تمارين المجموعات في ℝ

التمرين رقم 1

نعتبر المجموعة: \[A = \left\{-\frac{3}{2}; 0; -2; \left|-\frac{7}{6}\right|; \frac{6}{15}; \frac{3}{-20}; \frac{-12}{-15}; \frac{4}{3}; \frac{-6}{15}; \frac{-12}{-2}\right\}\]

1) أكمل بأحد الرموز \(\mathbb{Z}\subset\), \(\mathbb{Z}\in\), \(\mathbb{Q}\subset\), \(\mathbb{Q}\in\):

\(....A \left\{6; \frac{-2}{15}; \frac{8}{6}\right\}\) ؛ \(....A \left\{5; -2; \frac{4}{3}\right\}\) ؛ \(....A \frac{7}{6}\) ؛ \(....A\) -1,5

\(....D \left\{\frac{7}{5}; \frac{2}{3}; -4\right\}\) ؛ \(....Q \left\{0, -\frac{3}{2}; \frac{-5}{-7}\right\}\) ؛ \(....D \left\{\frac{21}{7}; -3; \frac{5}{4}\right\}\)

2) حدد المجموعات التالية:

\(A \cap \mathbb{Z}\) ، \(A \cap \mathbb{Q}_+\) ، \(A \cap \mathbb{Q}\) ، \(\mathbb{Z}_+ \cap D\) ، \(D_- \cup Q\) ، \(\mathbb{Z}_- \cup D_+\)

3) حدد الأعداد العشرية من بين عناصر A واكتبها على شكل \(\frac{a}{10^n}\)

4) حدد المجموعات التالية:

\[E = \left\{x \in \mathbb{Q} ; |x| = \frac{3}{2}\right\}\] \[F = \left\{x \in A ; |x| = -\frac{7}{6}\right\}\]

\[G = \left\{x \in A ; |-x| = \left|-\frac{6}{45}\right|\right\}\] \[H = \{x \in A ; |x| = -x\}\]

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 1

📌 خطوة تمهيدية: تبسيط عناصر المجموعة A

نبدأ بتبسيط كل عنصر من عناصر المجموعة A:

\(-\frac{3}{2} = -1,5\) (عدد كسري نسبي)
\(0\) (عدد صحيح)
\(-2\) (عدد صحيح)
\(\left|-\frac{7}{6}\right| = \frac{7}{6}\) (عدد كسري نسبي موجب)
\(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\) (عدد كسري نسبي)
\(\frac{3}{-20} = -\frac{3}{20}\) (عدد كسري نسبي سالب)
\(\frac{-12}{-15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}\) (عدد كسري نسبي موجب)
\(\frac{4}{3}\) (عدد كسري نسبي)
\(\frac{-6}{15} = -\frac{2}{5}\) (عدد كسري نسبي سالب)
\(\frac{-12}{-2} = 6\) (عدد صحيح)

إذن: \(A = \left\{-\frac{3}{2}; 0; -2; \frac{7}{6}; \frac{2}{5}; -\frac{3}{20}; \frac{4}{5}; \frac{4}{3}; -\frac{2}{5}; 6\right\}\)

✏️ الحل 1: إكمال الرموز

السطر الأول:

\(\left\{6; \frac{-2}{15}; \frac{8}{6}\right\} \subset A\) ✗ (خطأ لأن \(\frac{-2}{15} \notin A\) و \(\frac{8}{6} = \frac{4}{3} \in A\))
\(\left\{5; -2; \frac{4}{3}\right\} \not\subset A\) (لأن \(5 \notin A\))
\(\frac{7}{6} \in A\) ✓
\(-1,5 \in A\) ✓ (لأن \(-1,5 = -\frac{3}{2}\))

السطر الثاني:

نحتاج لتحديد D أولاً (لم يتم تعريفها في السؤال، ربما \(D = \mathbb{D}\) الأعداد العشرية)
\(\left\{0, -\frac{3}{2}; \frac{-5}{-7}\right\} \subset Q\) (إذا كان Q يعني \(\mathbb{Q}\))

✏️ الحل 2: تحديد المجموعات

أ) \(A \cap \mathbb{Z}\):

