الأعداد الصحيحة النسبية ℤ
رحلة ممتعة في عالم الأرقام الإيجابية والسالبة
1. لماذا مجموعة الأعداد الطبيعية ℕ غير كافية؟
في الحياة اليومية، نواجه مواقف لا تستطيع الأعداد الطبيعية \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \) التعبير عنها. على سبيل المثال:
- درجة الحرارة قد تكون تحت الصفر، مثل \( -5 \) درجات.
- إذا سحبت 150 ديناراً من حساب بـ 100 دينار، فالرصيد هو \( -50 \) دينار.
- أعمق نقطة في البحر الميت هي \( -430 \) متر تحت مستوى البحر.
تمرين: أعط مثالين آخرين يستدعيان استخدام أعداد سالبة.
الحل:
- التوقيت: 3 ساعات قبل الحدث = \( -3 \) ساعات.
- المصعد: الطابق الثاني تحت الأرض = \( -2 \).
2. بناء مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية ℤ
مجموعة \( \mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\} \) تشمل الأعداد الموجبة، السالبة، والصفر. المجموعات الفرعية هي:
- \( \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \): الأعداد الطبيعية.
- \( \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z} - \{0\} \): الأعداد غير المعدومة.
- \( \mathbb{Z}^{+*} = \{1, 2, 3, \dots\} \): الأعداد الموجبة تماماً.
- \( \mathbb{Z}^{-*} = \{\dots, -3, -2, -1\} \): الأعداد السالبة تماماً.
الاتحاد: \( \mathbb{Z}^{+*} \cup \mathbb{Z}^{-*} \cup \{0\} = \mathbb{Z} \). التقاطع: \( \mathbb{Z}^{+*} \cap \mathbb{Z}^{-*} = \emptyset \)، و \( \mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^{-*} = \emptyset \).
تمرين: أكمل:
- \( \mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^* = ? \)
- \( \mathbb{Z}^{+*} \cup \{0\} = ? \)
- هل \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \)؟
الحل:
- \( \mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z}^{+*} = \{1, 2, 3, \dots\} \).
- \( \mathbb{Z}^{+*} \cup \{0\} = \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} \).
- نعم، \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \).
تمرين 3: أتمم بـ \( \in, \notin, \subset, \supset \):
- \( \mathbb{Z}^{+*} \dots \mathbb{N} \)
- \( \frac{8}{2} \dots \mathbb{Z} \)
- \( -5 \dots \mathbb{Z}_- \)
- \( 7 \dots \mathbb{Z} \)
- \( \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \dots \mathbb{Z} \)
- \( \{-3, 0, 1, 2\} \dots \mathbb{Z}_- \)
- \( \{0, 1, 2, -3\} \dots \mathbb{Z} \)
- \( \{0\} \dots \mathbb{Z} \)
الحل:
- \( \mathbb{Z}^{+*} \subset \mathbb{N} \)
- \( \frac{8}{2} \in \mathbb{Z} \) (لأن \( \frac{8}{2} = 4 \))
- \( -5 \in \mathbb{Z}_- \)
- \( 7 \in \mathbb{Z} \)
- \( \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\} \subset \mathbb{Z} \)
- \( \{-3, 0, 1, 2\} \not\subset \mathbb{Z}_- \)
- \( \{0, 1, 2, -3\} \subset \mathbb{Z} \)
- \( \{0\} \subset \mathbb{Z} \)
تمرين 4: بالنسبة لـ \( E = \{-6, -5, 2, -3, 4, 0, -1, -4\} \) و \( F = \{-5, -2, 0, 4, 1, 7\} \):
- أكمل بـ \( \in, \notin, \subset, \supset \):
- \( \{0, -6\} \dots E \)
- \( E \dots \mathbb{Z}_- \)
- \( 2 \dots E \)
- \( -4 \dots E \)
- \( \{4, 7\} \dots F \)
- \( \{-1, 1\} \dots F \)
- \( 1 \dots F \)
- حدد: \( E \cap F \), \( E \cup F \).
