1لماذا مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ غير كافية؟
في الحياة اليومية، نواجه مواقف كثيرة لا تستطيع الأعداد الطبيعية ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} التعبير عنها بدقة. دعونا نستكشف بعض الأمثلة:
المثال الأول: درجات الحرارة
في فصل الشتاء، قد تنخفض درجة الحرارة إلى ما دون الصفر. كيف نعبر عن درجة حرارة 5 درجات تحت الصفر؟ الحل: نحتاج إلى العدد -5.
المثال الثاني: الديون
إذا كان لديك 100 دينار، ثم سحبت 150 ديناراً، رصيدك سيكون 100 - 150 = -50.
المثال الثالث: الارتفاع والعمق
قمة جبل إفرست ترتفع 8848 متر فوق مستوى البحر، بينما البحر الميت ينخفض -430 متر تحته.
تمرين للتفكير
أعط مثالين آخرين من الحياة اليومية يستدعيان أعداد سالبة.
- 3 ساعات قبل الموعد = -3
- الطابق الثاني تحت الأرض = -2
2بناء مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية ℤ
ℤ تشمل الموجبة والسالبة والصفر: $$\mathbb{Z} = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}$$
تعريف المجموعات الفرعية
- ℕ = {0,1,2,...}
- ℤ* = ℤ - {0}
- ℤ+* = {1,2,3,...}
- ℤ-* = {...,-3,-2,-1}
تمرين تطبيقي
أكمل:
- ℕ ∩ ℤ* = ?
- ℤ+* ∪ {0} = ?
- هل ℕ ⊂ ℤ ؟
- ℕ ∩ ℤ* = ℤ+*
- ℤ+* ∪ {0} = ℕ
- نعم، ℕ ⊂ ℤ
تمرين 3
أتمم بالرموز ∈ ; ∉ ; ⊂ ; ⊃
- ℤ+* .......... ℕ
- 8/2 .......... ℤ
- -5 .......... ℤ-
- 7 .......... ℤ
- {-3;-2;-1;0;1;2;3} .......... ℤ
- {-3;0;1;2} .......... ℤ-
- {0;1;2;-3} .......... ℤ
- {0} .......... ℤ
- ℤ+* ⊂ ℕ
- 8/2 ∈ ℤ
- -5 ∈ ℤ-
- 7 ∈ ℤ
- {-3;-2;-1;0;1;2;3} ⊂ ℤ
- {-3;0;1;2} ⊄ ℤ-
- {0;1;2;-3} ⊂ ℤ
- {0} ⊂ ℤ
تمرين 4
E = {-6,-5,2,-3,4,0,-1,-4}, F = {-5,-2,0,4,1,7}
أكمل و احسب التقاطعات
- {0;-6} ⊂ E
- E ⊄ ℤ-
- 2 ∈ E
- -4 ∈ E
- {4;7} ⊂ F
- {-1;1} ⊄ F
- 1 ∈ F
E ∩ F = {-5;0;4}
E ∪ F = {-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;2;4;1;7}
تمرين 5
A = {0;1;2;-2;5;-5}, B={0;-1;2;-5}, C={0;2;5}
- 0 ∈ A
- A ⊃ C
- C ⊂ A
- B ⊄ A
- 0 ∈ ℤ
- B ⊄ C
- {0;2;5} ⊂ A
- 4 ∉ B
A ∩ ℤ = A
A ∩ ℤ- = {-2;-5}
A ∩ C = C
A ∪ B = {0;1;2;-2;5;-5;-1}
B ∩ C = {0;2}
A ∪ C = A
B ∪ C = {0;-1;2;-5;5}
تمرين 6
A = {0;1;3;-9}, B = {0;-1;3;-7;9;-9}, C={0;3;7;-9}
- 7 ∉ B
- {0;-3;-9} ⊄ B
- A ⊂ B
- |-8| ∈ ℕ
- 8 ∈ ℤ
- B ⊄ C
- ℕ ⊄ C
- {0;3} ⊂ B
تمرين 7
A={-3;0;1/7;-5;-4;36/4;406102/8;-2}
36/4=9, 406102/8=50762.75
- 1/7 ∉ ℤ
- 9 ∈ A
- {-3;-2;0} ⊂ ℤ
- -5 ∉ ℕ
- -4 ∈ ℤ
- ℤ- ⊂ ℤ
- ℕ ⊂ ℤ
- A ⊄ ℤ
A ∩ ℤ+ = {9}
A ∩ ℤ- = {-3;-5;-4;-2}
A ∩ ℕ = {0;9}
E={-3;0;-4;-2}
3الأعداد المتقابلة
العدد المقابل هو العدد الذي يختلف فقط في الإشارة. مثلا: -2 هو المقابل لـ 2، و 5 هو المقابل لـ -5. عموماً: إذا كان لدينا a، فالمقابل هو -a.
