تمارين شاملة - المجموعات في ℝ

تمرين عدد 1

ضع علامة × في الخانة المناسبة:

إذن \(ab \in \mathbb{Z}^*_-\)	\(\left\|\frac{a}{b}\right\| = \frac{a}{b}\)	\(\left\|\frac{a}{b}\right\| = -\frac{a}{b}\)	\(\left\|\frac{a}{b}\right\| = \frac{a}{-b}\)	\(\frac{a}{b} = \frac{a}{b}\)
\(\mathbb{Q}^*_+ \cup \mathbb{Q}_- =\)	\(\mathbb{Q}_-\)	\(\mathbb{Q}^*\)	\(\mathbb{Q}\)
\(E = \left\{x \in \mathbb{Q}_- ; \|x\| = -\frac{2}{7}\right\}\)	\(E = \left\{\frac{2}{7}; -\frac{2}{7}\right\}\)	\(E = \emptyset\)	\(E = \left\{-\frac{2}{7}\right\}\)
	متقايسان	غير متقايسان	متقايسان
\(F = \left\{\frac{18}{12}; 0; -\frac{21}{7}\right\}\)	\(F \cap ID = F\)	\(F \cap \mathbb{Z} = F\)	\(F \cap ID = \left\{-\frac{21}{7}; 0\right\}\)

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 1

✏️ السطر الأول: القيمة المطلقة

المعطى: \(ab \in \mathbb{Z}^*_-\) (حاصل ضرب a و b عدد صحيح سالب)

هذا يعني أن a و b لهما إشارتان مختلفتان.

التحليل:

\(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{a}{b}\) ✗ (خطأ لأن الكسر سالب)
\(\left|\frac{a}{b}\right| = -\frac{a}{b}\) ✓ (صحيح)
\(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{a}{-b}\) ✓ (صحيح لأن \(-\frac{a}{b} = \frac{a}{-b}\))
\(\frac{a}{b} = \frac{a}{b}\) ✓ (صحيح دائماً)

الإجابات الصحيحة: الخيار الثاني والثالث والرابع

✏️ السطر الثاني: الاتحاد

\mathbb{Q}^*_+ \cup \mathbb{Q}_- = \mathbb{Q}^*

الإجابة الصحيحة: \(\mathbb{Q}^*\)

✏️ السطر الثالث: المجموعة E

القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة:

E = \emptyset

الإجابة الصحيحة: \(E = \emptyset\)

✏️ السطر الرابع: التقايس

من الرسم، المثلثان متقايسان

الإجابة الصحيحة: متقايسان

✏️ السطر الخامس: المجموعة F

تبسيط: \(F = \{1,5; 0; -3\}\)

جميع العناصر عشرية:

\(F \cap ID = F\) ✓

الإجابة الصحيحة: \(F \cap ID = F\)

تمرين عدد 2

لدينا المجموعات التالية: \[P = \left\{0; -\frac{4}{3}; -2,04\right\} \quad \text{و} \quad N = \left\{2,9; -2; \frac{105}{35}\right\} \quad \text{و} \quad M = \left\{-\frac{18}{3}; 0; \frac{8016}{8}\right\}\]

1°) أتمم بإحدى العلامات: \(\in\) أو \(\notin\) أو \(\subset\) أو \(\not\subset\):

\(M ..... \mathbb{Z}\) ، \(-4 ..... N\) ، \(P ..... ID\)

2°) أتمم بما يناسب:

\(M \cap \mathbb{N}^* =.....\) ، \(M \cap \mathbb{Z} =.....\) ، \(N \cap ID_- =.....\)

\(M \cap \mathbb{Q}^* =.....\) ، \(N \cap ID_+ =.....\) ، \(M \cup P =.....\)

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 2

📌 تبسيط المجموعات

P:

P = \left\{0; -\frac{4}{3}; -2,04\right\}

N:

\(\frac{105}{35} = 3\)

N = \{2,9; -2; 3\}

M:

\(-\frac{18}{3} = -6\)
\(\frac{8016}{8} = 1002\)

M = \{-6; 0; 1002\}

✏️ الحل 1

أ) \(M ..... \mathbb{Z}\):

جميع عناصر M صحيحة:

M \subset \mathbb{Z}

ب) \(-4 ..... N\):

-4 \notin N

ج) \(P ..... ID\):

\(-\frac{4}{3}\) غير عشري:

P \not\subset ID

✏️ الحل 2

\(M \cap \mathbb{N}^* = \{1002\}\)
\(M \cap \mathbb{Z} = M = \{-6; 0; 1002\}\)
\(N \cap ID_- = \{-2\}\)
\(M \cap \mathbb{Q}^* = \{-6; 1002\}\)
\(N \cap ID_+ = \{2,9; 3\}\)
\(M \cup P = \left\{-6; 0; 1002; -\frac{4}{3}; -2,04\right\}\)

3°) حذف عناصر المجموعتين التاليتين:

E هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية x المنتمية للمجموعة p بحيث \(|x| = \frac{4}{3}\)

F هي مجموعة الأعداد الكسرية النسبية x المنتمية للمجموعة N بحيث \(|x| = x\)

4°) مثل كل عناصر المجموعة B على المستقيم المدرج (OI) التالي:

🔷 التصحيح المفصل

✏️ المجموعة E

نبحث عن أعداد صحيحة نسبية قيمتها المطلقة \(\frac{4}{3}\)

\(\frac{4}{3}\) ليس عدداً صحيحاً:

E = \emptyset

✏️ المجموعة F

الشرط \(|x| = x\) يتحقق للأعداد الموجبة والصفر:

F = \{x \in \mathbb{Q} ; x \geq 0\}

تمرين عدد 3

في الشكل التالي:

A و B ممّاسان للدائرة ℰ في و على التوالي
و [AB] قطر للدائرة ℰ
C نقطة من A و D نقطة من B حيث AC = BD
O مركز الدائرة ℰ و \(\widehat{OCD} = 40°\)

أحسب: مقدار \(\widehat{DOC}\) معللا جوابك

🔷 التصحيح المفصل

📌 المعطيات

A و B ممّاسان للدائرة في C و D
[AB] قطر للدائرة
AC = BD
\(\widehat{OCD} = 40°\)

✏️ الحل

خطوة 1: بما أن A و B ممّاسان للدائرة:

OC ⊥ AC (نصف القطر عمودي على المماس)
OD ⊥ BD

خطوة 2: في المثلث OCD:

بما أن AC = BD والدائرة متناظرة، فإن OC = OD (نصفا قطر)

المثلث OCD متساوي الساقين

خطوة 3: حساب الزاوية:

في المثلث المتساوي الساقين OCD:

\(\widehat{OCD} = 40°\)
\(\widehat{ODC} = 40°\) (زاويتا القاعدة متساويتان)

مجموع زوايا المثلث = 180°:

\widehat{DOC} = 180° - 40° - 40° = 100°

الجواب: \(\widehat{DOC} = 100°\)

تمرين شامل

نعتبر المجموعة A التالية: \[A = \left\{-\frac{6}{3}; \frac{-9}{-12}; 0; \frac{-98}{112}; \frac{-19}{7}; -5; (-0,6)\right\}\]

1) إختزل إلى أقصى حد: \(\frac{-98}{112} = .................................\)

2) أكمل ب \(\in\), \(\notin\), \(\subset\), \(\not\subset\):

\(-2.........A\) ، \(\frac{-9}{4} .........A\) ، \(\left\{-5; \frac{-98}{112}; \frac{-9}{-12}\right\}..........\mathbb{D}\) ، \(A..........\mathbb{Q}^*\)

3) حدد المجموعات التالية:

\(A \cap \mathbb{Z}_- = .................\) ، \(\mathbb{Z}^*_- \cup \mathbb{Z}_+ = .................\)

\(A \cap \mathbb{N}^* = ...................\) ، \(\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{D}^*_- = ...................\)

4) حدد مقابل كل عدد كسري غير عشري في المجموعة A

5) حول كل عدد عشري غير صحيح من المجموعة A على صورة \(\frac{a}{10^n}\)
(حيث \(a \in \mathbb{Z}\) و \(n \in \mathbb{N}\))

🔷 التصحيح المفصل

📌 تبسيط المجموعة A

\(-\frac{6}{3} = -2\)
\(\frac{-9}{-12} = \frac{9}{12} = \frac{3}{4} = 0,75\)
\(0\)
\(\frac{-98}{112} = ?\) (سنحسبه)
\(\frac{-19}{7}\) (غير عشري)
\(-5\)
\(-0,6\)

✏️ الحل 1: اختزال \(\frac{-98}{112}\)

نبحث عن PGCD(98, 112):

98 = 2 × 49 = 2 × 7²
112 = 16 × 7 = 2⁴ × 7
PGCD(98, 112) = 2 × 7 = 14

\frac{-98}{112} = \frac{-98 ÷ 14}{112 ÷ 14} = \frac{-7}{8}

\(\frac{-98}{112} = -\frac{7}{8} = -0,875\)

✏️ الحل 2: إكمال الرموز

أ) \(-2.........A\):

