تمارين إضافية - المجموعات في ℝ

التمرين رقم 1

لكل سؤال إجابة واحدة صحيحة، حدّدها

\(\frac{2}{20}\)	\(\frac{2}{15}\)	\(\frac{5}{8}\)	في مأوى للسيارات خمس السيارات بيضاء و ثلثها سوداء، العدد الكسري الذي يمثل بقية السيارات هو:
\(\emptyset\)	\(\mathbb{Q}^*\)	\(\mathbb{Q}\)	\(\mathbb{Q}_+ \cap D_- =\)
\(E = \left\{\frac{2}{7}\right\}\)	\(E = \emptyset\)	\(E = \left\{\frac{2}{7}; -\frac{2}{7}\right\}\)	\(E = \left\{x \in \mathbb{Z}_+ ; \|x\| = \frac{2}{7}\right\}\)
\(F \cap ID = \left\{-\frac{21}{7}; 0\right\}\)	\(F \cap \mathbb{Z} = F\)	\(F \cap ID_+ = F\)	\(F = \left\{\frac{24}{12}; 0; -\frac{21}{7}\right\}\)

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 1

✏️ السؤال الأول: مسألة السيارات

المعطيات:

خُمس السيارات بيضاء: \(\frac{1}{5}\)
ثلث السيارات سوداء: \(\frac{1}{3}\)

الحل:

مجموع السيارات البيضاء والسوداء:

\frac{1}{5} + \frac{1}{3} = \frac{3}{15} + \frac{5}{15} = \frac{8}{15}

بقية السيارات (الألوان الأخرى):

1 - \frac{8}{15} = \frac{15}{15} - \frac{8}{15} = \frac{7}{15}

ملاحظة: لا توجد \(\frac{7}{15}\) ضمن الخيارات المعروضة. الخيارات المعروضة هي:

\(\frac{2}{20} = \frac{1}{10}\)
\(\frac{2}{15}\)
\(\frac{5}{8}\)

الإجابة الصحيحة يجب أن تكون \(\frac{7}{15}\) ولكنها غير موجودة، أو هناك خطأ في نص المسألة.

✏️ السؤال الثاني: \(\mathbb{Q}_+ \cap D_-\)

التحليل:

\(\mathbb{Q}_+\): مجموعة الأعداد النسبية الموجبة تماماً (بدون الصفر)
\(D_-\): مجموعة الأعداد العشرية السالبة تماماً

التقاطع بين مجموعة أعداد موجبة ومجموعة أعداد سالبة:

\mathbb{Q}_+ \cap D_- = \emptyset

الإجابة الصحيحة: \(\emptyset\) (المجموعة الفارغة)

✏️ السؤال الثالث: \(E = \left\{x \in \mathbb{Z}_+ ; |x| = \frac{2}{7}\right\}\)

التحليل:

نبحث عن أعداد صحيحة موجبة (\(\mathbb{Z}_+\))
قيمتها المطلقة تساوي \(\frac{2}{7}\)
\(\frac{2}{7} \approx 0,286\) وهو ليس عدداً صحيحاً

لا يوجد عدد صحيح موجب قيمته المطلقة تساوي \(\frac{2}{7}\):

E = \emptyset

الإجابة الصحيحة: \(E = \emptyset\)

✏️ السؤال الرابع: \(F = \left\{\frac{24}{12}; 0; -\frac{21}{7}\right\}\)

تبسيط عناصر F:

\(\frac{24}{12} = 2\)
\(0\)
\(-\frac{21}{7} = -3\)

F = \{2; 0; -3\}

فحص الخيارات:

أ) \(F \cap ID_+ = F\):

إذا كان ID يعني الأعداد العشرية، فإن F تحتوي على أعداد صحيحة (عشرية). لكن \(ID_+\) يحتوي فقط على الأعداد العشرية الموجبة، وF تحتوي على 0 و-3 (ليسا موجبين).

