المجموعة A:
$$A = \left\{x \in \mathbb{Q} ; |x| = \frac{13}{5}\right\}$$
بما أن $\frac{13}{5} > 0$، فإن:
$$x = \frac{13}{5} \quad \text{أو} \quad x = -\frac{13}{5}$$
$$A = \left\{-\frac{13}{5}, \frac{13}{5}\right\}$$

المجموعة B:
$$B = \left\{x \in \mathbb{Q} ; |x| = \frac{2}{3}\right\}$$
بما أن $\frac{2}{3} > 0$، فإن:
$$x = \frac{2}{3} \quad \text{أو} \quad x = -\frac{2}{3}$$
$$B = \left\{-\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right\}$$

المجموعة C:
$$C = \{x \in \mathbb{N} ; |x| \approx 7.4\}$$
نبحث عن أعداد طبيعية قيمتها المطلقة تقارب 7.4
الأعداد الطبيعية دائماً موجبة أو معدومة، إذن $|x| = x$
الأعداد الطبيعية القريبة من 7.4 هي: 7 و 8
$$C = \{7, 8\}$$

المجموعة D:
$$D = \left\{x \in \mathbb{Q} ; |x| = \frac{-5}{6}\right\}$$
بما أن $\frac{-5}{6} < 0$، والقيمة المطلقة دائماً موجبة أو معدومة
$$D = \emptyset \quad \text{(المجموعة الخالية)}$$

المجموعة E:
$$E = \left\{x \in \mathbb{Q} ; |x| = \frac{3}{15}\right\}$$
نبسط: $\frac{3}{15} = \frac{1}{5}$
$$x = \frac{1}{5} \quad \text{أو} \quad x = -\frac{1}{5}$$
$$E = \left\{-\frac{1}{5}, \frac{1}{5}\right\}$$

المجموعة F:
$$F = \left\{x \in \mathbb{Z} ; |x| \leq \frac{35}{2}\right\}$$
$\frac{35}{2} = 17.5$
نبحث عن أعداد صحيحة قيمتها المطلقة أصغر أو تساوي 17.5
$$|x| \leq 17.5 \Rightarrow -17.5 \leq x \leq 17.5$$
الأعداد الصحيحة في هذا المجال:
$$F = \{-17, -16, ..., -1, 0, 1, ..., 16, 17\}$$

المجموعة G:
$$G = \left\{x \in \mathbb{N} ; |x| = \frac{36}{6}\right\}$$
$\frac{36}{6} = 6$
بما أن $x \in \mathbb{N}$، فإن $|x| = x$
$$x = 6$$
$$G = \{6\}$$

المجموعة H:
$$H = \left\{x \in ID ; |x| = \frac{13}{5}\right\}$$
$\frac{13}{5} = 2.6$ (عدد عشري)
$$x = 2.6 \quad \text{أو} \quad x = -2.6$$
$$H = \{-2.6, 2.6\}$$

المجموعة I:
$$I = \left\{x \in ID ; |x| = \frac{3}{11}\right\}$$
$\frac{3}{11} = 0.272727...$ (ليس عدداً عشرياً)
$$I = \emptyset$$

المجموعة J:
$$J = \left\{x \in ID ; |x| = \frac{-23}{5}\right\}$$
بما أن $\frac{-23}{5} < 0$
$$J = \emptyset$$

المجموعة K:
$$K = \{x \in \mathbb{Q} ; |x| = x\}$$
العدد الذي قيمته المطلقة تساوي نفسه هو عدد موجب أو معدوم
$$K = \mathbb{Q}_+ = \{x \in \mathbb{Q} ; x \geq 0\}$$