نبحث عن الأعداد الصحيحة في A:

A \cap \mathbb{Z} = \{0; -2; 6\}

ب) \(A \cap \mathbb{Q}_+\):

نبحث عن الأعداد النسبية الموجبة (بدون الصفر):

A \cap \mathbb{Q}_+ = \left\{\frac{7}{6}; \frac{2}{5}; \frac{4}{5}; \frac{4}{3}; 6\right\}

ج) \(A \cap \mathbb{Q}\):

جميع عناصر A هي أعداد نسبية:

A \cap \mathbb{Q} = A

تنبيه: \(\mathbb{Q}_+\) تعني الأعداد النسبية الموجبة تماماً (لا تشمل الصفر)، بينما \(\mathbb{Q}_+^*\) أو \(\mathbb{Q}^*_+\) تعني نفس المعنى.

✏️ الحل 3: الأعداد العشرية

العدد العشري هو عدد يمكن كتابته على شكل \(\frac{a}{10^n}\) حيث \(a \in \mathbb{Z}\) و \(n \in \mathbb{N}\)

نفحص كل عنصر:

\(-\frac{3}{2} = -\frac{15}{10} = \frac{-15}{10^1}\) ✓ (عشري)
\(0 = \frac{0}{10^1}\) ✓ (عشري)
\(-2 = \frac{-2}{10^0} = \frac{-20}{10^1}\) ✓ (عشري)
\(\frac{7}{6}\) ✗ (غير عشري لأن 6 يحتوي على 3 كعامل أولي)
\(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\) ✓ (عشري)
\(-\frac{3}{20} = -\frac{15}{100} = \frac{-15}{10^2}\) ✓ (عشري)
\(\frac{4}{5} = \frac{8}{10}\) ✓ (عشري)
\(\frac{4}{3}\) ✗ (غير عشري)
\(-\frac{2}{5} = -\frac{4}{10}\) ✓ (عشري)
\(6 = \frac{6}{10^0} = \frac{60}{10^1}\) ✓ (عشري)

الأعداد العشرية في A بالشكل المطلوب:

\(-\frac{3}{2} = \frac{-15}{10}\)
\(0 = \frac{0}{1}\)
\(-2 = \frac{-20}{10}\)
\(\frac{2}{5} = \frac{4}{10}\)
\(-\frac{3}{20} = \frac{-15}{100}\)
\(\frac{4}{5} = \frac{8}{10}\)
\(-\frac{2}{5} = \frac{-4}{10}\)
\(6 = \frac{60}{10}\)

✏️ الحل 4: تحديد المجموعات بالقيمة المطلقة

أ) \(E = \left\{x \in \mathbb{Q} ; |x| = \frac{3}{2}\right\}\):

نبحث عن جميع الأعداد النسبية التي قيمتها المطلقة تساوي \(\frac{3}{2}\):

|x| = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}\) أو \(x = -\frac{3}{2}

E = \left\{-\frac{3}{2}; \frac{3}{2}\right\}

ب) \(F = \left\{x \in A ; |x| = -\frac{7}{6}\right\}\):

القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة، ولا يمكن أن تكون سالبة:

\(F = \emptyset\) (المجموعة الفارغة)

ج) \(G = \left\{x \in A ; |-x| = \left|-\frac{6}{45}\right|\right\}\):

نبسط أولاً:

\left|-\frac{6}{45}\right| = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}

|-x| = |x| = \frac{2}{15}

نبحث في A عن الأعداد التي قيمتها المطلقة \(\frac{2}{15}\):

لا يوجد في A عنصر قيمته المطلقة \(\frac{2}{15}\) (لأن \(\frac{2}{5} \neq \frac{2}{15}\))

G = \emptyset

د) \(H = \{x \in A ; |x| = -x\}\):

الشرط \(|x| = -x\) يتحقق عندما يكون \(x \leq 0\)

نبحث عن الأعداد السالبة والصفر في A:

H = \left\{-\frac{3}{2}; 0; -2; -\frac{3}{20}; -\frac{2}{5}\right\}

التمرين رقم 2

نعتبر المجموعة: \[A = \left\{-\frac{5}{2}; \frac{75}{125}; -\frac{3}{5}; \frac{21}{280}; \frac{99}{33}; 0; -1; \frac{5}{2}; 1\right\}\]

1) رتب تصاعدياً عناصر المجموعة A

2) حدد المجموعات التالية: \(A \cap \mathbb{N}\) ، \(A \cap \mathbb{D}\) ، \(A \cap \mathbb{Z}\) ، \(A \cap \mathbb{Q}^*\)

5) حدد المجموعات التالية:

\[E = \{x \in A ; |x| = 1\}\] \[F = \left\{x \in A ; |x| = \frac{3}{5}\right\}\] \[G = \left\{x \in A ; -\frac{3}{2} < |x| < \frac{3}{2}\right\}\]

\[H = \{x \in \mathbb{Q} ; |x| = x\}\] \[H = \left\{x \in \mathbb{Q}_+ ; |x| = \left|-\frac{7}{5}\right|\right\}\] \[L = \left\{x \in \mathbb{D} ; |x| = \frac{7}{6}\right\}\]

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 2

📌 خطوة تمهيدية: تبسيط عناصر المجموعة A

نبسط كل عنصر:

\(-\frac{5}{2} = -2,5\)
\(\frac{75}{125} = \frac{3}{5} = 0,6\)
\(-\frac{3}{5} = -0,6\)
\(\frac{21}{280} = \frac{3}{40} = 0,075\)
\(\frac{99}{33} = 3\)
\(0\)
\(-1\)
\(\frac{5}{2} = 2,5\)
\(1\)

\(A = \left\{-2,5; 0,6; -0,6; 0,075; 3; 0; -1; 2,5; 1\right\}\)

✏️ الحل 1: الترتيب التصاعدي

نرتب الأعداد من الأصغر إلى الأكبر:

\(-2,5 < -1 < -0,6 < 0 < 0,075 < 0,6 < 1 < 2,5 < 3\)

الترتيب التصاعدي: \[-\frac{5}{2} < -1 < -\frac{3}{5} < 0 < \frac{21}{280} < \frac{75}{125} < 1 < \frac{5}{2} < \frac{99}{33}\]

✏️ الحل 2: تحديد المجموعات

أ) \(A \cap \mathbb{N}\):

الأعداد الطبيعية في A (الأعداد الصحيحة الموجبة مع الصفر):

A \cap \mathbb{N} = \{0; 1; 3\}

ب) \(A \cap \mathbb{D}\):

جميع عناصر A هي أعداد عشرية:

A \cap \mathbb{D} = A = \left\{-\frac{5}{2}; \frac{3}{5}; -\frac{3}{5}; \frac{3}{40}; 3; 0; -1; \frac{5}{2}; 1\right\}

ج) \(A \cap \mathbb{Z}\):

الأعداد الصحيحة في A:

A \cap \mathbb{Z} = \{0; -1; 1; 3\}

د) \(A \cap \mathbb{Q}^*\):

الأعداد النسبية غير المعدومة في A (كل عناصر A ما عدا 0):

A \cap \mathbb{Q}^* = \left\{-\frac{5}{2}; \frac{3}{5}; -\frac{3}{5}; \frac{3}{40}; 3; -1; \frac{5}{2}; 1\right\}

✏️ الحل 5: المجموعات بالقيمة المطلقة

أ) \(E = \{x \in A ; |x| = 1\}\):

نبحث عن الأعداد في A التي قيمتها المطلقة 1:

E = \{-1; 1\}

ب) \(F = \left\{x \in A ; |x| = \frac{3}{5}\right\}\):

نبحث عن الأعداد في A التي قيمتها المطلقة \(\frac{3}{5} = 0,6\):

F = \left\{-\frac{3}{5}; \frac{3}{5}\right\} = \{-0,6; 0,6\}

ج) \(G = \left\{x \in A ; -\frac{3}{2} < |x| < \frac{3}{2}\right\}\):

نبحث عن الأعداد في A التي قيمتها المطلقة بين 0 و 1,5 (حصراً):

العناصر المحققة للشرط:

\(|0| = 0 < 1,5\) ✓
\(|0,075| = 0,075 < 1,5\) ✓
\(|0,6| = 0,6 < 1,5\) ✓
\(|-0,6| = 0,6 < 1,5\) ✓
\(|1| = 1 < 1,5\) ✓
\(|-1| = 1 < 1,5\) ✓

G = \left\{0; \frac{3}{40}; \frac{3}{5}; -\frac{3}{5}; 1; -1\right\}

د) \(H = \{x \in \mathbb{Q} ; |x| = x\}\):

الشرط \(|x| = x\) يتحقق لجميع الأعداد الموجبة والصفر:

H = \mathbb{Q}_+ \cup \{0\} = \{x \in \mathbb{Q} ; x \geq 0\}

ه) \(H = \left\{x \in \mathbb{Q}_+ ; |x| = \left|-\frac{7}{5}\right|\right\}\):

نبسط: \(\left|-\frac{7}{5}\right| = \frac{7}{5} = 1,4\)

في \(\mathbb{Q}_+\)، الشرط يصبح \(x = 1,4\):

H = \left\{\frac{7}{5}\right\}

و) \(L = \left\{x \in \mathbb{D} ; |x| = \frac{7}{6}\right\}\):

\(\frac{7}{6}\) ليس عدداً عشرياً (لأن 6 = 2×3 وليس على شكل \(2^n \times 5^m\)):

L = \emptyset

التمرين رقم 3

1) أكمل بأحد الرموز \(\mathbb{Z}\subset\), \(\mathbb{Z}\in\), \(\mathbb{Q}\subset\), \(\mathbb{Q}\in\):

\(....B \frac{-24}{15}\) ؛ \(....B \frac{39}{60}\) ؛ \(....B \frac{15}{-21}\)

2) حدد المجموعات التالية: \(B \cap \mathbb{Q}_+\) ، \(B \cap \mathbb{Z}\) ، \(B \cup Q\)

3) أوجد القيمة المطلقة لكل عنصر من عناصر B

6) حدد الأعداد العشرية من بين عناصر B واكتبها على شكل \(\frac{a}{10^n}\)

7) حدد المجموعات التالية:

\[E = \{x \in B \cap \mathbb{D} ; |x| = 1,6\}\] \[F = \{x \in B ; |x| = -x\}\]

\[G = \{x \in B ; |x| \geq 2\}\] \[H = \{x \in B ; |x| = x\}\]

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 3

ملاحظة مهمة: المجموعة B غير معرّفة بوضوح في الصورة الثانية. لكن من خلال السياق، يمكن افتراض أن: \[B = \left\{-\frac{24}{15}; \frac{39}{60}; \frac{15}{-21}\right\}\]

📌 خطوة تمهيدية: تبسيط عناصر المجموعة B

\(-\frac{24}{15} = -\frac{8}{5} = -1,6\)
\(\frac{39}{60} = \frac{13}{20} = 0,65\)
\(\frac{15}{-21} = -\frac{15}{21} = -\frac{5}{7} \approx -0,714...\)

\(B = \left\{-\frac{8}{5}; \frac{13}{20}; -\frac{5}{7}\right\}\)

✏️ الحل 1: إكمال الرموز

\(\frac{-24}{15} = -\frac{8}{5} \in B\) ✓
\(\frac{39}{60} = \frac{13}{20} \in B\) ✓
\(\frac{15}{-21} = -\frac{5}{7} \in B\) ✓

✏️ الحل 2: تحديد المجموعات

أ) \(B \cap \mathbb{Q}_+\):

الأعداد النسبية الموجبة في B:

B \cap \mathbb{Q}_+ = \left\{\frac{13}{20}\right\}

ب) \(B \cap \mathbb{Z}\):

لا يوجد أعداد صحيحة في B:

B \cap \mathbb{Z} = \emptyset

ج) \(B \cup Q\):

إذا كان Q يعني \(\mathbb{Q}\)، فإن B مجموعة جزئية من \(\mathbb{Q}\):

