تمارين الأعداد والمجموعات

تمرين عدد 1
1 حدّد الأعداد العشرة النسبية من بين الأعداد المكسورة واكتبها في صيغة $\frac{a}{10^n}$ حيث $a \in \mathbb{Z}$ و $n \in \mathbb{N}$
$$\frac{-161}{7 \times 10^3} \quad ; \quad \frac{-14}{-6} \quad ; \quad \frac{27}{75}$$
2 أكمل ب $\in$ أو $\notin$ أو $\subset$ أو $\not\subset$:
$$\frac{51}{3} ....... \mathbb{Z} \quad \text{و} \quad (-2,4) ...... ID \quad \text{و} \quad \left\{\frac{-3}{-25} \; ; \; \frac{2}{3}\right\} ....... \mathbb{Q}_+ \quad \text{و} \quad \mathbb{Q}_+ ....... \mathbb{N}^*$$
3 أوجد المجموعات التالية:
$$ID^* \cup ID_+ = ................. \quad \mathbb{N} \cap \mathbb{Q}^*_- = ............. \quad \mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Z} = ...................$$ $$\left\{\frac{-4}{3} \; ; \; 0 \; ; \; -(-5) \; ; \; \frac{7}{20}\right\} \cap ID = ........................................$$
✓ التصحيح التفصيلي

السؤال 1: تحديد الأعداد العشرية النسبية

العدد العشري النسبي هو عدد يمكن كتابته على صيغة $\frac{a}{10^n}$ حيث $a \in \mathbb{Z}$ و $n \in \mathbb{N}$

• العدد الأول: $\frac{-161}{7 \times 10^3}$
المقام يحتوي على 7 وليس فقط قوة للعدد 10
إذن ليس عدداً عشرياً
• العدد الثاني: $\frac{-14}{-6} = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$
المقام 3 لا يمكن كتابته كقوة للعدد 10
إذن ليس عدداً عشرياً
• العدد الثالث: $\frac{27}{75}$
نبسط الكسر: $\frac{27}{75} = \frac{27 \div 3}{75 \div 3} = \frac{9}{25}$
$25 = 5^2$ وليس قوة للعدد 10
إذن ليس عدداً عشرياً
ملاحظة مهمة: لكي يكون الكسر عشرياً، يجب أن يكون المقام (بعد التبسيط) قوة للعدد 10، أي: 1، 10، 100، 1000، ...

النتيجة: لا يوجد أي عدد عشري نسبي من بين الأعداد المعطاة

السؤال 2: إكمال الرموز

$\frac{51}{3} = 17 \in \mathbb{Z}$ ✓
(لأن 17 عدد صحيح)
$(-2, 4) \not\subset ID$
(الفترة المفتوحة تحتوي على أعداد غير نسبية مثل $\pi - 6 = -2.858...$)
$\left\{\frac{-3}{-25} ; \frac{2}{3}\right\} = \left\{\frac{3}{25} ; \frac{2}{3}\right\} \subset \mathbb{Q}_+$ ✓
(كل عناصر المجموعة أعداد نسبية موجبة)
$\mathbb{Q}_+ \not\subset \mathbb{N}^*$
(لأن $\mathbb{Q}_+$ تحتوي على كسور مثل $\frac{1}{2}$ التي لا تنتمي لـ $\mathbb{N}^*$)