المجموعة L:
$$L = \{x \in \mathbb{Q} ; |x| = -x\}$$
العدد الذي قيمته المطلقة تساوي معكوسه هو عدد سالب أو معدوم
$$L = \mathbb{Q}_- = \{x \in \mathbb{Q} ; x \leq 0\}$$

$$A = \left\{x \in \mathbb{Q} ; |x| < \frac{3}{4}\right\}$$
يعني: كل الأعداد النسبية التي قيمتها المطلقة أصغر قطعياً من $\frac{3}{4} = 0.75$
أي: $-\frac{3}{4} < x < \frac{3}{4}$
أو: $-0.75 < x < 0.75$

• $\frac{3}{2}$:
$\frac{3}{2} = 1.5$
$\left|\frac{3}{2}\right| = 1.5 > 0.75$
إذن: $\frac{3}{2} \notin A$ ✓

• $\frac{-3}{2}$:
$\frac{-3}{2} = -1.5$
$\left|\frac{-3}{2}\right| = 1.5 > 0.75$
إذن: $\frac{-3}{2} \notin A$ ✓

• $\frac{-7}{3}$:
$\frac{-7}{3} = -2.333...$
$\left|\frac{-7}{3}\right| = 2.333... > 0.75$
إذن: $\frac{-7}{3} \notin A$ ✓

• $\frac{13}{4}$:
$\frac{13}{4} = 3.25$
$\left|\frac{13}{4}\right| = 3.25 > 0.75$
إذن: $\frac{13}{4} \notin A$ ✓

• $\frac{-13}{4}$:
$\frac{-13}{4} = -3.25$
$\left|\frac{-13}{4}\right| = 3.25 > 0.75$
إذن: $\frac{-13}{4} \notin A$ ✓

أعداد تنتمي لـ A:
• $\frac{1}{2} \in A$ (لأن $\left|\frac{1}{2}\right| = 0.5 < 0.75$)

• $\frac{-1}{3} \in A$ (لأن $\left|\frac{-1}{3}\right| = 0.333... < 0.75$)

• $0 \in A$ (لأن $|0| = 0 < 0.75$)

أعداد لا تنتمي لـ A:
• $1 \notin A$ (لأن $|1| = 1 > 0.75$)

• $\frac{-5}{4} \notin A$ (لأن $\left|\frac{-5}{4}\right| = 1.25 > 0.75$)

• $2 \notin A$ (لأن $|2| = 2 > 0.75$)

حساب الفواصل:

• فاصلة A: $x_A = 2$
• فاصلة B: $x_B = 3$
• فاصلة C: $x_C = \frac{12}{5} = 2.4$
• فاصلة D: $x_D = \frac{-19}{4} = -4.75$

• البعد OA:
فاصلة O: $x_O = 0$
فاصلة A: $x_A = 2$
$$OA = |x_A - x_O| = |2 - 0| = |2| = 2$$

• البعد OB:
فاصلة B: $x_B = 3$
$$OB = |x_B - x_O| = |3 - 0| = |3| = 3$$

• البعد OC:
فاصلة C: $x_C = \frac{12}{5} = 2.4$
$$OC = |x_C - x_O| = \left|\frac{12}{5} - 0\right| = \left|\frac{12}{5}\right| = \frac{12}{5}$$
أو بالكتابة العشرية: $OC = 2.4$

• البعد OD:
فاصلة D: $x_D = \frac{-19}{4} = -4.75$
$$OD = |x_D - x_O| = \left|\frac{-19}{4} - 0\right| = \left|\frac{-19}{4}\right| = \frac{19}{4}$$
أو بالكتابة العشرية: $OD = 4.75$

• البعد AB:
فاصلة A: $x_A = 2$
فاصلة B: $x_B = 3$
$$AB = |x_B - x_A| = |3 - 2| = |1| = 1$$

• البعد CD:
فاصلة C: $x_C = \frac{12}{5}$
فاصلة D: $x_D = \frac{-19}{4}$
$$CD = |x_D - x_C| = \left|\frac{-19}{4} - \frac{12}{5}\right|$$
نوحّد المقامات: المقام المشترك هو 20
$$\frac{-19}{4} = \frac{-19 \times 5}{4 \times 5} = \frac{-95}{20}$$
$$\frac{12}{5} = \frac{12 \times 4}{5 \times 4} = \frac{48}{20}$$
$$CD = \left|\frac{-95}{20} - \frac{48}{20}\right| = \left|\frac{-95-48}{20}\right| = \left|\frac{-143}{20}\right| = \frac{143}{20}$$
أو بالكتابة العشرية: $CD = 7.15$

