📚 تمارين: الأعداد الكسرية والمجموعات العددية

• الكسر الأول: $\dfrac{-161}{7 \times 10^3}$
المقام يحتوي على العامل $7$، وهو عدد أولي غير $2$ و $5$
إذن ليس عشرياً ✗

• الكسر الثاني: $\dfrac{-14}{-6} = \dfrac{14}{6}$
نبسط: $\text{PGCD}(14, 6) = 2$
$\dfrac{14}{6} = \dfrac{14 \div 2}{6 \div 2} = \dfrac{7}{3}$
المقام $3$ ليس من الشكل $2^n \times 5^m$
إذن ليس عشرياً ✗

• الكسر الثالث: $\dfrac{27}{75}$
نبسط: $\text{PGCD}(27, 75) = 3$
$\dfrac{27}{75} = \dfrac{27 \div 3}{75 \div 3} = \dfrac{9}{25}$
نحلل المقام: $25 = 5^2$
المقام يحتوي فقط على العامل $5$، إذن عشري ✓

نكتبه على الصيغة المطلوبة:
$\dfrac{9}{25} = \dfrac{9}{5^2} = \dfrac{9 \times 4}{5^2 \times 4} = \dfrac{36}{100} = \dfrac{36}{10^2}$

• $\dfrac{51}{3} = 17 \in \mathbb{Z}$ لأن $17$ عدد صحيح
إذن: $\dfrac{51}{3}$ $\in$ $\mathbb{Z}$

• $(-2,4)$ مجال وليس عدداً، ولا يمكن مقارنته بمجموعة أعداد
إذن: $(-2,4)$ $\not\subset$ $\mathbb{D}$

• $\dfrac{-3}{-25} = \dfrac{3}{25} > 0$ و $\dfrac{2}{3} > 0$
المجموعة $\left\{\dfrac{3}{25} \;;\; \dfrac{2}{3}\right\}$ تحتوي فقط على أعداد موجبة
و $\mathbb{Q}_+$ يحتوي على جميع الأعداد الكسرية الموجبة
إذن: $\left\{\dfrac{-3}{-25} \;;\; \dfrac{2}{3}\right\}$ $\subset$ $\mathbb{Q}_+$

• $\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, ...\}$ و $\mathbb{Q}_+$ يحتوي على جميع الأعداد الكسرية الموجبة
كل عدد طبيعي غير معدوم هو عدد كسري موجب
إذن: $\mathbb{N}^*$ $\subset$ $\mathbb{Q}_+$

• $\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Z} = $ $\mathbb{N}$
(الأعداد الكسرية الموجبة التي هي صحيحة = الأعداد الطبيعية)

• $\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}_-^* = $ $\emptyset$
(لا يوجد عدد طبيعي وسالب في نفس الوقت)

• $\mathbb{D}^* \cup \mathbb{D}_+ = $ $\mathbb{D} \setminus \{0\}$ أو $\mathbb{D}^*$
($\mathbb{D}^*$ جميع الأعداد العشرية ما عدا الصفر، و $\mathbb{D}_+$ الأعداد العشرية الموجبة)
(اتحادهما يعطي جميع الأعداد العشرية ما عدا $0$)

• نفحص كل عنصر:
- $\dfrac{-4}{3}$: المقام $3$، ليس عشرياً ✗
- $0$: عشري ✓
- $-(-5) = 5$: عدد صحيح، عشري ✓
- $\dfrac{7}{20}$: المقام $20 = 2^2 \times 5$، عشري ✓

إذن: $\left\{\dfrac{-4}{3} \;;\; 0 \;;\; -(-5) \;;\; \dfrac{7}{20}\right\} \cap \mathbb{D} = $ $\left\{0 \;;\; 5 \;;\; \dfrac{7}{20}\right\}$

العدد $-520$ هو عدد صحيح نسبي: $-520 \in \mathbb{Z}$
كل عدد صحيح نسبي هو عدد عشري: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$
إذن: $-520 \in \mathbb{D}$

كتابته على الصيغة المطلوبة:
$-520 = \dfrac{-520}{1} = \dfrac{-5200}{10} = \dfrac{-52000}{100}$

