الأعداد الصحيحة النسبية ℤ

أمثلة أخرى:

• التوقيت: 3 ساعات قبل الحدث = -3 ساعات
• المصعد: الطابق الثاني تحت الأرض = الطابق -2
• خسارة في التجارة: ربح قدره -500 دينار يعني خسارة 500 دينار
• التسارع: التباطؤ هو تسارع سالب

الحلول:

1. $$\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}^* = \mathbb{Z}^{+*} = \{1, 2, 3, ...\}$$
2. $$\mathbb{Z}^{+*} \cup \{0\} = \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$$
3. نعم، ℕ ⊂ ℤ لأن كل عدد طبيعي هو عدد صحيح نسبي

الحل:

• $$\mathbb{Z}_+^* \subset \mathbb{N}$$
• $$\frac{8}{2} \in \mathbb{Z}$$
• $$-5 \in \mathbb{Z}_-$$
• $$7 \in \mathbb{Z}$$
• $$\{-3;-2;-1;0;1;2;3\} \subset \mathbb{Z}$$
• $$\{-3;0;1;2\} \not\subset \mathbb{Z}_-$$
• $$\{0;1;2;-3\} \subset \mathbb{Z}$$
• $$\{0\} \subset \mathbb{Z}$$

الحل:

1) إكمال الرموز:

• $$\{0;-6\} \subset E$$
• $$E \not\subset \mathbb{Z}_-$$
• $$2 \in E$$
• $$(-4) \in E$$
• $$\{4;7\} \subset F$$
• $$\{-1;1\} \not\subset F$$
• $$1 \in F$$

2) المجموعات:

• $$E \cap F = \{-5;0;4\}$$
• $$E \cup F = \{-6;-5;-4;-3;-2;-1;0;2;4;1;7\}$$

الحل:

1) إكمال الرموز:

• $$0 \in A$$
• $$A \supset C$$
• $$C \subset A$$
• $$B \not\subset A$$
• $$0 \in \mathbb{Z}$$
• $$B \not\subset C$$
• $$\{0;2;5\} \subset A$$
• $$4 \notin B$$

2) المجموعات:

• $$A \cap \mathbb{Z} = A = \{0;1;2;-2;5;-5\}$$
• $$A \cap \mathbb{Z}_- = \{-2;-5\}$$
• $$A \cap C = C = \{0;2;5\}$$
• $$A \cup B = \{0;1;2;-2;5;-5;-1\}$$
• $$B \cap C = \{0;2\}$$
• $$A \cup C = A = \{0;1;2;-2;5;-5\}$$
• $$B \cup C = \{0;-1;2;-5;5\}$$

الحل:

• $$7 \notin B$$
• $$\{0;-3;-9\} \not\subset B$$
• $$A \subset B$$
• $$|-8| \in \mathbb{N}$$
• $$8 \in \mathbb{Z}$$
• $$B \not\subset C$$
• $$\mathbb{N} \not\subset C$$
• $$\{0;3\} \subset B$$

الحل:

ملاحظة أولاً: $$\frac{36}{4} = 9$$, $$\frac{406102}{8} = 50762.75$$

1) إكمال الرموز:

• $$\frac{1}{7} \notin \mathbb{Z}$$
• $$9 \in A$$
• $$\{3;2;0\} \subset \mathbb{Z}$$
• $$5 \in \mathbb{N}$$
• $$(-4) \in \mathbb{Z}$$
• $$\mathbb{Z}_- \subset \mathbb{Z}$$
• $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$
• $$A \not\subset \mathbb{Z}$$

2) المجموعات:

• $$A \cap \mathbb{Z}_+ = \{9\}$$
• $$A \cap \mathbb{Z}_- = \{-3;-5;-4;-2\}$$
• $$A \cap \mathbb{N} = \{0;9\}$$

3) المجموعة E:

$$E = \{x \in A \cap \mathbb{Z} : |x| < 5\} = \{-3;0;-4;-2\}$$

الحل:

• a) متقابل 13 هو -13
• b) متقابل -8 هو 8
• c) متقابل 0 هو 0
• d) -(-5) = 5، إذن متقابل 5 هو -5

التحقق:

• 13 + (-13) = 0 ✓
• (-8) + 8 = 0 ✓
• 0 + 0 = 0 ✓
• 5 + (-5) = 0 ✓

الحلول:

1. |x| = 8:
   الحل: x = 8 أو x = -8
   التحقق: |8| = 8 ✓ و |-8| = 8 ✓
2. |x| = -3:
   لا يوجد حل لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة
3. |x + 2| = 5:
   x + 2 = 5 أو x + 2 = -5
   x = 3 أو x = -7
   التحقق: |3 + 2| = |5| = 5 ✓ و |-7 + 2| = |-5| = 5 ✓

الحل:

أولاً نحسب: $$\sqrt{9} = 3$$, $$|2-9| = 7$$, $$\frac{12}{4} = 3$$, $$\sqrt{25} = 5$$

إذن: $$E = \{3;7;0\}$$ و $$F = \{-2;3;-7;5\}$$

1) المجموعات:

• $$E \cap \mathbb{Z}_+ = \{3;7\}$$
• $$E \cup F = \{0;3;7;-2;-7;5\}$$
• $$E \cap F = \{3\}$$
• $$E \cap \mathbb{Z}_- = \emptyset$$

2) المجموعات الفرعية:

• $$C = \{-2;-7\}$$ (الأعداد السالبة في F)
• $$D = \{3;7;0\} = E$$ (جميع عناصر E موجبة أو معدومة)
• $$F = \{3;-7;5\}$$ (الأعداد التي قيمتها المطلقة أكبر من 2)
• $$G = \{7\}$$ (فقط 7 في E له قيمة مطلقة تساوي 7)

الحل:

أولاً نحسب: $$\frac{18}{3} = 6$$, $$\frac{5}{2} = 2.5$$

إذن: $$A = \{-2;-3;7;0;1;-5;6;2.5;-6\}$$

المجموعات المطلوبة:

• $$E = \{6;-6\}$$ (الأعداد في A التي قيمتها المطلقة تساوي 6)
• $$F = \emptyset$$ (لا يمكن للقيمة المطلقة أن تساوي -1)

الحل:

x	العبارة
$$x = 13$$ أو $$x = -13$$	$$|x| = 13$$
$$x = 19$$	$$x = |19|$$
$$x = 4$$ أو $$x = -4$$	$$|x| = |-4| = 4$$
لا يوجد حل	$$|x| = -|-5| = -5$$

الحل:

الحل:

الحل:

1) المجموعتان A و B:

• $$A = \{1;3;4;5\}$$ (الأعداد الموجبة في E)
• $$B = \{-1;-2;-5;-6\}$$ (الأعداد السالبة في E)

2) المجموعات المطلوبة:

• $$C = \{4\}$$ (فقط 4 في E له قيمة مطلقة تساوي 4)
• $$D = \{1\}$$ ($$|-1| = 1$$)
• $$F = \{0;1;-1;-2;3;4\}$$ (الأعداد في E التي قيمتها المطلقة أقل من 5)
• $$G = \emptyset$$ (لا يمكن للقيمة المطلقة أن تساوي -1)

الحلول:

1) الترتيب التصاعدي:

نضع الأعداد على المستقيم من اليسار لليمين:

-7 < -4 < -1 < 0 < 3 < 5

2) المسافة بين A(-3) و B(8):

المسافة = |8 - (-3)| = |8 + 3| = |11| = 11 وحدة

3) أقرب عدد للصفر:

المسافة من -15 للصفر: |-15| = 15

المسافة من 12 للصفر: |12| = 12

إذن العدد 12 أقرب للصفر من -15

الحل:

1) تعيين النقاط:

• النقطة A تقع على بعد وحدتين يساراً من O، فاصلتها -2
• النقطة B تقع على بعد 4 وحدات يميناً من O، فاصلتها 4

2) النقطة E مناظرة A بالنسبة لـ I:

إذا كانت A فاصلتها -2 و I فاصلتها 1، فإن E تقع على نفس المسافة من I لكن في الاتجاه المعاكس

المسافة من A إلى I = |1 - (-2)| = 3

إذن فاصلة E = 1 + 3 = 4

3) النقطة M:

M ∈ [OA] وIM = 3، إذن M تقع يساراً من I بمسافة 3 وحدات

فاصلة M = 1 - 3 = -2

إذن M تتطابق مع النقطة A

الحل:

المعطيات: فاصلة A = 45، فاصلة O = 0، فاصلة I = 1

1) النقطة A' مناظرة A بالنسبة لـ I:

المسافة من A إلى I = |45 - 1| = 44

A' تقع على نفس المسافة من I لكن في الاتجاه المعاكس

فاصلة A' = 1 - 44 = -43

2) النقطة O' مناظرة O بالنسبة لـ A':

المسافة من O إلى A' = |0 - (-43)| = 43

O' تقع على نفس المسافة من A' لكن في الاتجاه المعاكس

فاصلة O' = -43 - 43 = -86

الحل:

1) تعيين النقاط:

• A(2): وحدتان يميناً من O
• B(-1): وحدة واحدة يساراً من O
• C(3): ثلاث وحدات يميناً من O
• D(-3): ثلاث وحدات يساراً من O

2) إكمال المسافات:

• $OA = 2$ ; $OB = 1$ ; $IA = 1$ ; $AC = 1$ ; $BD = 2$

3) النقطة M حيث OM = 4:

M يمكن أن تكون في موقعين: فاصلة M = 4 أو فاصلة M = -4

4) النقطة N حيث IN = 6:

N يمكن أن تكون في موقعين: فاصلة N = 1+6 = 7 أو فاصلة N = 1-6 = -5

5) في المعين (C;B):

• فاصلة B = 0 (نقطة الأصل)
• فاصلة C = 4 (المسافة من B إلى C)

6) النقطة P حيث IP = 8 في المعين (I;A):

P يمكن أن تكون: فاصلة P = ±8 في المعين (I;A)

7) في المعين (I;A):

• فاصلة A = 0، فاصلة B = -2، فاصلة C = 1، فاصلة D = -4

8) في المعين (I;O):

• فاصلة A = -2، فاصلة B = 1، فاصلة C = -3، فاصلة D = 3