حساب $A \cap B$:
نبحث عن العناصر المشتركة بين A و B
$A = \{-4; -3; 0; 11; 5; 6; 7\}$
$B = \{-71; -33; -5; -4; -3; -20; -1; 0; 11; 2; 3\}$

العناصر المشتركة: $-4, -3, 0, 11$
$$A \cap B = \{-4; -3; 0; 11\}$$

حساب $A \cup B$:
نجمع كل العناصر من A و B بدون تكرار
$$A \cup B = \{-71; -33; -20; -5; -4; -3; -1; 0; 2; 3; 5; 6; 7; 11\}$$

حساب $A \cap \mathbb{Z}_+$:
نبحث عن عناصر A التي هي أعداد صحيحة موجبة أو معدومة
من $A = \{-4; -3; 0; 11; 5; 6; 7\}$
العناصر الموجبة أو المعدومة: $0, 5, 6, 7, 11$
$$A \cap \mathbb{Z}_+ = \{0; 5; 6; 7; 11\}$$

حساب $B \cap \mathbb{Z}_-$:
نبحث عن عناصر B التي هي أعداد صحيحة سالبة أو معدومة
من $B = \{-71; -33; -5; -4; -3; -20; -1; 0; 11; 2; 3\}$
العناصر السالبة أو المعدومة: $-71, -33, -20, -5, -4, -3, -1, 0$
$$B \cap \mathbb{Z}_- = \{-71; -33; -20; -5; -4; -3; -1; 0\}$$

$A = \left\{\frac{5}{6}; -\frac{3}{7}; 4; -3; \frac{1}{5}; 2\right\}$
$B = \left\{-7; 5; \frac{1}{6}; 4; \frac{11}{5}; -6; -3; \frac{2}{10}; 2; -\frac{7}{13}; \frac{2}{9}\right\}$
$C = \left\{\frac{4}{3}; 0; -\frac{2}{7}; \frac{13}{8}; -88\right\}$

$A \cap B$:
العناصر المشتركة بين A و B: $4, -3, 2$
$$A \cap B = \{-3; 2; 4\}$$

$A \cap C$:
لا توجد عناصر مشتركة بين A و C
$$A \cap C = \emptyset$$

$B \cap C$:
لا توجد عناصر مشتركة بين B و C
$$B \cap C = \emptyset$$

$A \cap B \cap C$:
بما أن $A \cap C = \emptyset$
$$A \cap B \cap C = \emptyset$$

$A \cup B$:
$$A \cup B = \left\{-7; -6; -3; -\frac{7}{13}; -\frac{3}{7}; \frac{1}{6}; \frac{1}{5}; \frac{2}{10}; \frac{2}{9}; \frac{5}{6}; \frac{11}{5}; 2; 4; 5\right\}$$

$A \cup C$:
$$A \cup C = \left\{-88; -3; -\frac{3}{7}; -\frac{2}{7}; 0; \frac{1}{5}; \frac{5}{6}; \frac{4}{3}; \frac{13}{8}; 2; 4\right\}$$

$B \cup C$:
$$B \cup C = \left\{-88; -7; -6; -3; -\frac{7}{13}; -\frac{2}{7}; 0; \frac{1}{6}; \frac{2}{10}; \frac{2}{9}; \frac{4}{3}; \frac{13}{8}; \frac{11}{5}; 2; 4; 5\right\}$$

$A \cup B \cup C$:
$$A \cup B \cup C = \left\{-88; -7; -6; -3; -\frac{7}{13}; -\frac{3}{7}; -\frac{2}{7}; 0; \frac{1}{6}; \frac{1}{5}; \frac{2}{10}; \frac{2}{9}; \frac{5}{6}; \frac{4}{3}; \frac{13}{8}; \frac{11}{5}; 2; 4; 5\right\}$$

