مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية Z

📚 تعريف مجموعة Z

مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية Z هي مجموعة تحتوي على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة والسالبة والصفر

مجموعة Z تُكتب على الشكل:

Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

حيث:

• الأعداد الموجبة: +1, +2, +3, ...

• الصفر: 0

• الأعداد السالبة: -1, -2, -3, ...

📝 أمثلة على عناصر Z:

-25

عدد صحيح سالب

0

الصفر (لا موجب ولا سالب)

+18

عدد صحيح موجب

🔍 المجموعات الجزئية لـ Z

المجموعات الجزئية الأساسية:

ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

مجموعة الأعداد الطبيعية

ℕ* = {0, 1, 2, 3, ...}

مجموعة الأعداد الطبيعية غير المعدومة

Z⁻ = {..., -3, -2, -1, 0}

مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة

Z⁺ = {1, 2, 3, ...}

مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة

🎯 العلاقات بين المجموعات:

ℕ* ⊂ ℕ ⊂ Z

Z⁺ ⊂ Z

Z⁻ ⊂ Z

ℕ* = Z⁺

🤝 الاجتماع والتقاطع

🔗 الاجتماع (Union) A ∪ B:

مجموعة جميع العناصر التي تنتمي إلى A أو إلى B أو إلى كلتيهما

🔍 التقاطع (Intersection) A ∩ B:

مجموعة العناصر المشتركة بين A و B

📊 مثال بصري:

لتكن A = {-2, -1, 0, 1, 2} و B = {0, 1, 2, 3, 4}

A

B

A ∪ B = {-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4}

A ∩ B = {0, 1, 2}

📚 أمثلة على المجموعات الجزئية:

الاجتماع: ℕ ∪ Z⁻ = Z

التقاطع: ℕ ∩ Z⁻ = ∅ (المجموعة الفارغة)

الاجتماع: Z⁺ ∪ Z⁻ = Z \ {0}

التقاطع: Z⁺ ∩ Z⁻ = ∅

↔️ الأعداد المتقابلة

🔄 تعريف العددين المتقابلين:

عددان متقابلان إذا كان مجموعهما يساوي الصفر

a + (-a) = 0

متقابل العدد a هو -a

متقابل العدد -a هو a

🎯 أمثلة على الأعداد المتقابلة:

5 و -5

5 + (-5) = 0

-12 و 12

(-12) + 12 = 0

0 و 0

0 + 0 = 0

(الصفر متقابل لنفسه)

📏 القيمة المطلقة

📐 تعريف القيمة المطلقة:

القيمة المطلقة لعدد صحيح نسبي a تُرمز لها بـ |a

|a| = a إذا كان a ≥ 0

|a| = -a إذا كان a < 0

القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة

📊 أمثلة على القيمة المطلقة:

|7| = 7

لأن 7 > 0

|-15| = 15

لأن -15 < 0

|0| = 0

لأن 0 = 0

🎯 خاصيات القيمة المطلقة:

• |a| = |-a

• |a| ≥ 0

• |a| = 0 ⟺ a = 0

📐 المستقيم المدرج

📏 تعريف المستقيم المدرج:

المستقيم المدرج هو مستقيم عليه:

• نقطة الأصل O تمثل العدد 0

• اتجاه موجب (نحو اليمين عادة)

• وحدة طول ثابتة

• تدريج منتظم بالوحدة المختارة

🎯 مثال: مستقيم مدرج

-4

-3

-2

-1

0

O

1

2

3

4

📌 معايير المستقيم المدرج:

1. الأصل O: النقطة التي تمثل العدد 0

2. الاتجاه الموجب: من اليسار إلى اليمين (عادة)

3. وحدة الطول: المسافة الثابتة بين عددين متتاليين

4. التدريج: وضع الأعداد بانتظام حسب الوحدة

📍 فاصلة نقطة

📋 تعريف الفاصلة:

فاصلة نقطة M على المستقيم المدرج هو العدد الصحيح النسبي الذي تمثله هذه النقطة

نكتب: M(a) حيث a هو فاصلة النقطة M

🎯 مثال: نقاط وفاصلةاتها

-2

A(-2)

-1

0

O(0)

2

3

B(3)

📝 أمثلة على الفاصلةات:

النقطة A:

فاصلتها -2

تقع على يسار O

النقطة O:

فاصلتها 0

نقطة الأصل

النقطة B:

فاصلتها 3

تقع على يمين O

🪞 النقاط المتناظرة بالنسبة لـ O

🔄 تعريف النقاط المتناظرة:

نقطتان M وM' متناظرتان بالنسبة للأصل O إذا كان O هو منتصف القطعة MM'

فاصلةا النقطتين المتناظرتين متقابلان

إذا كان M(a) فإن M'(-a)

🎯 مثال: نقاط متناظرة

-3

A(-3)

-2

C(-2)

0

O(0)

2

C'(2)

3

A'(3)

🔗 أزواج النقاط المتناظرة:

A(-3) و A'(3)

متناظرتان بالنسبة لـ O

المسافة من كل منهما إلى O = 3

C(-2) و C'(2)

متناظرتان بالنسبة لـ O

المسافة من كل منهما إلى O = 2

خاصية عامة:

إذا كان M(a) فإن نظيرها M'(-a)

OM = OM' = |a

📏 المسافات على المستقيم المدرج

📐 تعريف المسافة:

المسافة بين نقطتين على المستقيم المدرج هي القيمة المطلقة لفرق فاصلةيهما

OM = |a| حيث M(a)

MN = |b - a| حيث M(a) و N(b)

🎯 حالات خاصة:

إذا كان a وb لهما نفس العلامة: MN = |b| - |a

إذا كان a وb لهما إشارتان مختلفتان: MN = |a| + |b

🎯 مثال تطبيقي على المسافات

-3

A(-3)

-1

B(-1)

0

O(0)

2

C(2)

4

D(4)

📊 حساب المسافات:

المسافة AO:

AO = |-3| = 3

المسافة AB:

AB = |-1 - (-3)| = |2| = 2

المسافة AC:

AC = |2 - (-3)| = |5| = 5

المسافة CD:

CD = |4 - 2| = |2| = 2

المسافة AD:

AD = |4 - (-3)| = |7| = 7

التحقق:

AD = AB + BC + CD

7 = 2 + 3 + 2 ✓

📏 قاعدة جمع المسافات:

• إذا كانت النقاط مرتبة على المستقيم: MN = MO + ON

• إذا كانت النقطة O بين M وN: MN = MO + ON

• إذا كانت النقطة M بين O وN: ON = OM + MN

• إذا كانت النقطة N بين O وM: OM = ON + NM