\(F \cap ID_+ = \{2\} \neq F\) ✗

ب) \(F \cap \mathbb{Z} = F\):

كل عناصر F هي أعداد صحيحة:

\(F \cap \mathbb{Z} = \{2; 0; -3\} = F\) ✓

ج) \(F \cap ID = \left\{-\frac{21}{7}; 0\right\}\):

جميع عناصر F عشرية:

\(F \cap ID = F = \{2; 0; -3\} \neq \left\{-\frac{21}{7}; 0\right\}\) ✗

الإجابة الصحيحة: \(F \cap \mathbb{Z} = F\)

التمرين رقم 2

لتكن المجموعة: \[A = \left\{\frac{-6}{5} \, , \, \frac{-21}{35} \, , \, \frac{4}{3} \, , \, \frac{-5}{2} \, , \, 0 \, , \, 2.5 \, , \, -1.25 \, , \, 1 \, , \, \frac{3}{4}\right\}\]

1) حدد المجموعات التالية

2) \(A \cap \mathbb{Q}^*_+\) ؛ \(A \cap D\) ؛ \(A \cap \mathbb{Z}_-\) ؛ \(A \cap \mathbb{Q}\)

3) أ) مثل على مستقيم مدرج حسب المعلم (O,I) النقاط M و N و P و Q التي فاصلاتها على التوالي:

\frac{-5}{2} \quad ; \quad -\frac{3}{4} \quad ; \quad 2,5 \quad ; \quad 1,25

ب) أحسب OM و ON

ج) عين على [IO] النقطة S بحيث \(OS - \frac{1}{2} = \frac{5}{4}\). على جوابك

د) عين على [OI] النقطة P بحيث \(NT + \frac{3}{2} = \frac{15}{4}\). على جوابك

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 2

📌 خطوة تمهيدية: تبسيط عناصر المجموعة A

\(\frac{-6}{5} = -1,2\)
\(\frac{-21}{35} = -\frac{3}{5} = -0,6\)
\(\frac{4}{3} \approx 1,333...\)
\(\frac{-5}{2} = -2,5\)
\(0\)
\(2,5\)
\(-1,25\)
\(1\)
\(\frac{3}{4} = 0,75\)

\(A = \left\{-\frac{6}{5}; -\frac{3}{5}; \frac{4}{3}; -\frac{5}{2}; 0; 2,5; -1,25; 1; \frac{3}{4}\right\}\)

✏️ الحل 2: تحديد المجموعات

أ) \(A \cap \mathbb{Q}^*_+\):

الأعداد النسبية الموجبة تماماً (بدون الصفر):

A \cap \mathbb{Q}^*_+ = \left\{\frac{4}{3}; 2,5; 1; \frac{3}{4}\right\}

ب) \(A \cap D\):

الأعداد العشرية في A:

\(-\frac{6}{5} = -1,2\) ✓
\(-\frac{3}{5} = -0,6\) ✓
\(\frac{4}{3}\) ✗ (غير عشري)
\(-\frac{5}{2} = -2,5\) ✓
\(0\) ✓
\(2,5\) ✓
\(-1,25\) ✓
\(1\) ✓
\(\frac{3}{4} = 0,75\) ✓

A \cap D = \left\{-\frac{6}{5}; -\frac{3}{5}; -\frac{5}{2}; 0; 2,5; -1,25; 1; \frac{3}{4}\right\}

ج) \(A \cap \mathbb{Z}_-\):

الأعداد الصحيحة السالبة تماماً في A:

لا يوجد أي عدد صحيح سالب في A

A \cap \mathbb{Z}_- = \emptyset

د) \(A \cap \mathbb{Q}\):

جميع عناصر A هي أعداد نسبية:

A \cap \mathbb{Q} = A

✏️ الحل 3: التمثيل على المستقيم المدرج

أ) تمثيل النقاط:

M: فاصلتها \(\frac{-5}{2} = -2,5\)
N: فاصلتها \(-\frac{3}{4} = -0,75\)
P: فاصلتها \(2,5\)
Q: فاصلتها \(1,25\)

ب) حساب OM و ON:

المسافة من O إلى نقطة = القيمة المطلقة للفاصلة:

OM = \left|\frac{-5}{2}\right| = \frac{5}{2} = 2,5

ON = \left|-\frac{3}{4}\right| = \frac{3}{4} = 0,75

ج) إيجاد النقطة S:

المعطى: \(OS - \frac{1}{2} = \frac{5}{4}\)

OS = \frac{5}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} + \frac{2}{4} = \frac{7}{4} = 1,75

S على [IO]، إذن فاصلة S موجبة وتساوي 1,75

د) إيجاد النقطة P:

المعطى: \(NT + \frac{3}{2} = \frac{15}{4}\)

NT = \frac{15}{4} - \frac{3}{2} = \frac{15}{4} - \frac{6}{4} = \frac{9}{4} = 2,25

ملاحظة: يبدو أن هناك خطأً في نص السؤال (NT بدلاً من شيء آخر). إذا كان المقصود إيجاد فاصلة T، فنحتاج لمعلومات إضافية.

تمرين عدد 1

ضع علامة × في الخانة المناسبة:

إذن \(ab \in \mathbb{Z}^*_-\)	\(\left\|\frac{a}{b}\right\| = \frac{a}{b}\)	\(\left\|\frac{a}{b}\right\| = -\frac{a}{b}\)	\(\left\|\frac{a}{b}\right\| = \frac{a}{-b}\)	\(\frac{a}{b} = \frac{a}{b}\)
\(\mathbb{Q}^*_+ \cup \mathbb{Q}_- =\)	\(\mathbb{Q}_-\)	\(\mathbb{Q}^*\)	\(\mathbb{Q}\)
\(E = \left\{x \in \mathbb{Q}_- ; \|x\| = -\frac{2}{7}\right\}\)	\(E = \left\{\frac{2}{7}; -\frac{2}{7}\right\}\)	\(E = \emptyset\)	\(E = \left\{-\frac{2}{7}\right\}\)
	متقايسان	غير متقايسان	متقايسان
\(F = \left\{\frac{18}{12}; 0; -\frac{21}{7}\right\}\)	\(F \cap ID = F\)	\(F \cap \mathbb{Z} = F\)	\(F \cap ID = \left\{-\frac{21}{7}; 0\right\}\)

🔷 التصحيح المفصل

✏️ السطر الأول: القيمة المطلقة

المعطى: \(ab \in \mathbb{Z}^*_-\) (أي أن حاصل ضرب a و b عدد صحيح سالب)

هذا يعني أن a و b لهما إشارتان مختلفتان (أحدهما موجب والآخر سالب)

الخيارات:

\(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{a}{b}\) ✗ (لأن الكسر سالب)
\(\left|\frac{a}{b}\right| = -\frac{a}{b}\) ✓ (صحيح، القيمة المطلقة لعدد سالب تساوي معاكسه)
\(\left|\frac{a}{b}\right| = \frac{a}{-b}\) ✓ (صحيح أيضاً، لأن \(-\frac{a}{b} = \frac{a}{-b}\))
\(\frac{a}{b} = \frac{a}{b}\) ✓ (صحيح دائماً بالبداهة)

✏️ السطر الثاني: \(\mathbb{Q}^*_+ \cup \mathbb{Q}_-\)

\(\mathbb{Q}^*_+\): الأعداد النسبية الموجبة تماماً (بدون الصفر)
\(\mathbb{Q}_-\): الأعداد النسبية السالبة تماماً

اتحادهما يعطي جميع الأعداد النسبية ما عدا الصفر:

\mathbb{Q}^*_+ \cup \mathbb{Q}_- = \mathbb{Q}^*

الإجابة الصحيحة: \(\mathbb{Q}^*\)

✏️ السطر الثالث: \(E = \left\{x \in \mathbb{Q}_- ; |x| = -\frac{2}{7}\right\}\)

القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة، لا يمكن أن تكون سالبة:

\(|x| = -\frac{2}{7} < 0\) مستحيل!