B \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}

✏️ الحل 3: القيمة المطلقة لكل عنصر

\(\left|-\frac{8}{5}\right| = \frac{8}{5} = 1,6\)
\(\left|\frac{13}{20}\right| = \frac{13}{20} = 0,65\)
\(\left|-\frac{5}{7}\right| = \frac{5}{7} \approx 0,714\)

✏️ الحل 6: الأعداد العشرية

نفحص كل عنصر:

\(-\frac{8}{5} = -\frac{16}{10} = \frac{-16}{10^1}\) ✓ (عشري)
\(\frac{13}{20} = \frac{65}{100} = \frac{65}{10^2}\) ✓ (عشري)
\(-\frac{5}{7}\) ✗ (غير عشري لأن 7 عامل أولي لا يساوي 2 أو 5)

الأعداد العشرية في B:

\(-\frac{8}{5} = \frac{-16}{10}\)
\(\frac{13}{20} = \frac{65}{100}\)

✏️ الحل 7: المجموعات المحددة

أ) \(E = \{x \in B \cap \mathbb{D} ; |x| = 1,6\}\):

نبحث في الأعداد العشرية من B عن تلك التي قيمتها المطلقة 1,6:

E = \left\{-\frac{8}{5}\right\}\) لأن \(\left|-\frac{8}{5}\right| = 1,6

ب) \(F = \{x \in B ; |x| = -x\}\):

الشرط يتحقق للأعداد السالبة والصفر:

F = \left\{-\frac{8}{5}; -\frac{5}{7}\right\}

ج) \(G = \{x \in B ; |x| \geq 2\}\):

نبحث عن الأعداد التي قيمتها المطلقة أكبر أو تساوي 2:

لا يوجد عنصر في B قيمته المطلقة ≥ 2:

G = \emptyset

د) \(H = \{x \in B ; |x| = x\}\):

الشرط يتحقق للأعداد الموجبة فقط:

H = \left\{\frac{13}{20}\right\}

التمرين رقم 4

نعتبر المجموعة E بحيث: \[E = \left\{-5; \frac{7}{3}; 0; \frac{-21}{30}; \frac{-16}{-4}; \frac{126}{280}; \frac{72}{-45}\right\}\]

1) اختزل إلى أقصى حد العددان \(\frac{-126}{280}\) و \(\frac{72}{-45}\)

2) أكمل بأحد الرموز \(\mathbb{Z}\subset\), \(\mathbb{Z}\in\), \(\mathbb{Q}\subset\), \(\mathbb{Q}\in\):

\(\left\{-5; -\frac{126}{280}; \frac{72}{-45}\right\} ....D_-\) ؛ \(E....Q^*\) ؛ \(\frac{21}{9}.....E\) ؛ \(4.....E\)

3) حدد المجموعات التالية:

\(E \cup Q\) ، \(E \cap \mathbb{Z}\) ، \(N \cup \mathbb{Z}^*_-\) ، \(Q_+ \cap Q^*_-\)

4) حول الأعداد العشرية الغير صحيحة من E إلى كتابة على شكل \(\frac{a}{10^n}\)

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 4

✏️ الحل 1: اختزال الكسور

أ) اختزال \(\frac{-126}{280}\):

نبحث عن القاسم المشترك الأكبر (PGCD):

126 = 2 × 63 = 2 × 9 × 7 = 2 × 3² × 7
280 = 8 × 35 = 2³ × 5 × 7
PGCD(126, 280) = 2 × 7 = 14

\frac{-126}{280} = \frac{-126 \div 14}{280 \div 14} = \frac{-9}{20}

ب) اختزال \(\frac{72}{-45}\):

نبحث عن القاسم المشترك الأكبر:

72 = 8 × 9 = 2³ × 3²
45 = 9 × 5 = 3² × 5
PGCD(72, 45) = 9

\frac{72}{-45} = \frac{72 \div 9}{-45 \div 9} = \frac{8}{-5} = -\frac{8}{5}

📌 تبسيط جميع عناصر E

\(-5\) (عدد صحيح)
\(\frac{7}{3}\) (كسر نسبي)
\(0\) (عدد صحيح)
\(\frac{-21}{30} = \frac{-7}{10}\) (عشري)
\(\frac{-16}{-4} = 4\) (عدد صحيح)
\(\frac{126}{280} = \frac{9}{20}\) (عشري)
\(\frac{72}{-45} = -\frac{8}{5}\) (عشري)