السؤال 3: إيجاد المجموعات

$ID^* \cup ID_+ = ID^*$
(لأن $ID_+ \subset ID^*$ والاتحاد يعطي المجموعة الأكبر)
$\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}^*_- = \emptyset$
(لا يوجد عدد طبيعي سالب)
$\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Z} = \mathbb{N}$
(الأعداد التي هي نسبية موجبة وصحيحة في نفس الوقت هي الأعداد الطبيعية)
$\left\{\frac{-4}{3} ; 0 ; -(-5) ; \frac{7}{20}\right\} \cap ID$
$= \left\{\frac{-4}{3} ; 0 ; 5 ; \frac{7}{20}\right\} \cap ID$
$= \left\{0 ; 5 ; \frac{7}{20}\right\}$
(لأن $\frac{7}{20} = \frac{35}{100} = 0.35$ عدد عشري، بينما $\frac{-4}{3}$ ليس عشرياً)
تمرين عدد 2
بيّن أن العدد $-520$ هو كسري عشري و اكتبه على شكل $\frac{a}{10^n}$ حيث $a \in \mathbb{Z}$ و $n \in \mathbb{N}$
أكمل ب $\in$ أو $\notin$ أو $\subset$ أو $\not\subset$:
$$\frac{72}{24} ...... ID \quad , \quad \frac{50078938}{8} ....... \mathbb{N} \quad , \quad \frac{-2135}{4} ...... \mathbb{Z}$$ $$\frac{247350}{25} ...... \mathbb{N} \quad , \quad \left\{\frac{-91}{520} ; \frac{2136}{-4} ; \frac{-72}{24}\right\} ...... ID \quad , \quad \mathbb{Z} ...... ID$$
حدد عناصر المجموعات التالية:
$$\mathbb{Q}_- \cap \mathbb{Q}^*_+ = ...... \quad \quad \mathbb{Z} \cap \mathbb{Q} = ........$$
✓ التصحيح التفصيلي

إثبات أن -520 عدد عشري:

العدد $-520$ هو عدد صحيح، وكل عدد صحيح يمكن كتابته على شكل:
$$-520 = \frac{-520}{1} = \frac{-520}{10^0}$$
حيث $a = -520 \in \mathbb{Z}$ و $n = 0 \in \mathbb{N}$
ملاحظة: كل عدد صحيح هو عدد عشري نسبي لأنه يمكن كتابته على صيغة $\frac{a}{10^0} = \frac{a}{1}$

إكمال الرموز:

$\frac{72}{24} = 3 \in ID$ ✓
(لأن 3 عدد صحيح وبالتالي عشري)
$\frac{50078938}{8} = 6259867.25$
هذا عدد عشري ولكنه ليس عدداً طبيعياً
$\frac{50078938}{8} \notin \mathbb{N}$
$\frac{-2135}{4} = -533.75 \in \mathbb{Z}$... خطأ!
الناتج عدد عشري سالب وليس صحيحاً
$\frac{-2135}{4} \notin \mathbb{Z}$ ✓
$\frac{247350}{25} = 9894 \in \mathbb{N}$ ✓
(الناتج عدد طبيعي)
نفحص المجموعة: $\left\{\frac{-91}{520} ; \frac{2136}{-4} ; \frac{-72}{24}\right\}$

• $\frac{-91}{520}$ : المقام $520 = 8 \times 65 = 8 \times 5 \times 13$
يحتوي على العامل 13، إذن ليس عشرياً

• $\frac{2136}{-4} = -534$ عدد صحيح وبالتالي عشري

• $\frac{-72}{24} = -3$ عدد صحيح وبالتالي عشري

المجموعة تحتوي على عدد غير عشري
$\left\{\frac{-91}{520} ; \frac{2136}{-4} ; \frac{-72}{24}\right\} \not\subset ID$
$\mathbb{Z} \subset ID$ ✓
(كل الأعداد الصحيحة هي أعداد عشرية)

تحديد عناصر المجموعات:

$\mathbb{Q}_- \cap \mathbb{Q}^*_+ = \emptyset$
(لا يوجد عدد نسبي سالب وموجب في نفس الوقت)
($\mathbb{Q}_-$ تحتوي على الأعداد النسبية السالبة أو الصفر)
($\mathbb{Q}^*_+$ تحتوي على الأعداد النسبية الموجبة القطعية)
$\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q} = \mathbb{Z}$
(كل الأعداد الصحيحة هي أعداد نسبية، فالتقاطع يعطي $\mathbb{Z}$)
تمرين عدد 3
لتكن المجموعة $A$ التالية: $$A = \left\{-\frac{18}{8} ; 0 ; -3,14 ; \frac{51}{3} ; -\frac{21}{-7} ; \frac{49}{-14} ; (-1)\right\}$$
1 أكمل ب $\in$ أو $\notin$ أو $\subset$ أو $\not\subset$:
$$\frac{51}{3} ....... IN \quad \quad -\frac{21}{-7} ......... \mathbb{Z}_+ \quad \quad \frac{49}{-14} .......... \mathbb{Z}_- \quad \quad \frac{49}{-14} ......... ID$$ $$A............. \mathbb{Q} \quad \quad A............. \mathbb{Z} \quad \quad A.............. ID$$
2 حدد المجموعات التالية:
$$\mathbb{Q}^*_+ \cap \mathbb{Q}_- = ........ \quad \quad \mathbb{Q}^*_- \cup \mathbb{Q}_+ = ........ \quad \quad A \cap \mathbb{Q} = ...............$$
✓ التصحيح التفصيلي