الحل:
-
- \( \{0, -6\} \subset E \)
- \( E \not\subset \mathbb{Z}_- \)
- \( 2 \in E \)
- \( -4 \in E \)
- \( \{4, 7\} \subset F \)
- \( \{-1, 1\} \not\subset F \)
- \( 1 \in F \)
-
- \( E \cap F = \{-5, 0, 4\} \)
- \( E \cup F = \{-6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 7\} \)
3. الأعداد المتقابلة
العدد المتقابل لعدد ما هو العدد الذي يقع على الجانب الآخر من الصفر على الخط العددي بنفس المسافة. على سبيل المثال، العدد \( -2 \) هو متقابل \( 2 \)، و \( 5 \) هو متقابل \( -5 \). بشكل عام، إذا كان العدد \( a \)، فمتقابله هو \( -a \).
أمثلة: \( 7 \) و \( -7 \)، \( -15 \) و \( 15 \)، \( 0 \) و \( 0 \).
تمرين: أوجد متقابل:
- 13
- -8
- 0
- \( -(-5) \)
الحل:
- متقابل 13 هو \( -13 \).
- متقابل \( -8 \) هو \( 8 \).
- متقابل 0 هو \( 0 \).
- \( -(-5) = 5 \)، فمتقابل 5 هو \( -5 \).
4. القيمة المطلقة - طبيب الأرقام 👨⚕️
القيمة المطلقة \( |x| \) هي المسافة من \( x \) إلى الصفر على الخط العددي: \[ |x| = \begin{cases} x & \text{إذا } x \geq 0 \\ -x & \text{إذا } x < 0 \end{cases} \]
أمثلة: \( |7| = 7 \)، \( |-12| = 12 \)، \( |0| = 0 \).
تمرين: حل المعادلات:
- \( |x| = 8 \)
- \( |x| = -3 \)
- \( |x + 2| = 5 \)
الحل:
- \( |x| = 8 \): \( x = 8 \) أو \( x = -8 \).
- \( |x| = -3 \): لا يوجد حل (القيمة المطلقة لا تكون سالبة).
- \( |x + 2| = 5 \): \( x + 2 = 5 \) أو \( x + 2 = -5 \)، فـ \( x = 3 \) أو \( x = -7 \).
5. تخريط المستقيم العددي - قطار الأرقام السحري 🚂
الخط العددي هو خط يبدأ من الصفر، مع الأعداد الموجبة يميناً والسالبة يساراً.
حساب المسافات:
- المسافة إلى الأصل: \( OA = |x_A| \).
- المسافة بين نقطتين: \( AB = |x_A - x_B| \).
أمثلة:
- المسافة من 3 إلى 7: \( |7 - 3| = 4 \).
- المسافة من -2 إلى 5: \( |5 - (-2)| = 7 \).
تمرين:
- رتب تصاعدياً: \( -7, 3, -1, 0, 5, -4 \).
- أوجد المسافة بين \( A(-3) \) و \( B(8) \).
- أي عدد أقرب للصفر: \( -15 \) أم \( 12 \)؟
الحل:
- الترتيب: \( -7 < -4 < -1 < 0 < 3 < 5 \).
- المسافة: \( AB = |8 - (-3)| = 11 \).
- \( |-15| = 15 \)، \( |12| = 12 \)، فـ \( 12 \) أقرب.
تمرين 5: بالنسبة لـ \( A = \{0, 1, 2, -2, 5, -5\} \), \( B = \{0, -1, 2, -5\} \), \( C = \{0, 2, 5\} \):
- أكمل بـ \( \in, \notin, \subset, \supset \):
- \( 0 \dots A \)
- \( A \dots C \)
- \( C \dots A \)
- \( B \dots A \)
- \( 0 \dots \mathbb{Z} \)
- \( B \dots C \)
- \( \{0, 2, 5\} \dots A \)
- \( 4 \dots B \)
- حدد: \( A \cap \mathbb{Z} \), \( A \cap \mathbb{Z}_- \), \( A \cap C \), \( A \cup B \), \( B \cap C \), \( A \cup C \), \( B \cup C \).