بما أن \(-\frac{6}{3} = -2\):

-2 \in A

ب) \(\frac{-9}{4} .........A\):

\(\frac{-9}{4} = -2,25\) وهو ليس في A:

\frac{-9}{4} \notin A

ج) \(\left\{-5; \frac{-98}{112}; \frac{-9}{-12}\right\}..........\mathbb{D}\):

التبسيط: \(\{-5; -0,875; 0,75\}\)

جميعها أعداد عشرية:

\left\{-5; -\frac{7}{8}; \frac{3}{4}\right\} \subset \mathbb{D}

د) \(A..........\mathbb{Q}^*\):

A تحتوي على 0:

A \not\subset \mathbb{Q}^*

✏️ الحل 3: المجموعات

أ) \(A \cap \mathbb{Z}_-\):

A \cap \mathbb{Z}_- = \{-2; -5\}

ب) \(\mathbb{Z}^*_- \cup \mathbb{Z}_+\):

\mathbb{Z}^*_- \cup \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}^*

ج) \(A \cap \mathbb{N}^*\):

لا توجد أعداد طبيعية موجبة في A:

A \cap \mathbb{N}^* = \emptyset

د) \(\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{D}^*_-\):

تقاطع موجب مع سالب:

\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{D}^*_- = \emptyset

✏️ الحل 4: مقابل الأعداد الكسرية غير العشرية

الأعداد الكسرية غير العشرية في A:

\(\frac{-19}{7}\): مقابله هو \(\frac{19}{7}\)

مقابل \(\frac{-19}{7}\) هو \(\frac{19}{7}\)

✏️ الحل 5: الأعداد العشرية غير الصحيحة

\(\frac{3}{4} = 0,75 = \frac{75}{100} = \frac{75}{10^2}\)
\(-\frac{7}{8} = -0,875 = \frac{-875}{1000} = \frac{-875}{10^3}\)
\(-0,6 = \frac{-6}{10} = \frac{-6}{10^1}\)

تمرين عدد 5

نعتبر المجموعة A التالية: \[A = \left\{\frac{-5}{20}; 0; \frac{12}{3}; -\frac{2}{3}; (-2,4); -\frac{18}{-45}\right\}\]

1) أكمل ب \(\in\) أو \(\notin\) أو \(\subset\) أو \(\not\subset\):

\(4.......A\) و \(\{0\}.......A\) و \(-\frac{2}{5} .......A\) و \(\left\{-\frac{2}{3}; -\frac{1}{4}; (-2,4)\right\}.......A\)

2) أوجد عناصر المجموعات التالية:

\(A \cap N = ....\) ، \(A \cap D = ......\)

\(A \cap \mathbb{Q}^*_- = ..........\) ، \(A \cup \left\{\frac{7}{12}; -4; -\frac{1}{4}\right\} = ..............\)

🔷 التصحيح المفصل

📌 تبسيط المجموعة A

\(\frac{-5}{20} = -\frac{1}{4} = -0,25\)
\(0\)
\(\frac{12}{3} = 4\)
\(-\frac{2}{3}\)
\(-2,4\)
\(-\frac{18}{-45} = \frac{18}{45} = \frac{2}{5} = 0,4\)

\(A = \left\{-0,25; 0; 4; -\frac{2}{3}; -2,4; 0,4\right\}\)

✏️ الحل 1

\(4 \in A\) ✓
\(\{0\} \subset A\) ✓
\(-\frac{2}{5} = -0,4 \notin A\) (لأن في A يوجد 0,4 وليس -0,4)
\(\left\{-\frac{2}{3}; -\frac{1}{4}; -2,4\right\} \subset A\) ✓

✏️ الحل 2

أ) \(A \cap N\) (إذا كان N يعني ℕ):

A \cap \mathbb{N} = \{0; 4\}

ب) \(A \cap D\) (الأعداد العشرية):

\(-\frac{2}{3}\) غير عشري
باقي العناصر عشرية

A \cap D = \{-0,25; 0; 4; -2,4; 0,4\}

ج) \(A \cap \mathbb{Q}^*_-\):

A \cap \mathbb{Q}^*_- = \left\{-0,25; -\frac{2}{3}; -2,4\right\}

د) \(A \cup \left\{\frac{7}{12}; -4; -\frac{1}{4}\right\}\):

لاحظ أن \(-\frac{1}{4} \in A\):

A \cup \left\{\frac{7}{12}; -4; -\frac{1}{4}\right\} = \left\{-0,25; 0; 4; -\frac{2}{3}; -2,4; 0,4; \frac{7}{12}; -4\right\}