الإجابة الصحيحة: \(E = \emptyset\)

✏️ السطر الرابع: المثلثات

من الرسم، يبدو أن المثلثين متقايسان (لهما نفس الأضلاع)

الإجابة: متقايسان

✏️ السطر الخامس: \(F = \left\{\frac{18}{12}; 0; -\frac{21}{7}\right\}\)

تبسيط:

\(\frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1,5\)
\(0\)
\(-\frac{21}{7} = -3\)

F = \{1,5; 0; -3\}

جميع عناصر F هي أعداد عشرية وصحيحة (باستثناء 1,5):

F \cap \mathbb{Z} = \{0; -3\} \neq F

\(F \cap ID = F\) (كل عناصر F عشرية) ✓

الإجابة الصحيحة: \(F \cap ID = F\)

تمرين عدد 2

لدينا المجموعات التالية: \[P = \left\{0; -\frac{4}{3}; -2.04\right\} \quad \text{و} \quad N = \left\{2.9; -2; \frac{105}{35}\right\} \quad \text{و} \quad M = \left\{-\frac{18}{3}; 0; \frac{8016}{8}\right\}\]

1°) أتمم بإحدى العلامات: \(\in\) أو \(\notin\) أو \(\subset\) أو \(\not\subset\):

\(M ..... \mathbb{Z}\) ، \(-4 ..... N\) ، \(P ..... ID\)

2°) أتمم بما يناسب:

\(M \cap \mathbb{N}^* =.....\) ، \(M \cap \mathbb{Z} =.....\) ، \(N \cap ID_- =.....\)

\(M \cap \mathbb{Q}^* =.....\) ، \(N \cap ID_+ =.....\) ، \(M \cup P =.....\)

🔷 التصحيح المفصل للتمرين عدد 2

📌 تبسيط المجموعات

المجموعة P:

\(0\)
\(-\frac{4}{3} \approx -1,333...\)
\(-2,04\)

P = \left\{0; -\frac{4}{3}; -2,04\right\}

المجموعة N:

\(2,9\)
\(-2\)
\(\frac{105}{35} = 3\)

N = \{2,9; -2; 3\}

المجموعة M:

\(-\frac{18}{3} = -6\)
\(0\)
\(\frac{8016}{8} = 1002\)

M = \{-6; 0; 1002\}

✏️ الحل 1: إكمال العلامات

أ) \(M ..... \mathbb{Z}\):

جميع عناصر M هي أعداد صحيحة:

M \subset \mathbb{Z}

ب) \(-4 ..... N\):

\(-4\) ليس عنصراً من N:

-4 \notin N

ج) \(P ..... ID\):

ننظر إلى عناصر P:

\(0\) عشري ✓
\(-\frac{4}{3}\) غير عشري ✗
\(-2,04\) عشري ✓

بما أن \(-\frac{4}{3}\) غير عشري:

P \not\subset ID

✏️ الحل 2: إكمال المجموعات

أ) \(M \cap \mathbb{N}^*\):

الأعداد الطبيعية الموجبة تماماً في M:

M \cap \mathbb{N}^* = \{1002\}

ب) \(M \cap \mathbb{Z}\):

جميع عناصر M صحيحة:

M \cap \mathbb{Z} = M = \{-6; 0; 1002\}

ج) \(N \cap ID_-\):

الأعداد العشرية السالبة في N:

N \cap ID_- = \{-2\}

د) \(M \cap \mathbb{Q}^*\):

الأعداد النسبية غير المعدومة في M:

M \cap \mathbb{Q}^* = \{-6; 1002\}

ه) \(N \cap ID_+\):

الأعداد العشرية الموجبة في N:

N \cap ID_+ = \{2,9; 3\}

و) \(M \cup P\):

اتحاد المجموعتين:

M \cup P = \left\{-6; 0; 1002; -\frac{4}{3}; -2,04\right\}

تمرين عدد 3

نعتبر المجموعة A التالية: \[A = \left\{\frac{-18}{8}; 0; -3,14; \frac{51}{3}; \frac{-21}{-7}; \frac{49}{-14}; -(- 1)\right\}\]

