🎯 سلسلة تمارين: المجموعات 🎯

الخطوة 1: حساب $A \cap B$ (التقاطع)

التقاطع يحتوي على العناصر المشتركة بين المجموعتين $A$ و $B$:

• نبحث عن العناصر الموجودة في $A$ والموجودة أيضاً في $B$:

- العنصر $-4$: موجود في $A$ وموجود في $B$ ✓

- العنصر $-3$: موجود في $A$ وموجود في $B$ ✓

- العنصر $0$: موجود في $A$ وموجود في $B$ ✓

- العنصر $11$: موجود في $A$ وموجود في $B$ ✓

- العنصر $5$: موجود في $A$ وغير موجود في $B$ ✗

- العنصر $6$: موجود في $A$ وغير موجود في $B$ ✗

- العنصر $7$: موجود في $A$ وغير موجود في $B$ ✗

الخطوة 2: حساب $A \cup B$ (الاتحاد)

الاتحاد يحتوي على جميع العناصر الموجودة في $A$ أو $B$ (بدون تكرار):

• نأخذ جميع عناصر $A$: $\{-4;-3;0;11;5;6;7\}$

• نضيف عناصر $B$ التي ليست في $A$:

من $B$: $-71, -33, -5, -20, -1, 2, 3$ (العناصر الجديدة)

• نرتب العناصر تصاعدياً:

الخطوة 3: حساب $A \cap \mathbb{Z}_+$

$\mathbb{Z}_+ = $ مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة (الأكبر قطعاً من الصفر): $\{1, 2, 3, 4, ...\}$

• نبحث في $A$ عن الأعداد الموجبة فقط $(> 0)$:

- العنصر $11$: موجب ✓

- العنصر $5$: موجب ✓

- العنصر $6$: موجب ✓

- العنصر $7$: موجب ✓

- باقي العناصر $(-4, -3, 0)$ ليست موجبة قطعاً

الخطوة 4: حساب $B \cap \mathbb{Z}_-$

$\mathbb{Z}_- = $ مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة (الأصغر قطعاً من الصفر): $\{..., -3, -2, -1\}$

• نبحث في $B$ عن الأعداد السالبة فقط $(< 0)$:

- العنصر $-71$: سالب ✓

- العنصر $-33$: سالب ✓

- العنصر $-5$: سالب ✓

- العنصر $-4$: سالب ✓

- العنصر $-3$: سالب ✓

- العنصر $-20$: سالب ✓

- العنصر $-1$: سالب ✓

- باقي العناصر $(0, 11, 2, 3)$ ليست سالبة

الخطوة 1: حساب $A \cap B$

نبحث عن العناصر المشتركة بين $A$ و $B$:

من $A$: $\frac{5}{6}, -\frac{3}{7}, 4, -3, \frac{1}{3}, 2$

من $B$: $-7, 5, \frac{11}{6}, 4, \frac{11}{5}, -6, -3, \frac{2}{10}, 2, -\frac{7}{13}, \frac{2}{9}$

العناصر المشتركة:

• $4$ موجود في $A$ و $B$ ✓

• $-3$ موجود في $A$ و $B$ ✓

• $2$ موجود في $A$ و $B$ ✓

الخطوة 2: حساب $A \cap C$

نبحث عن العناصر المشتركة بين $A$ و $C$:

من $A$: $\frac{5}{6}, -\frac{3}{7}, 4, -3, \frac{1}{3}, 2$

من $C$: $\frac{4}{3}, 0, -\frac{2}{7}, \frac{13}{8}, -88$

لا توجد عناصر مشتركة بين $A$ و $C$

الخطوة 3: حساب $B \cap C$

نبحث عن العناصر المشتركة بين $B$ و $C$:

من $B$: $-7, 5, \frac{11}{6}, 4, \frac{11}{5}, -6, -3, \frac{2}{10}, 2, -\frac{7}{13}, \frac{2}{9}$

من $C$: $\frac{4}{3}, 0, -\frac{2}{7}, \frac{13}{8}, -88$

لا توجد عناصر مشتركة بين $B$ و $C$

الخطوة 4: حساب $A \cap B \cap C$

التقاطع الثلاثي يحتوي على العناصر المشتركة بين المجموعات الثلاث:

بما أن $A \cap C = \emptyset$، فإن:

الخطوة 5: حساب $A \cup B$

الاتحاد يحتوي على جميع العناصر من $A$ و $B$ (بدون تكرار):

الخطوة 6: حساب $A \cup C$

الاتحاد يحتوي على جميع العناصر من $A$ و $C$:

الخطوة 7: حساب $B \cup C$

الاتحاد يحتوي على جميع العناصر من $B$ و $C$:

الخطوة 8: حساب $A \cup B \cup C$

الاتحاد الثلاثي يحتوي على جميع العناصر من المجموعات الثلاث:

الخطوة 9: حساب $(A \cup B) \cap C$

أولاً: نحسب $A \cup B$ (تم في الخطوة 5)

ثانياً: نبحث عن التقاطع مع $C$

بما أن لا توجد عناصر مشتركة بين $(A \cup B)$ و $C$:

الخطوة 10: حساب $A \cup (B \cap C)$

أولاً: نحسب $B \cap C = \emptyset$ (تم في الخطوة 3)

ثانياً: $A \cup \emptyset = A$

تبسيط عناصر E أولاً:

$E = \left\{-4;\frac{17}{9};6;-\frac{15}{3};8;0;-\frac{13}{20};\frac{8}{4}\right\}$

• $-\frac{15}{3} = -5$

• $\frac{8}{4} = 2$

الخطوة 1: حساب $E \cap \mathbb{N}$

$\mathbb{N} = $ مجموعة الأعداد الطبيعية: $\{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$

عناصر $E$ التي تنتمي إلى $\mathbb{N}$:

• $0$ ✓, $2$ ✓, $6$ ✓, $8$ ✓

الخطوة 2: حساب $E \cap \mathbb{Z}$

$\mathbb{Z} = $ مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية: $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$

عناصر $E$ التي تنتمي إلى $\mathbb{Z}$:

• $-4$ ✓, $-5$ ✓, $0$ ✓, $2$ ✓, $6$ ✓, $8$ ✓

الخطوة 3: حساب $E \cap \mathbb{Q}$

$\mathbb{Q} = $ مجموعة الأعداد الكسرية (جميع الكسور والأعداد الصحيحة)

جميع عناصر $E$ تنتمي إلى $\mathbb{Q}$:

الخطوة 4: حساب $E \cap \mathbb{Z}_-$

$\mathbb{Z}_- = $ مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة قطعاً: $\{..., -3, -2, -1\}$

عناصر $E$ التي هي صحيحة وسالبة:

• $-4$ ✓, $-5$ ✓

الخطوة 5: حساب $E \cap \mathbb{Q}_+$

$\mathbb{Q}_+ = $ مجموعة الأعداد الكسرية الموجبة قطعاً: $\{x \in \mathbb{Q} : x > 0\}$

عناصر $E$ الموجبة قطعاً:

• $\frac{17}{9}$ ✓, $2$ ✓, $6$ ✓, $8$ ✓

الخطوة 6: حساب $E \cap \mathbb{Q}_-$

$\mathbb{Q}_- = $ مجموعة الأعداد الكسرية السالبة قطعاً: $\{x \in \mathbb{Q} : x < 0\}$

عناصر $E$ السالبة قطعاً:

• $-4$ ✓, $-5$ ✓, $-\frac{13}{20}$ ✓

الخطوة 7: حساب $E \cap \mathbb{D}$

$\mathbb{D} = $ مجموعة الأعداد العشرية (الأعداد التي يمكن كتابتها بفاصلة عشرية منتهية)

• $-5 = -5{,}0$ ✓

• $-4 = -4{,}0$ ✓

• $-\frac{13}{20} = -0{,}65$ ✓

• $0 = 0{,}0$ ✓

• $\frac{17}{9} = 1{,}888...$ (غير منتهي) ✗

• $2 = 2{,}0$ ✓

• $6 = 6{,}0$ ✓

• $8 = 8{,}0$ ✓

الخطوة 8: حساب $E \cap \mathbb{D}_+$

$\mathbb{D}_+ = $ مجموعة الأعداد العشرية الموجبة قطعاً

عناصر $E$ التي هي عشرية وموجبة قطعاً:

• $2$ ✓, $6$ ✓, $8$ ✓

الخطوة 9: حساب $E \cap \mathbb{Z}_+$

$\mathbb{Z}_+ = $ مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة قطعاً: $\{1, 2, 3, ...\}$

عناصر $E$ التي هي صحيحة وموجبة قطعاً:

• $2$ ✓, $6$ ✓, $8$ ✓

الخطوة 10: حساب $E \cap \mathbb{D}_-$

$\mathbb{D}_- = $ مجموعة الأعداد العشرية السالبة قطعاً

عناصر $E$ التي هي عشرية وسالبة قطعاً:

• $-5$ ✓, $-4$ ✓, $-\frac{13}{20}$ ✓

تذكير بالمجموعات العددية:

• $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$ (الأعداد الطبيعية)

• $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ (الأعداد الصحيحة)

• $\mathbb{Z}_+ = \{1, 2, 3, ...\}$ (الأعداد الصحيحة الموجبة قطعاً)

• $\mathbb{Z}_- = \{..., -3, -2, -1\}$ (الأعداد الصحيحة السالبة قطعاً)

• $\mathbb{Q} = $ جميع الكسور (الأعداد الكسرية)

• $\mathbb{Q}_+ = $ الكسور الموجبة قطعاً

• $\mathbb{Q}_- = $ الكسور السالبة قطعاً

• $\mathbb{D} = $ الأعداد العشرية

• $\mathbb{D}_+ = $ الأعداد العشرية الموجبة قطعاً

• $\mathbb{D}_- = $ الأعداد العشرية السالبة قطعاً

التقاطعات:

لأن جميع الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة

لأن $\mathbb{N}$ لا يحتوي على أعداد سالبة

لأن $\mathbb{N}$ لا يحتوي على أعداد سالبة

لأن جميع الأعداد الطبيعية هي أعداد عشرية

لأن $\mathbb{Z}_-$ سالبة و $\mathbb{Q}_+$ موجبة

لأن جميع الأعداد العشرية الموجبة هي أعداد كسرية موجبة

الأعداد العشرية التي هي موجبة قطعاً

لأن جميع الأعداد الصحيحة السالبة هي أعداد كسرية سالبة

لأن جميع الأعداد الصحيحة الموجبة هي أعداد كسرية موجبة

لأن جميع الأعداد الصحيحة السالبة هي أعداد عشرية سالبة

لأن جميع الأعداد الطبيعية هي أعداد صحيحة

الاتحادات:

جميع الأعداد الكسرية ما عدا الصفر

لا يمكن تبسيطها أكثر

لأن $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$

لأن $\mathbb{Z}_+ \subset \mathbb{D}$

لأن $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$

لا يمكن تبسيطها أكثر

جميع الأعداد الصحيحة ما عدا الصفر

جميع الأعداد الصحيحة ما عدا الصفر

ملاحظة مهمة:

• الرمز $\in$ يعني "ينتمي إلى" ويستخدم بين عنصر ومجموعة

• الرمز $\notin$ يعني "لا ينتمي إلى"

• الرمز $\subset$ يعني "مجموعة جزئية من" ويستخدم بين مجموعتين

الحلول:

تبسيط عناصر A أولاً:

$A = \left\{-\frac{3}{2};0;-2;\left|-\frac{7}{6}\right|;\frac{6}{15};-\frac{3}{20};-\frac{12}{15};\frac{4}{3};-\frac{6}{15};-\frac{12}{-2}\right\}$

• $\left|-\frac{7}{6}\right| = \frac{7}{6}$

• $\frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

• $-\frac{12}{15} = -\frac{4}{5}$

• $-\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}$

• $-\frac{12}{-2} = 6$

بحذف المكرر:

السؤال 1: أكمل بأحد الرموز

• $-1{,}5$ ... $A$

$-1{,}5 = -\frac{15}{10} = -\frac{3}{2}$

$-\frac{3}{2} \in A$

• $\frac{7}{6}$ ... $A$

$\frac{7}{6}$ موجود في $A$

• $\left\{5;-2;\frac{4}{3}\right\}$ ... $A$

$5 \notin A$، لذا المجموعة ليست جزئية من $A$

• $\left\{6;-\frac{2}{15};\frac{8}{6}\right\}$ ... $A$

$\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

$-\frac{2}{15}$ ليس في $A$ (يوجد $-\frac{3}{20}$ لكن ليس $-\frac{2}{15}$)

• $\left\{\frac{7}{5};\frac{2}{3};-4\right\}$ ... $\mathbb{D}$

$\frac{7}{5} = 1{,}4 \in \mathbb{D}$ ✓

$\frac{2}{3} = 0{,}666... \notin \mathbb{D}$ (عشري غير منته) ✗

• $\left\{0,-\frac{3}{2};-\frac{5}{-7}\right\}$ ... $\mathbb{Q}$

$-\frac{5}{-7} = \frac{5}{7}$

جميع العناصر كسرية

• $\left\{\frac{21}{7};-3;\frac{5}{4}\right\}$ ... $\mathbb{D}$

$\frac{21}{7} = 3 \in \mathbb{D}$ ✓

$-3 \in \mathbb{D}$ ✓

$\frac{5}{4} = 1{,}25 \in \mathbb{D}$ ✓

السؤال 2: حدد المجموعات التالية

• $A \cap \mathbb{Z}$

العناصر الصحيحة في $A$:

$-2, 0, 6$

• $A \cap \mathbb{Q}_+$

العناصر الموجبة قطعاً في $A$:

$\frac{2}{5}, \frac{7}{6}, \frac{4}{3}, 6$

• $A \cap \mathbb{Q}$

جميع عناصر $A$ كسرية

• $\mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{D}$

$\mathbb{Z}_+ = \{1, 2, 3, ...\}$

جميع الأعداد الصحيحة الموجبة هي عشرية

• $\mathbb{D}_- \cup \mathbb{Q}$

$\mathbb{D}_- \subset \mathbb{Q}$

• $\mathbb{Z}_- \cup \mathbb{D}_+$

اتحاد الأعداد الصحيحة السالبة مع الأعداد العشرية الموجبة

السؤال 3: الأعداد العشرية من A

العناصر العشرية من $A$:

• $-\frac{3}{2} = -1{,}5 = -\frac{15}{10^1}$

• $-2 = -2{,}0 = -\frac{20}{10^1}$

• $\frac{2}{5} = 0{,}4 = \frac{4}{10^1}$

• $-\frac{4}{5} = -0{,}8 = -\frac{8}{10^1}$

• $-\frac{2}{5} = -0{,}4 = -\frac{4}{10^1}$

• $-\frac{3}{20} = -0{,}15 = -\frac{15}{10^2}$

• $0 = \frac{0}{10^1}$

• $6 = 6{,}0 = \frac{60}{10^1}$

العناصر غير العشرية:

• $\frac{7}{6} = 1{,}1666...$ (غير منته)

• $\frac{4}{3} = 1{,}3333...$ (غير منته)

السؤال 4: حدد المجموعات

• $E = \left\{x \in \mathbb{Q} : |x| = \frac{3}{2}\right\}$

نبحث عن الأعداد الكسرية التي قيمتها المطلقة $= \frac{3}{2}$

$|x| = \frac{3}{2} \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ أو $x = -\frac{3}{2}$

• $F = \left\{x \in A : |x| = -\frac{7}{6}\right\}$

القيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة

$|x| = -\frac{7}{6}$ مستحيل لأن $-\frac{7}{6} < 0$

• $G = \left\{x \in A : |-x| = \left|-\frac{6}{45}\right|\right\}$

$\left|-\frac{6}{45}\right| = \frac{6}{45} = \frac{2}{15}$

$|-x| = |x| = \frac{2}{15}$

نبحث في $A$ عن عنصر قيمته المطلقة $= \frac{2}{15}$

$\frac{2}{15}$ غير موجود في $A$ (يوجد $\frac{2}{5}$ و $-\frac{3}{20}$)

• $H = \{x \in A : |x| = -x\}$

$|x| = -x \Rightarrow x \leq 0$

العناصر السالبة أو المعدومة في $A$:

$-\frac{3}{2}, -2, -\frac{4}{5}, -\frac{2}{5}, -\frac{3}{20}, 0$

تبسيط عناصر A أولاً:

$A = \left\{-\frac{5}{2};\frac{75}{125};-\frac{3}{5};\frac{21}{280};\frac{99}{33};0;-1;\frac{5}{2};1\right\}$

• $\frac{75}{125} = \frac{3}{5}$

• $\frac{21}{280} = \frac{3}{40}$

• $\frac{99}{33} = 3$

السؤال 1: الترتيب التصاعدي

نحول إلى أعداد عشرية للمقارنة:

• $-\frac{5}{2} = -2{,}5$

• $-\frac{3}{5} = -0{,}6$

• $-1 = -1$

• $0 = 0$

• $\frac{3}{40} = 0{,}075$

• $\frac{3}{5} = 0{,}6$

• $1 = 1$

• $\frac{5}{2} = 2{,}5$

• $3 = 3$

السؤال 2: حدد المجموعات

• $A \cap \mathbb{Q}^*$

$\mathbb{Q}^* = $ جميع الأعداد الكسرية ما عدا الصفر

عناصر $A$ ما عدا $0$:

• $A \cap \mathbb{Z}$

العناصر الصحيحة في $A$:

$-1, 0, 1, 3$

• $A \cap \mathbb{D}$

نتحقق أي عنصر عشري:

• $-\frac{5}{2} = -2{,}5$ ✓

• $\frac{3}{5} = 0{,}6$ ✓

• $-\frac{3}{5} = -0{,}6$ ✓

• $\frac{3}{40} = 0{,}075$ ✓

• $3 = 3{,}0$ ✓

• $0 = 0{,}0$ ✓

• $-1 = -1{,}0$ ✓

• $\frac{5}{2} = 2{,}5$ ✓

• $1 = 1{,}0$ ✓

• $A \cap \mathbb{N}$

العناصر الطبيعية في $A$:

$0, 1, 3$

السؤال 5: حدد المجموعات

• $E = \{x \in A : |x| = 1\}$

نبحث عن عناصر $A$ التي قيمتها المطلقة $= 1$:

$|1| = 1$ ✓

$|-1| = 1$ ✓

• $F = \left\{x \in A : |x| = \frac{3}{5}\right\}$

نبحث عن عناصر $A$ التي قيمتها المطلقة $= \frac{3}{5}$:

$\left|\frac{3}{5}\right| = \frac{3}{5}$ ✓

$\left|-\frac{3}{5}\right| = \frac{3}{5}$ ✓

• $G = \left\{x \in A : -\frac{3}{2} < |x| < \frac{3}{2}\right\}$

$-\frac{3}{2} = -1{,}5$ و $\frac{3}{2} = 1{,}5$

نبحث عن $x$ حيث $0 \leq |x| < 1{,}5$:

• $|0| = 0 < 1{,}5$ ✓

• $\left|\frac{3}{40}\right| = 0{,}075 < 1{,}5$ ✓

• $\left|\frac{3}{5}\right| = 0{,}6 < 1{,}5$ ✓

• $\left|-\frac{3}{5}\right| = 0{,}6 < 1{,}5$ ✓

• $|1| = 1 < 1{,}5$ ✓

• $|-1| = 1 < 1{,}5$ ✓

• $H = \{x \in \mathbb{Q} : |x| = x\}$

$|x| = x \Rightarrow x \geq 0$

• $H = \left\{x \in \mathbb{Q}_+ : |x| = \left|-\frac{7}{5}\right|\right\}$

$\left|-\frac{7}{5}\right| = \frac{7}{5}$

نبحث في $\mathbb{Q}_+$ عن $x$ حيث $|x| = \frac{7}{5}$

بما أن $x \in \mathbb{Q}_+$ فإن $x > 0$، إذن $|x| = x$

$x = \frac{7}{5}$

• $L = \left\{x \in \mathbb{D} : |x| = \frac{7}{6}\right\}$

$\frac{7}{6} = 1{,}1666...$ (عشري غير منته)

لا يوجد عدد عشري قيمته المطلقة $= \frac{7}{6}$