أولاً: نبسط عناصر المجموعة A:

• $-\frac{18}{8} = -\frac{9}{4} = -2.25$
• $0 = 0$
• $-3,14 = -3.14$
• $\frac{51}{3} = 17$
• $-\frac{21}{-7} = \frac{21}{7} = 3$
• $\frac{49}{-14} = -\frac{49}{14} = -\frac{7}{2} = -3.5$
• $(-1) = -1$
إذن: $A = \{-2.25 ; 0 ; -3.14 ; 17 ; 3 ; -3.5 ; -1\}$

السؤال 1: إكمال الرموز

$\frac{51}{3} = 17 \in \mathbb{N}$ ✓
(17 عدد طبيعي)
$-\frac{21}{-7} = 3 \in \mathbb{Z}_+$ ✓
(3 عدد صحيح موجب)
$\frac{49}{-14} = -3.5 \notin \mathbb{Z}_-$
(ليس عدداً صحيحاً، بل عدد عشري)
$\frac{49}{-14} = -\frac{7}{2} = -\frac{35}{10} = \frac{-35}{10^1} \in ID$ ✓
(عدد عشري نسبي)
$A \subset \mathbb{Q}$ ✓
(كل عناصر A أعداد نسبية)
$A \not\subset \mathbb{Z}$
(لأن A تحتوي على أعداد غير صحيحة مثل $-2.25$ و $-3.14$)
$A \not\subset ID$
(لأن $-3.14$ ليس عدداً عشرياً نسبياً، بل عدد نسبي فقط)
تنبيه: العدد $-3.14$ هو تقريب للعدد ويُعتبر نسبياً ($\frac{-314}{100}$) لكن إذا كان المقصود $-\pi \approx -3.14159...$ فهو ليس نسبياً. في سياق التمرين، نعتبره $-3.14$ بالضبط.

السؤال 2: تحديد المجموعات

$\mathbb{Q}^*_+ \cap \mathbb{Q}_- = \emptyset$
(مجموعة الأعداد النسبية الموجبة القطعية والأعداد النسبية السالبة أو المعدومة لا تشترك في أي عنصر)
$\mathbb{Q}^*_- \cup \mathbb{Q}_+ = \mathbb{Q}^* \cup \{0\} = \mathbb{Q}$
أو يمكن القول: $\mathbb{Q}^*_- \cup \mathbb{Q}_+ = \mathbb{Q} \setminus \{0\} \cup \mathbb{Q}_+ = \mathbb{Q}$
(لأن $\mathbb{Q}_-^*$ تحتوي على كل الأعداد النسبية السالبة القطعية)
(و$\mathbb{Q}_+$ تحتوي على كل الأعداد النسبية الموجبة والصفر)
(اتحادهما يعطي كل الأعداد النسبية)

ملاحظة دقيقة:
بما أن $\mathbb{Q}_- = \mathbb{Q}^*_- \cup \{0\}$
فإن: $\mathbb{Q}^*_- \cup \mathbb{Q}_+ = \mathbb{Q}$
$A \cap \mathbb{Q} = A$
(لأن كل عناصر A هي أعداد نسبية، فالتقاطع يعطي A نفسها)
خلاصة المجموعات العددية:
• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset ID \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$
• $\mathbb{Q}_+ = $ الأعداد النسبية الموجبة أو المعدومة
• $\mathbb{Q}^*_+ = $ الأعداد النسبية الموجبة القطعية (بدون الصفر)
• $\mathbb{Q}_- = $ الأعداد النسبية السالبة أو المعدومة
• $\mathbb{Q}^*_- = $ الأعداد النسبية السالبة القطعية (بدون الصفر)
تمرين عدد 4
هذا التمرين غير مكتمل في الصورة المقدمة
✓ ملاحظة

التمرين عدد 4 غير ظاهر بشكل كامل في الصورة المرفقة.

يرجى تقديم صورة كاملة للتمرين حتى يمكن إضافة التصحيح التفصيلي.