$(A \cup B) \cap C$:
نحسب أولاً $A \cup B$ (تم حسابه أعلاه)
ثم نأخذ تقاطعه مع C
لا توجد عناصر مشتركة بين $(A \cup B)$ و $C$
$$(A \cup B) \cap C = \emptyset$$

$A \cup (B \cap C)$:
نحسب أولاً $B \cap C = \emptyset$
ثم $A \cup \emptyset = A$
$$A \cup (B \cap C) = A = \left\{\frac{5}{6}; -\frac{3}{7}; 4; -3; \frac{1}{5}; 2\right\}$$

$E = \left\{-4; \frac{17}{9}; 6; -\frac{15}{3}; 8; 0; -\frac{13}{20}; \frac{8}{4}\right\}$

• $-4 = -4$
• $\frac{17}{9} = 1.888...$ (عدد نسبي غير عشري)
• $6 = 6$
• $-\frac{15}{3} = -5$
• $8 = 8$
• $0 = 0$
• $-\frac{13}{20} = -0.65$ (عدد عشري)
• $\frac{8}{4} = 2$

$$E = \left\{-5; -4; -0.65; 0; \frac{17}{9}; 2; 6; 8\right\}$$

$E \cap \mathbb{N}$ (الأعداد الطبيعية):
العناصر من E التي هي أعداد طبيعية: $0, 2, 6, 8$
$$E \cap \mathbb{N} = \{0; 2; 6; 8\}$$

$E \cap \mathbb{Z}$ (الأعداد الصحيحة):
العناصر من E التي هي أعداد صحيحة: $-5, -4, 0, 2, 6, 8$
$$E \cap \mathbb{Z} = \{-5; -4; 0; 2; 6; 8\}$$

$E \cap \mathbb{Q}$ (الأعداد النسبية):
كل عناصر E أعداد نسبية
$$E \cap \mathbb{Q} = E = \left\{-5; -4; -0.65; 0; \frac{17}{9}; 2; 6; 8\right\}$$

$E \cap \mathbb{Z}_-$ (الأعداد الصحيحة السالبة أو المعدومة):
العناصر: $-5, -4, 0$
$$E \cap \mathbb{Z}_- = \{-5; -4; 0\}$$

$E \cap \mathbb{Q}_+$ (الأعداد النسبية الموجبة أو المعدومة):
العناصر: $0, \frac{17}{9}, 2, 6, 8$
$$E \cap \mathbb{Q}_+ = \left\{0; \frac{17}{9}; 2; 6; 8\right\}$$

$E \cap \mathbb{Q}_-$ (الأعداد النسبية السالبة أو المعدومة):
العناصر: $-5, -4, -0.65, 0$
$$E \cap \mathbb{Q}_- = \{-5; -4; -0.65; 0\}$$

$E \cap ID$ (الأعداد العشرية):
العناصر العشرية: $-5, -4, -0.65, 0, 2, 6, 8$
(ملاحظة: $\frac{17}{9}$ ليس عشرياً)
$$E \cap ID = \{-5; -4; -0.65; 0; 2; 6; 8\}$$

$E \cap ID_+$ (الأعداد العشرية الموجبة أو المعدومة):
العناصر: $0, 2, 6, 8$
$$E \cap ID_+ = \{0; 2; 6; 8\}$$

$E \cap \mathbb{Z}_+$ (الأعداد الصحيحة الموجبة أو المعدومة):
العناصر: $0, 2, 6, 8$
$$E \cap \mathbb{Z}_+ = \{0; 2; 6; 8\}$$

$E \cap ID_-$ (الأعداد العشرية السالبة أو المعدومة):
العناصر: $-5, -4, -0.65, 0$
$$E \cap ID_- = \{-5; -4; -0.65; 0\}$$