1) أكمل ب \(\in\) أو \(\notin\) و \(\subset\) أو \(\not\subset\):

\(\frac{51}{3} ........IN\) ؛ \(\frac{-21}{-7} ..........\mathbb{Z}_+\) ؛ \(\frac{49}{-14} ..........\mathbb{Z}_-\) ؛ \(\frac{49}{-14} .........ID\)

\(A..............ID\) ؛ \(A..............\mathbb{Z}\) ؛ \(A..............\mathbb{Q}\)

2) حدد المجموعات التالية:

\(A \cap \mathbb{Q} = ................\) ؛ \(\mathbb{Q}^*_+ \cup \mathbb{Q}_- = ........\) ؛ \(\mathbb{Q}^*_+ \cap \mathbb{Q}_- = ........\)

🔷 التصحيح المفصل للتمرين عدد 3

📌 تبسيط عناصر المجموعة A

\(\frac{-18}{8} = -\frac{9}{4} = -2,25\)
\(0\)
\(-3,14\)
\(\frac{51}{3} = 17\)
\(\frac{-21}{-7} = 3\)
\(\frac{49}{-14} = -\frac{7}{2} = -3,5\)
\(-(- 1) = 1\)

\(A = \{-2,25; 0; -3,14; 17; 3; -3,5; 1\}\)

✏️ الحل 1: إكمال الرموز

أ) \(\frac{51}{3} ........IN\):

إذا كان IN يعني \(\mathbb{N}\):

\frac{51}{3} = 17 \in \mathbb{N}

ب) \(\frac{-21}{-7} ..........\mathbb{Z}_+\):

\frac{-21}{-7} = 3 \in \mathbb{Z}_+

ج) \(\frac{49}{-14} ..........\mathbb{Z}_-\):

\(\frac{49}{-14} = -3,5 \notin \mathbb{Z}_-\) (لأنه ليس عدداً صحيحاً)

د) \(\frac{49}{-14} .........ID\):

\frac{49}{-14} = -3,5 \in ID

ه) \(A..............ID\):

جميع عناصر A هي أعداد عشرية:

A \subset ID

و) \(A..............\mathbb{Z}\):

A تحتوي على أعداد غير صحيحة مثل -2,25:

A \not\subset \mathbb{Z}

ز) \(A..............\mathbb{Q}\):

جميع عناصر A نسبية:

A \subset \mathbb{Q}

✏️ الحل 2: تحديد المجموعات

أ) \(A \cap \mathbb{Q}\):

جميع عناصر A نسبية:

A \cap \mathbb{Q} = A = \{-2,25; 0; -3,14; 17; 3; -3,5; 1\}

ب) \(\mathbb{Q}^*_+ \cup \mathbb{Q}_-\):

اتحاد الأعداد النسبية الموجبة تماماً والسالبة تماماً:

\(\mathbb{Q}^*_+ \cup \mathbb{Q}_- = \mathbb{Q}^*\) (جميع الأعداد النسبية ماعدا الصفر)

ج) \(\mathbb{Q}^*_+ \cap \mathbb{Q}_-\):

تقاطع أعداد موجبة مع أعداد سالبة:

\mathbb{Q}^*_+ \cap \mathbb{Q}_- = \emptyset

تمرين عدد 1 (إضافي)

1) حدّد الأعداد العشرة النسبية من بين الأعداد الكسرية واكتبها في صيغة \(\frac{a}{10^n}\) حيث \(a \in \mathbb{Z}\) و \(n \in \mathbb{N}\):

\frac{-161}{7 \times 10^3} \quad ; \quad \frac{-14}{-6} \quad ; \quad \frac{27}{75}

2) أكمل ب \(\in\) أو \(\notin\) أو \(\subset\) أو \(\not\subset\):

\(\frac{51}{3} .......\mathbb{Z}\) و \(\left\{\frac{-3}{-25} \, ; \, \frac{2}{3}\right\}.......\mathbb{Q}_+\) و \((-2,4)......ID\) و \(\mathbb{N}^*.......\mathbb{Q}_+\)

