1 — الاحتواء بين أجزاء ℤأتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{-} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{*}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).
\(\mathbb{Z}^{*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-} \subset \mathbb{Z}^{*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(0 \in \mathbb{Z}^{-}\) و \(0 \notin \mathbb{Z}^{*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-} \not\subset \mathbb{Z}^{*}\).
2 — الاحتواء بين أجزاء ℤأتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{-} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{-*}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{-}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة (الصفر منها).
\(\mathbb{Z}^{-*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية السالبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{-} \subset \mathbb{Z}^{-*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(0 \in \mathbb{Z}^{-}\) و \(0 \notin \mathbb{Z}^{-*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{-} \not\subset \mathbb{Z}^{-*}\).
3 — الاحتواء بين أجزاء ℤأتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{*} \;\cdots\; \mathbb{Z}^{+*}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية غير المنعدمة.
\(\mathbb{Z}^{+*}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة غير المنعدمة.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{*} \subset \mathbb{Z}^{+*}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : يكفي مثال مضادّ واحد : \(-1 \in \mathbb{Z}^{*}\) و \(-1 \notin \mathbb{Z}^{+*}\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{*} \not\subset \mathbb{Z}^{+*}\).
4 — الاحتواء بين أجزاء ℤأتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{N} \;\cdots\; \mathbb{Z}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{N}\) : الأعداد الصحيحة الطبيعية.
\(\mathbb{Z}\) : الأعداد الصحيحة النسبية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{N}\) يحقّق شرط \(\mathbb{Z}\) وهو \(x\) عدد صحيح نسبي ، إذن \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\).
5 — الاحتواء بين أجزاء ℤأتمّم بالرمز المناسب :
\(\mathbb{Z}^{+} \;\cdots\; \mathbb{N}\)
💡 مؤشّر : \(\mathbb{Z}^{+}\) : الأعداد الصحيحة النسبية الموجبة (الصفر منها).
\(\mathbb{N}\) : الأعداد الصحيحة الطبيعية.
📝 الطريقة : للقول إنّ \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{N}\) يجب أن ينتمي كلّ عنصر من الأولى إلى الثانية. ولنفي ذلك يكفي مثال مضادّ واحد.
✅ الحلّ الكامل : كلّ عنصر من \(\mathbb{Z}^{+}\) يحقّق شرط \(\mathbb{N}\) وهو \(x \geq 0\) ، إذن \(\mathbb{Z}^{+} \subset \mathbb{N}\).
ملاحظة : هاتان المجموعتان متساويتان : \(\mathbb{Z}^{+} = \mathbb{N}\) ، وكلّ مجموعة محتواة في نفسها.