الحل:
-
- \( 0 \in A \)
- \( A \supset C \)
- \( C \subset A \)
- \( B \not\subset A \)
- \( 0 \in \mathbb{Z} \)
- \( B \not\subset C \)
- \( \{0, 2, 5\} \subset A \)
- \( 4 \notin B \)
-
- \( A \cap \mathbb{Z} = A = \{0, 1, 2, -2, 5, -5\} \)
- \( A \cap \mathbb{Z}_- = \{-2, -5\} \)
- \( A \cap C = \{0, 2, 5\} \)
- \( A \cup B = \{0, 1, 2, -2, 5, -5, -1\} \)
- \( B \cap C = \{0, 2\} \)
- \( A \cup C = A = \{0, 1, 2, -2, 5, -5\} \)
- \( B \cup C = \{0, -1, 2, -5, 5\} \)
تمرين 6: بالنسبة لـ \( A = \{0, 1, 3, -9\} \), \( B = \{0, -1, 3, -7, 9, -9\} \), \( C = \{0, 3, 7, -9\} \):
أكمل بـ \( \in, \notin, \subset, \supset \):
- \( 7 \dots B \)
- \( \{0, -3, -9\} \dots B \)
- \( A \dots B \)
- \( |-8| \dots \mathbb{N} \)
- \( 8 \dots \mathbb{Z} \)
- \( B \dots C \)
- \( \mathbb{N} \dots C \)
- \( \{0, 3\} \dots B \)
الحل:
- \( 7 \notin B \)
- \( \{0, -3, -9\} \not\subset B \)
- \( A \subset B \)
- \( |-8| = 8 \in \mathbb{N} \)
- \( 8 \in \mathbb{Z} \)
- \( B \not\subset C \)
- \( \mathbb{N} \not\subset C \)
- \( \{0, 3\} \subset B \)
تمرين 7: بالنسبة لـ \( A = \{-3, 0, \frac{1}{7}, -5, -4, \frac{36}{4}, -5, \frac{406102}{8}, -2\} \):
- أكمل بـ \( \in, \notin, \subset, \supset \):
- \( \frac{1}{7} \dots \mathbb{Z} \)
- \( 9 \dots A \)
- \( \{|-3|, |-2|, 0\} \dots \mathbb{Z} \)
- \( |-5| \dots \mathbb{N} \)
- \( -4 \dots \mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}_- \dots \mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{N} \dots \mathbb{Z} \)
- \( A \dots \mathbb{Z} \)
- حدد: \( A \cap \mathbb{Z}_+ \), \( A \cap \mathbb{Z}_- \), \( A \cap \mathbb{N} \).
- حدد \( E \): الأعداد الصحيحة النسبية \( x \in A \) حيث \( |x| < 5 \).
الحل:
ملاحظة: \( \frac{36}{4} = 9 \), \( \frac{406102}{8} = 50762.75 \).
-
- \( \frac{1}{7} \notin \mathbb{Z} \)
- \( 9 \in A \)
- \( \{3, 2, 0\} \subset \mathbb{Z} \)
- \( |-5| = 5 \in \mathbb{N} \)
- \( -4 \in \mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{Z}_- \subset \mathbb{Z} \)
- \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \)
- \( A \not\subset \mathbb{Z} \)
-
- \( A \cap \mathbb{Z}_+ = \{9\} \)
- \( A \cap \mathbb{Z}_- = \{-3, -5, -4, -2\} \)
- \( A \cap \mathbb{N} = \{0, 9\} \)
- \( E = \{-3, 0, -4, -2\} \)
تمرين 8: بالنسبة لـ \( E = \{\sqrt{9}, |2-9|, 0\} \), \( F = \{-2, \frac{12}{4}, -7, \sqrt{25}\} \):
- حدد: \( E \cap \mathbb{Z}_+ \), \( E \cup F \), \( E \cap F \), \( E \cap \mathbb{Z}_- \).
- حدد:
- \( C = \{x \in F : |x| = -x\} \)
- \( D = \{x \in E : |x| = x\} \)
- \( F' = \{x \in F : |x| > 2\} \)
- \( G = \{x \in E : |x| = 7\} \)
الحل:
حساب: \( \sqrt{9} = 3 \), \( |2-9| = 7 \), \( \frac{12}{4} = 3 \), \( \sqrt{25} = 5 \).
إذن: \( E = \{3, 7, 0\} \), \( F = \{-2, 3, -7, 5\} \).