3) أوجد المجموعات التالية:

\(ID^* \cup ID_+ = ..................\) ؛ \(\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}^*_- = ...............\) ؛ \(\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Z} = ...................\)

\(\left\{\frac{-4}{3} \, ; \, 0 \, ; \, -(-5) \, ; \, \frac{7}{20}\right\} \cap ID = .....................................\)

🔷 التصحيح المفصل

✏️ الحل 1: الأعداد العشرية

أ) \(\frac{-161}{7 \times 10^3}\):

المقام يحتوي على 7 كعامل أولي، لذلك ليس عدداً عشرياً:

\(\frac{-161}{7 \times 10^3}\) غير عشري ✗

ب) \(\frac{-14}{-6}\):

نبسط:

\frac{-14}{-6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}

المقام 3 ليس على شكل \(2^n \times 5^m\)، فليس عشرياً:

\(\frac{-14}{-6}\) غير عشري ✗

ج) \(\frac{27}{75}\):

نبسط:

\frac{27}{75} = \frac{9}{25} = \frac{9}{5^2} = \frac{36}{100} = \frac{36}{10^2}

العدد العشري الوحيد: \(\frac{27}{75} = \frac{36}{10^2}\)

✏️ الحل 2: إكمال الرموز

أ) \(\frac{51}{3} .......\mathbb{Z}\):

\frac{51}{3} = 17 \in \mathbb{Z}

ب) \(\left\{\frac{-3}{-25} \, ; \, \frac{2}{3}\right\}.......\mathbb{Q}_+\):

نبسط:

\(\frac{-3}{-25} = \frac{3}{25} > 0\) ✓
\(\frac{2}{3} > 0\) ✓

\left\{\frac{3}{25}; \frac{2}{3}\right\} \subset \mathbb{Q}_+

ج) \((-2,4)......ID\):

-2,4 \in ID

د) \(\mathbb{N}^*.......\mathbb{Q}_+\):

جميع الأعداد الطبيعية الموجبة هي أعداد نسبية موجبة:

\mathbb{N}^* \subset \mathbb{Q}_+

✏️ الحل 3: المجموعات

أ) \(ID^* \cup ID_+\):

اتحاد الأعداد العشرية غير المعدومة مع العشرية الموجبة:

\(ID^* \cup ID_+ = ID^*\) (لأن \(ID_+ \subset ID^*\))

ب) \(\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}^*_-\):

تقاطع أعداد طبيعية (موجبة أو صفر) مع أعداد نسبية سالبة:

\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}^*_- = \emptyset

ج) \(\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Z}\):

الأعداد الصحيحة الموجبة تماماً:

\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Z} = \mathbb{Z}_+ = \mathbb{N}^*

د) \(\left\{\frac{-4}{3} \, ; \, 0 \, ; \, -(-5) \, ; \, \frac{7}{20}\right\} \cap ID\):

نبسط أولاً:

\(\frac{-4}{3}\) غير عشري ✗
\(0\) عشري ✓
\(-(-5) = 5\) عشري ✓
\(\frac{7}{20} = 0,35\) عشري ✓

\left\{\frac{-4}{3}; 0; 5; \frac{7}{20}\right\} \cap ID = \left\{0; 5; \frac{7}{20}\right\}

تمرين عدد 2 (إضافي)

بين أن العدد \(-520\) هو كسري عشري و اكتبه على شكل \(\frac{a}{10^n}\) حيث \(n \in \mathbb{N}\) و \(a \in \mathbb{Z}\). أكمل ب \(\in\) أو \(\notin\) أو \(\subset\) أو \(\not\subset\):

\(\frac{72}{24} ......ID\) ؛ \(\frac{50078938}{8} .........\mathbb{N}\) ؛ \(\frac{-2135}{4} .......\mathbb{Z}\)