\(E = \left\{-5; \frac{7}{3}; 0; -\frac{7}{10}; 4; \frac{9}{20}; -\frac{8}{5}\right\}\)

✏️ الحل 2: إكمال الرموز

أ) \(\left\{-5; -\frac{126}{280}; \frac{72}{-45}\right\} ....D_-\):

نبسط: \(\left\{-5; -\frac{9}{20}; -\frac{8}{5}\right\}\)

كل هذه الأعداد عشرية سالبة:

\left\{-5; -\frac{9}{20}; -\frac{8}{5}\right\} \subset \mathbb{D}_-

ب) \(E....Q^*\):

E تحتوي على 0، لكن \(\mathbb{Q}^*\) لا تحتوي على 0:

E \not\subset \mathbb{Q}^*

ج) \(\frac{21}{9}.....E\):

نبسط: \(\frac{21}{9} = \frac{7}{3}\)

\frac{21}{9} = \frac{7}{3} \in E

د) \(4.....E\):

لأن \(\frac{-16}{-4} = 4\):

4 \in E

✏️ الحل 3: تحديد المجموعات

أ) \(E \cup Q\):

E مجموعة جزئية من \(\mathbb{Q}\):

E \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}

ب) \(E \cap \mathbb{Z}\):

الأعداد الصحيحة في E:

E \cap \mathbb{Z} = \{-5; 0; 4\}

ج) \(N \cup \mathbb{Z}^*_-\):

إذا كان N يعني \(\mathbb{N}\) (الأعداد الطبيعية):

\mathbb{N} \cup \mathbb{Z}^*_- = \mathbb{Z}

لأن اتحاد الأعداد الطبيعية مع الأعداد الصحيحة السالبة يعطي كل الأعداد الصحيحة.

د) \(Q_+ \cap Q^*_-\):

تقاطع الأعداد النسبية الموجبة مع النسبية السالبة:

\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Q}^*_- = \emptyset

✏️ الحل 4: الأعداد العشرية الغير صحيحة

نبحث عن الأعداد العشرية التي ليست صحيحة:

\(-\frac{7}{10}\) عشري غير صحيح: \(-\frac{7}{10} = \frac{-7}{10^1}\) ✓
\(\frac{9}{20} = \frac{45}{100}\) عشري غير صحيح: \(\frac{9}{20} = \frac{45}{10^2}\) ✓
\(-\frac{8}{5} = -\frac{16}{10}\) عشري غير صحيح: \(-\frac{8}{5} = \frac{-16}{10^1}\) ✓
\(\frac{7}{3}\) ليس عشرياً ✗

الأعداد العشرية الغير صحيحة في E:

\(-\frac{7}{10} = \frac{-7}{10^1}\)
\(\frac{9}{20} = \frac{45}{10^2}\)
\(-\frac{8}{5} = \frac{-16}{10^1}\)

التمرين رقم 1 (إضافي)

نعتبر المجموعتين: \[A = \{-4; -3; 0; 11; 5; 6; 7\}\] \[B = \{-71; -33; -5; -4; -3; -20; -1; 0; 11; 2; 3\}\]

أوجد: \(A \cap B\) ؛ \(A \cup B\) ؛ \(A \cap \mathbb{Z}_+\) ؛ \(B \cap \mathbb{Z}_-\)

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 1 (إضافي)

✏️ الحل: عمليات المجموعات

1) \(A \cap B\) (التقاطع):

العناصر المشتركة بين A و B:

A \cap B = \{-4; -3; 0; 11\}

2) \(A \cup B\) (الاتحاد):

جميع العناصر الموجودة في A أو B (دون تكرار):

A \cup B = \{-71; -33; -20; -5; -4; -3; -1; 0; 2; 3; 5; 6; 7; 11\}

3) \(A \cap \mathbb{Z}_+\):

الأعداد الصحيحة الموجبة (تماماً) في A:

A \cap \mathbb{Z}_+ = \{5; 6; 7; 11\}

ملاحظة: \(\mathbb{Z}_+\) لا تشمل الصفر (الأعداد الموجبة تماماً)

4) \(B \cap \mathbb{Z}_-\):

الأعداد الصحيحة السالبة (تماماً) في B:

B \cap \mathbb{Z}_- = \{-71; -33; -20; -5; -4; -3; -1\}

التمرين رقم 2 (إضافي)

نعتبر المجموعات التالية: \[A = \left\{\frac{5}{6}; -\frac{3}{7}; 4; -3; \frac{1}{5}; 2\right\}\] \[B = \left\{-7; 5; \frac{5}{6}; 4; \frac{11}{5}; -6; -3; \frac{2}{10}; 2; \frac{-2}{13}; \frac{7}{9}\right\}\] \[C = \left\{\frac{4}{3}; 0; -\frac{2}{7}; \frac{13}{8}; -88\right\}\]

حدد المجموعات التالية:

\(A \cap B\) ؛ \(A \cap C\) ؛ \(B \cap C\) ؛ \(A \cap B \cap C\)

\(A \cup B\) ؛ \(A \cup C\) ؛ \(B \cup C\) ؛ \(A \cup B \cup C\)

\((A \cup B) \cap C\) ؛ \(A \cup (B \cap C)\)

🔷 التصحيح المفصل للتمرين 2 (إضافي)

📌 ملاحظة: تبسيط العناصر

في B: \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5}\)

✏️ الحل: التقاطعات

1) \(A \cap B\):

العناصر المشتركة:

A \cap B = \left\{\frac{5}{6}; 4; -3; 2\right\}

ملاحظة: \(\frac{1}{5} \in A\) و \(\frac{2}{10} = \frac{1}{5} \in B\)

A \cap B = \left\{\frac{5}{6}; 4; -3; \frac{1}{5}; 2\right\}

2) \(A \cap C\):

لا توجد عناصر مشتركة بين A و C:

A \cap C = \emptyset

3) \(B \cap C\):

لا توجد عناصر مشتركة:

B \cap C = \emptyset

4) \(A \cap B \cap C\):

A \cap B \cap C = \emptyset

✏️ الحل: الاتحادات

1) \(A \cup B\):

A \cup B = \left\{\frac{5}{6}; -\frac{3}{7}; 4; -3; \frac{1}{5}; 2; -7; 5; \frac{11}{5}; -6; \frac{-2}{13}; \frac{7}{9}\right\}

2) \(A \cup C\):

A \cup C = \left\{\frac{5}{6}; -\frac{3}{7}; 4; -3; \frac{1}{5}; 2; \frac{4}{3}; 0; -\frac{2}{7}; \frac{13}{8}; -88\right\}

3) \(B \cup C\):

B \cup C = \left\{-7; 5; \frac{5}{6}; 4; \frac{11}{5}; -6; -3; \frac{1}{5}; 2; \frac{-2}{13}; \frac{7}{9}; \frac{4}{3}; 0; -\frac{2}{7}; \frac{13}{8}; -88\right\}

4) \(A \cup B \cup C\):

جميع العناصر من المجموعات الثلاث:

A \cup B \cup C = \left\{-88; -7; -6; -3; -\frac{3}{7}; -\frac{2}{7}; \frac{-2}{13}; 0; \frac{1}{5}; 2; \frac{4}{3}; \frac{5}{6}; 4; 5; \frac{11}{5}; \frac{13}{8}; \frac{7}{9}\right\}

✏️ الحل: العمليات المركبة

1) \((A \cup B) \cap C\):

نحسب أولاً \(A \cup B\) ثم نتقاطع مع C:

بما أن \(A \cap C = \emptyset\) و \(B \cap C = \emptyset\):

(A \cup B) \cap C = \emptyset

2) \(A \cup (B \cap C)\):

نحسب أولاً \(B \cap C = \emptyset\):

A \cup (B \cap C) = A \cup \emptyset = A

A \cup (B \cap C) = \left\{\frac{5}{6}; -\frac{3}{7}; 4; -3; \frac{1}{5}; 2\right\}