-
- \( E \cap \mathbb{Z}_+ = \{3, 7\} \)
- \( E \cup F = \{0, 3, 7, -2, -7, 5\} \)
- \( E \cap F = \{3\} \)
- \( E \cap \mathbb{Z}_- = \emptyset \)
-
- \( C = \{-2, -7\} \)
- \( D = \{3, 7, 0\} \)
- \( F' = \{3, -7, 5\} \)
- \( G = \{7\} \)
تمرين 9: بالنسبة لـ \( A = \{-2, -3, 7, 0, 1, -5, \frac{18}{3}, \frac{5}{2}, -6\} \), \( B = \{5, 6, -3, 1, -1, 9, -6\} \):
- حدد:
- \( E = \{x \in A : |x| = 6\} \)
- \( F = \{x \in B : |x| = -1\} \)
الحل:
حساب: \( \frac{18}{3} = 6 \), \( \frac{5}{2} = 2.5 \).
إذن: \( A = \{-2, -3, 7, 0, 1, -5, 6, 2.5, -6\} \).
-
- \( E = \{6, -6\} \)
- \( F = \emptyset \)
تمرين 10: أوجد \( x \in \mathbb{Z} \):
| العبارة | x |
|---|
| \( |x| = 13 \) | |
| \( x = |19| \) | |
| \( |x| = |-4| \) | |
| \( |x| = -|-5| \) | |
الحل:
| العبارة | x |
|---|
| \( |x| = 13 \) | \( x = 13 \) أو \( x = -13 \) |
| \( x = |19| \) | \( x = 19 \) |
| \( |x| = |-4| = 4 \) | \( x = 4 \) أو \( x = -4 \) |
| \( |x| = -|-5| = -5 \) | لا يوجد حل |
تمرين 11: أوجد \( x \in \mathbb{Z} \):
| العبارة | x |
|---|
| \( |x| = -13 \) | |
| \( |x| = |-23| \) | |
| \( |x+3| = 7 \) | |
| \( |x|+3 = 7 \) | |
| \( x+3 = |-7| \) | |
| \( x = |11| \) | |
| \( |x| = 15 \) | |
| \( |x| = |-7| \) | |
| \( |x| = -|-5| \) | |
| \( |x| = 0 \) | |
الحل:
| العبارة | x |
|---|
| \( |x| = -13 \) | لا يوجد حل |
| \( |x| = |-23| = 23 \) | \( x = 23 \) أو \( x = -23 \) |
| \( |x+3| = 7 \) | \( x = 4 \) أو \( x = -10 \) |
| \( |x|+3 = 7 \) | \( x = 4 \) أو \( x = -4 \) |
| \( x+3 = |-7| = 7 \) | \( x = 4 \) |
| \( x = |11| \) | \( x = 11 \) |
| \( |x| = 15 \) | \( x = 15 \) أو \( x = -15 \) |
| \( |x| = |-7| = 7 \) | \( x = 7 \) أو \( x = -7 \) |
| \( |x| = -|-5| = -5 \) | لا يوجد حل |
| \( |x| = 0 \) | \( x = 0 \) |
تمرين 12: أوجد \( x \in \mathbb{Z} \):
| العبارة | x |
|---|
| \( |x| = |-7| \) | |
| \( |x-4| = 8 \) | |
| \( |x-2| = -5 \) | |
| \( |x|+3 = |-9| \) | |
| \( x = |13| \) | |
| \( x = |-14| \) | |
| \( |x| = 25 \) | |
| \( |x| = -8 \) | |
الحل:
| العبارة | x |
|---|
| \( |x| = |-7| = 7 \) | \( x = 7 \) أو \( x = -7 \) |
| \( |x-4| = 8 \) | \( x = 12 \) أو \( x = -4 \) |
| \( |x-2| = -5 \) | لا يوجد حل |
| \( |x|+3 = |-9| = 9 \) | \( x = 6 \) أو \( x = -6 \) |
| \( x = |13| \) | \( x = 13 \) |
| \( x = |-14| \) | \( x = 14 \) |
| \( |x| = 25 \) | \( x = 25 \) أو \( x = -25 \) |
| \( |x| = -8 \) | لا يوجد حل |
تمرين 13: بالنسبة لـ \( E = \{0, 1, -1, -2, 3, 4, 5, -5, -6\} \), \( A \): الأعداد الموجبة في \( E \), \( B \): الأعداد السالبة في \( E \):
- حدد \( A \) و \( B \).