\(\frac{247350}{25} .......\mathbb{N}\) ؛ \(\left\{\frac{-91}{520}; \frac{2136}{-4}; \frac{-72}{24}\right\}......ID\) ؛ \(\mathbb{Z}......ID\)

حدد عناصر المجموعات التالية:

\(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q} =.......\) ؛ \(\mathbb{Q}_- \cap \mathbb{Q}^*_+ = ......\)

🔷 التصحيح المفصل

✏️ الحل: إثبات أن -520 عدد عشري

العدد -520 هو عدد صحيح، وكل عدد صحيح هو عدد عشري:

-520 = \frac{-520}{1} = \frac{-520}{10^0}

أو يمكن كتابته:

-520 = \frac{-5200}{10} = \frac{-5200}{10^1}

✏️ إكمال الرموز

أ) \(\frac{72}{24} ......ID\):

\frac{72}{24} = 3 \in ID

ب) \(\frac{50078938}{8} .........\mathbb{N}\):

نقسم:

\frac{50078938}{8} = 6259867,25

ليس عدداً طبيعياً:

\frac{50078938}{8} \notin \mathbb{N}

ج) \(\frac{-2135}{4} .......\mathbb{Z}\):

\frac{-2135}{4} = -533,75 \notin \mathbb{Z}

د) \(\frac{247350}{25} .......\mathbb{N}\):

\frac{247350}{25} = 9894 \in \mathbb{N}

ه) \(\left\{\frac{-91}{520}; \frac{2136}{-4}; \frac{-72}{24}\right\}......ID\):

نفحص كل عنصر:

\(\frac{-91}{520}\): المقام 520 = 8 × 65 = 8 × 5 × 13 يحتوي على 13، فليس عشرياً ✗
\(\frac{2136}{-4} = -534\) عشري ✓
\(\frac{-72}{24} = -3\) عشري ✓

\left\{\frac{-91}{520}; \frac{2136}{-4}; \frac{-72}{24}\right\} \not\subset ID

و) \(\mathbb{Z}......ID\):

جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد عشرية:

\mathbb{Z} \subset ID

✏️ المجموعات

أ) \(\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q}\):

جميع الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية:

\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z}

ب) \(\mathbb{Q}_- \cap \mathbb{Q}^*_+\):

تقاطع أعداد سالبة مع أعداد موجبة:

\mathbb{Q}_- \cap \mathbb{Q}^*_+ = \emptyset

تمرين عدد 3°) حذف عناصر المجموعتين التاليتين:

E هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية x المنتمية للمجموعة p بحيث \(|x| = \frac{4}{3}\)

F هي مجموعة الأعداد الكسرية النسبية x المنتمية للمجموعة N بحيث \(|x| = x\)

4°) مثل كل عناصر المجموعة E على المستقيم المدرج (OI) التالي:

🔷 التصحيح المفصل

ملاحظة مهمة: المجموعتان p و N غير معرّفتين في هذا السؤال. سأفترض أن:

p تعني \(\mathbb{Q}\) (الأعداد النسبية)
N تعني \(\mathbb{Q}\) أيضاً

✏️ الحل: المجموعة E

\(E = \left\{x \in \mathbb{Z} \cap \mathbb{Q} ; |x| = \frac{4}{3}\right\}\)

نبحث عن أعداد صحيحة قيمتها المطلقة \(\frac{4}{3} \approx 1,333\)

\(\frac{4}{3}\) ليس عدداً صحيحاً، فلا يوجد عدد صحيح قيمته المطلقة تساوي \(\frac{4}{3}\):

E = \emptyset

✏️ الحل: المجموعة F

\(F = \{x \in \mathbb{Q} ; |x| = x\}\)

الشرط \(|x| = x\) يتحقق لجميع الأعداد الموجبة والصفر:

F = \{x \in \mathbb{Q} ; x \geq 0\} = \mathbb{Q}_+ \cup \{0\}

✏️ الحل 4: التمثيل على المستقيم

بما أن \(E = \emptyset\)، لا توجد نقاط لتمثيلها على المستقيم المدرج.