 3⁶⁰ × 7

التحليل للعامل 7:

العبارة =

7 \times 3⁶⁰

بما أن العبارة تحتوي على العامل 7، فهي تقبل القسمة على 7

التحقق:

(9³⁰ + 2 × 3⁶¹) ÷ 7 = (7 × 3⁶⁰) ÷ 7 = 3⁶⁰

الإجابة: صواب

طريقة أخرى باستخدام التطابق:

نحسب باقي القسمة على 7:

3² = 9 ≡ 2 (mod 7)

3³ = 27 ≡ 6 (mod 7)

3⁶ = (3³)² ≡ 6² = 36 ≡ 1 (mod 7)

إذن 3⁶⁰ = (3⁶)¹⁰ ≡ 1¹⁰ = 1 (mod 7)

و 3⁶¹ = 3⁶⁰ × 3 ≡ 1 × 3 = 3 (mod 7)

لذا: 9³⁰ + 2 × 3⁶¹ ≡ 1 + 2 × 3 = 7 ≡ 0 (mod 7)

تمرين رقم 2

تمارين المجموعات والهندسة التحليلية

حدد عناصر المجموعتين التاليتين:

أ-

E

مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية

x

حيث

|x| = 3

ب-

F

مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية السالبة

x

حيث

2 < |x| < 5

الحل التفصيلي للسؤال الأول:

المجموعة E: |x| = 3

القيمة المطلقة تساوي 3 يعني أن المسافة من الصفر تساوي 3
هذا يحدث في حالتين:
•

x = 3

(المسافة من 0 إلى 3 تساوي 3)
•

x = -3

(المسافة من 0 إلى -3 تساوي 3)

E = {-3, 3}

المجموعة F: 2 < |x| < 5 و x سالب

الشرط الأول:

2 < |x| < 5

يعني أن المسافة من الصفر أكبر من 2 وأقل من 5
للأعداد السالبة:

|x| = -x

(لأن

x < 0

)
إذن:

2 < -x < 5

بضرب في -1 وقلب الإشارات:

-5 < x < -2

الأعداد الصحيحة في المجال (-5, -2):

الأعداد الصحيحة السالبة التي تحقق الشرط هي:

-4, -3

F = {-4, -3}

التحقق:

•

|-4| = 4

، و

2 < 4 < 5

✓
•

|-3| = 3

، و

2 < 3 < 5

✓
•

|-2| = 2

، لكن

2 ≮ 2

✗
•

|-5| = 5

، لكن

5 ≮ 5

✗

ليكن

Δ

مستقيماً مدرجاً بالمعين

(O, I)

أ- حدد فاصلات النقاط

A

C

في المعين

(O, I)

ب- حدد فاصلة النقطة

C

في المعين

(I, A)

الحل التفصيلي للسؤال الثاني:

أ- الفاصلات في المعين (O, I):

من الشكل نلاحظ:
• النقطة

O

هي نقطة الأصل، فاصلتها =

0

• النقطة

I

هي نقطة الوحدة، فاصلتها =

1

• النقطة

A

تقع على بعد وحدة واحدة يميناً من

I

• النقطة

C

تقع على بعد وحدة واحدة يساراً من

O

في المعين

(O, I)

:
• فاصلة النقطة

A = 2

• فاصلة النقطة

C = -1

ب- فاصلة C في المعين (I, A):

لتغيير المعين من

(O, I)

إلى

(I, A)

:
• النقطة

I

تصبح نقطة الأصل الجديدة (فاصلة =

0

)
• النقطة

A

تصبح نقطة الوحدة الجديدة (فاصلة =

1

)
• نستخدم قانون التحويل:

x'= (x - x₁)/(x₂ - x₁)

تطبيق القانون:

x₁ =

فاصلة

I

في المعين القديم =

1

x₂ =

فاصلة

A

في المعين القديم =

2

x =

فاصلة

C

في المعين القديم =

-1

x' = (-1 - 1)/(2 - 1) = -2/1 = -2

فاصلة النقطة

C

في المعين

(I, A) = -2

التحقق البياني:

في المعين الجديد

(I, A)

:
• المسافة من

I

إلى

A

= وحدة واحدة
• المسافة من

I

إلى

C

= 2 وحدة (يساراً)
• إذن

C

تقع على بعد وحدتين يساراً من نقطة الأصل الجديدة

I

• لذا فاصلتها =

-2

✓