- حدد:
- \( C = \{x \in E : |x| = 4\} \)
- \( D = \{x \in E : x = |-1|\} \)
- \( F = \{x \in E : |x| < 5\} \)
- \( G = \{x \in E : |x| = -1\} \)
الحل:
-
- \( A = \{1, 3, 4, 5\} \)
- \( B = \{-1, -2, -5, -6\} \)
-
- \( C = \{4\} \)
- \( D = \{1\} \)
- \( F = \{0, 1, -1, -2, 3, 4\} \)
- \( G = \emptyset \)
تمرين 14: على مستقيم مدرج بـ \( (O, I) \):
- عين النقاط \( A \) و \( B \) حيث \( x_A = -2 \), \( x_B = 4 \).
- عين \( E \) المناظرة لـ \( A \) بالنسبة لـ \( I \).
- إذا \( M \in \Delta \), \( IM = 3 \), \( M \in [OA] \)، حدد فاصلة \( M \).
الحل:
- \( A(-2) \): وحدتان يساراً من \( O \), \( B(4) \): 4 وحدات يميناً من \( O \).
- المسافة \( IA = |1 - (-2)| = 3 \). \( E \): فاصلة \( 1 + 3 = 4 \).
- \( M \): فاصلة \( 1 - 3 = -2 \). \( M \) تتطابق مع \( A \).
تمرين 15: على مستقيم مدرج بـ \( (O, I) \), \( x_A = 45 \):
- فاصلة \( A' \) المناظرة لـ \( A \) بالنسبة لـ \( I \).
- فاصلة \( O' \) المناظرة لـ \( O \) بالنسبة لـ \( A' \).
الحل:
- المسافة \( IA = |45 - 1| = 44 \). فاصلة \( A' = 1 - 44 = -43 \).
- المسافة \( OA' = |0 - (-43)| = 43 \). فاصلة \( O' = -43 - 43 = -86 \).
تمرين 16: على مستقيم مدرج بـ \( (O, I) \):
- عين النقاط \( A(2) \), \( B(-1) \), \( C(3) \), \( D(-3) \).
- أكمل: \( OA \), \( OB \), \( IA \), \( AC \), \( BD \).
- إذا \( OM = 4 \)، فاصلة \( M \).
- إذا \( IN = 6 \)، فاصلة \( N \).
- فاصلات \( B \), \( C \) في \( (C, B) \).
- إذا \( IP = 8 \)، فاصلة \( P \) في \( (I, A) \).
- فاصلات \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) في \( (I, A) \).
- فاصلات \( A \), \( B \), \( C \), \( D \) في \( (I, O) \).
الحل:
- \( A(2) \), \( B(-1) \), \( C(3) \), \( D(-3) \).
-
- \( OA = |2| = 2 \)
- \( OB = |-1| = 1 \)
- \( IA = |1 - 2| = 1 \)
- \( AC = |2 - 3| = 1 \)
- \( BD = |-1 - (-3)| = 2 \)
- \( M \): فاصلة \( 4 \) أو \( -4 \).
- \( N \): فاصلة \( 1 + 6 = 7 \) أو \( 1 - 6 = -5 \).
- في \( (C, B) \): \( B = 0 \), \( C = |3 - (-1)| = 4 \).
- في \( (I, A) \): \( P = 1 \pm 8 = 9 \) أو \( -7 \).
- في \( (I, A) \): \( A = 0 \), \( B = |-1 - 2| = -3 \), \( C = |3 - 2| = 1 \), \( D = |-3 - 2| = -5 \).
- في \( (I, O) \): \( A = |2 - 1| = 1 \), \( B = |-1 - 1| = -2 \), \( C = |3 - 1| = 2 \), \( D = |-3 - 1| = -4 \).
🎉 تهانينا! 🎉
لقد أتممت رحلتك في عالم الأعداد الصحيحة النسبية \( \mathbb{Z} \). أصبحت قادراً على التعامل مع الأرقام الموجبة والسالبة بثقة!