أمثلة
- 7 ↔ -7
- -15 ↔ 15
- 0 ↔ 0
تمرين
a) 13, b) -8, c) 0, d) -(-5)
- a) -13
- b) 8
- c) 0
- d) 5 → مقابله -5
4القيمة المطلقة
القيمة المطلقة لعدد هي المسافة بينه وبين الصفر على المستقيم: $$|x| = \begin{cases}x & x\ge0 \\ -x & x<0\end{cases}$$
تمارين
- |x| = 8
- |x| = -3
- |x+2| = 5
- x=8 أو -8
- لا يوجد حل
- x=3 أو -7
تمرين 8
E={√9;|2-9|;0}, F={-2;12/4;-7;√25}
E={3;7;0}, F={-2;3;-7;5}
E∩ℤ+={3;7}, E∪F={0;3;7;-2;-7;5}, E∩F={3}, E∩ℤ-=∅
C={-2;-7}, D={3;7;0}, F'={3;-7;5}, G={7}
تمرين 9
A={-2;-3;7;0;1;-5;18/3;5/2;-6}, B={5;6;-3;1;-1;9;-6}
A={-2;-3;7;0;1;-5;6;2.5;-6}
E={6;-6}, F=∅
تمرين 10
|x|=13, x=|19|, |x|=|-4|, |x|=-|-5|
- x=13 أو -13
- x=19
- x=4 أو -4
- لا يوجد حل
تمرين 11
مجموعة معادلات
|x|=-13 → لا حل
|x|=23 → x=23 أو -23
|x+3|=7 → x=4 أو -10
|x|+3=7 → x=4 أو -4
x+3=7 → x=4
x=|11| → x=11
|x|=15 → ±15
|x|=7 → ±7
|x|=-5 → لا حل
|x|=0 → x=0
الحل:
| x | العبارة |
| لا يوجد حل | $$|x| = -13$$ |
| $$x = 23$$ أو $$x = -23$$ | $$|x| = 23$$ |
| $$x = 4$$ أو $$x = -10$$ | $$|x+3| = 7$$ |
| $$x = 4$$ أو $$x = -4$$ | $$|x|+3 = 7$$ |
| $$x = 4$$ | $$x+3 = 7$$ |
| x | العبارة |
| $$x = 11$$ | $$x = |11|$$ |
| $$x = 15$$ أو $$x = -15$$ | $$|x| = 15$$ |
| $$x = 7$$ أو $$x = -7$$ | $$|x| = 7$$ |
| لا يوجد حل | $$|x| = -5$$ |
| $$x = 0$$ | $$|x| = 0$$ |
تمرين 12: معادلات القيمة المطلقة - المجموعة الثالثة
أوجد العدد الصحيح النسبي x في كل حالة من الحالات التالية، إن أمكن ذلك:
| x | العبارة |
| $$|x| = |-7|$$ | |
| $$|x-4| = 8$$ | |
| $$|x-2| = -5$$ | |
| $$|x|+3 = |-9|$$ |
| x | العبارة |
| $$x = |13|$$ | |
| $$x = |-14|$$ | |
| $$|x| = 25$$ | |
| $$|x| = -8$$ |
الحل:
| x | العبارة |
| $$x = 7$$ أو $$x = -7$$ | $$|x| = 7$$ |
| $$x = 12$$ أو $$x = -4$$ | $$|x-4| = 8$$ |
| لا يوجد حل | $$|x-2| = -5$$ |
| $$x = 6$$ أو $$x = -6$$ | $$|x|+3 = 9$$ |
| x | العبارة |
| $$x = 13$$ | $$x = |13|$$ |
| $$x = 14$$ | $$x = |-14|$$ |
| $$x = 25$$ أو $$x = -25$$ | $$|x| = 25$$ |
| لا يوجد حل | $$|x| = -8$$ |
تمرين 13: مجموعة شاملة
لتكن المجموعة التالية: $$E = \{0;1;-1;-2;3;4;5;-5;-6\}$$
نعتبر A مجموعة الأعداد الموجبة و المنتمية إلى المجموعة E.
نعتبر B مجموعة الأعداد السالبة و المنتمية إلى المجموعة E.
1) حدد عناصر كل من المجموعتين A و B.
2) حدد عناصر كل من المجموعات التالية:
- $$C$$ : مجموعة الأعداد $$x$$ المنتمية إلى $$E$$ حيث $$|x| = 4$$
- $$D$$ : مجموعة الأعداد $$x$$ المنتمية إلى $$E$$ حيث $$x = |-1|$$
- $$F$$ : مجموعة الأعداد $$x$$ المنتمية إلى $$E$$ حيث $$|x| < 5$$
- $$G$$ : مجموعة الأعداد $$x$$ المنتمية إلى $$E$$ حيث $$|x| = -1$$
الحل:
1) المجموعتان A و B:
- $$A = \{1;3;4;5\}$$ (الأعداد الموجبة في E)
- $$B = \{-1;-2;-5;-6\}$$ (الأعداد السالبة في E)
2) المجموعات المطلوبة:
- $$C = \{4\}$$ (فقط 4 في E له قيمة مطلقة تساوي 4)
- $$D = \{1\}$$ ($$|-1| = 1$$)
- $$F = \{0;1;-1;-2;3;4\}$$ (الأعداد في E التي قيمتها المطلقة أقل من 5)
- $$G = \emptyset$$ (لا يمكن للقيمة المطلقة أن تساوي -1)