ℕ: الأعداد الطبيعية {0, 1, 2, 3, 4, ...}
ℤ: الأعداد الصحيحة {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
𝔻: الأعداد العشرية {0.5, -2.3, 7.125, ...}
ℚ: الأعداد الكسرية (النسبية) $\left\{\frac{a}{b}, a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^*\right\}$
ℚ₊: الأعداد الكسرية الموجبة
ℚ₋: الأعداد الكسرية السالبة
ℚ*: الأعداد الكسرية غير المعدومة ℚ - {0}
تعريف: |x| هي المسافة بين x والصفر على المستقيم العددي
خصائص:
• |x| ≥ 0 دائماً (لا يمكن أن تكون سالبة)
• |x| = x إذا كان x ≥ 0
• |x| = -x إذا كان x < 0
• $\left|\frac{3}{5}\right| = \frac{3}{5}$, $\left|-\frac{7}{2}\right| = \frac{7}{2}$, $|0| = 0$
• $\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{|a|}{|b|}$ حيث $b \neq 0$
مثال 1: $A = \left\{x \in \mathbb{Q}, |x| = \frac{3}{4}\right\}$
الحل: $A = \left\{-\frac{3}{4}, \frac{3}{4}\right\}$ لأن $\left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}$ و $\left|\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}$
مثال 2: $B = \left\{x \in \mathbb{Q}, |x| = -\frac{2}{5}\right\}$
الحل: B = ∅ لأن القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة
مثال 3: $C = \left\{x \in \mathbb{Q}_+, |x| = \frac{5}{6}\right\}$
الحل: $C = \left\{\frac{5}{6}\right\}$ لأن $\frac{5}{6}$ موجب و $\left|\frac{5}{6}\right| = \frac{5}{6}$
|x| = x: يعني x ≥ 0، فالحل هو الأعداد الموجبة أو المعدومة في المجموعة المعطاة
|x| = -x: يعني x ≤ 0، فالحل هو الأعداد السالبة أو المعدومة في المجموعة المعطاة
$|x| < \frac{a}{b}$: يعني $-\frac{a}{b} < x < \frac{a}{b}$
تبسيط الكسور: $\left|\frac{6}{8}\right| = \left|\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4}$
• القيمة المطلقة لا يمكن أن تساوي عدداً سالباً
• تحقق من انتماء الحلول للمجموعة الأساسية المعطاة (ℚ, ℚ₊, ℚ₋)
• ℚ₊ تحتوي فقط على الأعداد الموجبة، بينما ℚ₋ تحتوي فقط على الأعداد السالبة
• عند |x| = x، لا تنسَ أن x = 0 حل صحيح (إذا كان 0 ينتمي للمجموعة)
• انتبه لتبسيط الكسور: $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$