• $\dfrac{72}{24} = \dfrac{72 \div 24}{24 \div 24} = 3 \in \mathbb{Z} \subset \mathbb{D}$
إذن: $\dfrac{72}{24}$ $\in$ $\mathbb{D}$

• $\dfrac{50078938}{8} = 6259867.25$
هذا ليس عدداً طبيعياً (يحتوي على جزء عشري)
إذن: $\dfrac{50078938}{8}$ $\notin$ $\mathbb{N}$

• $\dfrac{-2135}{4} = -533.75$
هذا ليس عدداً صحيحاً (يحتوي على جزء عشري)
إذن: $\dfrac{-2135}{4}$ $\notin$ $\mathbb{Z}$

• $\dfrac{247350}{25} = 9894 \in \mathbb{N}$
إذن: $\dfrac{247350}{25}$ $\in$ $\mathbb{N}$

• نتحقق من كل عنصر:
- $\dfrac{-91}{520}$: نبسط $\text{PGCD}(91, 520) = 13$
   $\dfrac{-91}{520} = \dfrac{-7}{40} = \dfrac{-7}{2^3 \times 5}$ عشري ✓
- $\dfrac{2136}{-4} = -534$ عدد صحيح، عشري ✓
- $\dfrac{-72}{24} = -3$ عدد صحيح، عشري ✓
جميع العناصر عشرية
إذن: $\left\{\dfrac{-91}{520} \;;\; \dfrac{2136}{-4} \;;\; \dfrac{-72}{24}\right\}$ $\subset$ $\mathbb{D}$

• كل عدد صحيح هو عدد عشري
إذن: $\mathbb{Z}$ $\subset$ $\mathbb{D}$

• $\mathbb{Z} \cap \mathbb{Q} = $ $\mathbb{Z}$
(لأن كل عدد صحيح هو عدد كسري: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$)

• $\mathbb{Q}_- \cap \mathbb{Q}_+^* = $ $\emptyset$
(لا يوجد عدد سالب وموجب في نفس الوقت)

أولاً نبسط ونحدد طبيعة كل عنصر:

$\begin{array}{rcl} \dfrac{-6}{5} &=& -1.2 \text{ (عشري سالب)} \\[0.5em] \dfrac{-21}{35} &=& \dfrac{-3}{5} = -0.6 \text{ (عشري سالب)} \\[0.5em] \dfrac{4}{3} &\approx& 1.333... \text{ (كسري موجب، غير عشري)} \\[0.5em] \dfrac{-5}{2} &=& -2.5 \text{ (عشري سالب)} \\[0.5em] 0 &=& 0 \text{ (عشري، صفر)} \\[0.5em] 2.5 &=& 2.5 \text{ (عشري موجب)} \\[0.5em] -1.25 &=& -1.25 \text{ (عشري سالب)} \\[0.5em] 1 &=& 1 \text{ (صحيح موجب، عشري)} \\[0.5em] \dfrac{3}{4} &=& 0.75 \text{ (عشري موجب)} \end{array}$

• $A \cap \mathbb{Q}_+^* = $ $\left\{\dfrac{4}{3}\;,\; 2.5 \;,\; 1 \;,\; \dfrac{3}{4}\right\}$
(الأعداد الكسرية الموجبة تماماً)

• $A \cap \mathbb{D} = $ $\left\{\dfrac{-6}{5} \;,\; \dfrac{-21}{35} \;,\; \dfrac{-5}{2}\;,\; 0 \;,\; 2.5 \;,\; -1.25 \;,\; 1 \;,\; \dfrac{3}{4}\right\}$
(جميع العناصر ما عدا $\dfrac{4}{3}$)

• $A \cap \mathbb{Z}^- = $ $\emptyset$
(لا يوجد أعداد صحيحة سالبة في $A$)

• $A \cap \mathbb{Q} = $ $A$
(جميع العناصر كسرية)

نحدد مواقع النقاط على المستقيم:

$\begin{array}{rcl} M &:& x_M = \dfrac{-5}{2} = -2.5 \\[0.5em] N &:& x_N = \dfrac{3}{4} = 0.75 \\[0.5em] P &:& x_P = 2.5 \\[0.5em] Q &:& x_Q = 1.25 \end{array}$

المسافة $OM$ هي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتي $O$ و $M$:
$OM = \left|x_M - x_O\right| = \left|\dfrac{-5}{2} - 0\right| = \left|\dfrac{-5}{2}\right| = \dfrac{5}{2} = 2.5$

المسافة $ON$ هي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتي $O$ و $N$:
$ON = \left|x_N - x_O\right| = \left|\dfrac{3}{4} - 0\right| = \left|\dfrac{3}{4}\right| = \dfrac{3}{4} = 0.75$

المعادلة: $OS - \dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{4}$

نحل المعادلة:
$\begin{align} OS &= \dfrac{5}{4} + \dfrac{1}{2} \\[0.5em] &= \dfrac{5}{4} + \dfrac{2}{4} \\[0.5em] &= \dfrac{7}{4} \\[0.5em] &= 1.75 \end{align}$

المعادلة: $NT + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{4}$

نحل المعادلة:
$\begin{align} NT &= \dfrac{15}{4} - \dfrac{3}{2} \\[0.5em] &= \dfrac{15}{4} - \dfrac{6}{4} \\[0.5em] &= \dfrac{9}{4} \\[0.5em] &= 2.25 \end{align}$

بما أن $N$ عند $\dfrac{3}{4} = 0.75$، والمسافة $NT = 2.25$:
$x_T = x_N + NT = 0.75 + 2.25 = 3$

خمس السيارات بيضاء = $\dfrac{1}{5}$
ثلث السيارات سوداء = $\dfrac{1}{3}$

البقية = $1 - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3}$

نوحّد المقامات (المقام المشترك = $15$):
$\begin{align} 1 - \dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{3} &= \dfrac{15}{15} - \dfrac{3}{15} - \dfrac{5}{15} \\[0.5em] &= \dfrac{15 - 3 - 5}{15} \\[0.5em] &= \dfrac{7}{15} \end{align}$

$\mathbb{Q}_+ = $ مجموعة الأعداد الكسرية الموجبة (بما فيها الصفر)
$\mathbb{D}_+ = $ مجموعة الأعداد العشرية الموجبة (بما فيها الصفر)

التقاطع $\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{D}_+$ يعطي الأعداد التي هي كسرية موجبة وعشرية في نفس الوقت
= الأعداد العشرية الموجبة = $\mathbb{D}_+$

$E = \left\{x \in \mathbb{Z}_+ \;;\; |x| = \dfrac{2}{7}\right\}$

$\mathbb{Z}_+ = $ مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة = $\{0, 1, 2, 3, 4, ...\}$

نبحث عن $x \in \mathbb{Z}_+$ بحيث $|x| = \dfrac{2}{7}$

$|x| = \dfrac{2}{7}$ يعني $x = \dfrac{2}{7}$ أو $x = -\dfrac{2}{7}$

لكن $\dfrac{2}{7} \notin \mathbb{Z}$ و $-\dfrac{2}{7} \notin \mathbb{Z}_+$

لا يوجد عدد صحيح موجب قيمته المطلقة تساوي $\dfrac{2}{7}$

أولاً نبسط المجموعة $F$:
$F = \left\{\dfrac{24}{12}\;;0\;;\dfrac{-21}{7}\right\} = \{2 \;;0\;; -3\}$

جميع العناصر أعداد صحيحة، وبالتالي أعداد عشرية

نفحص كل خيار:

الخيار الأول: $F \cap \mathbb{D}_+ = \{2, 0\} \neq F$ ❌

الخيار الثاني: $F \cap \mathbb{Z} = \{2, 0, -3\} = F$ ✓

الخيار الثالث: $F \cap \mathbb{D} = \{2, 0, -3\} = F \neq \{-3, 0\}$ ❌

$\begin{align} M &= \left\{\dfrac{-18}{3} \;;\; 0 \;;\; \dfrac{8016}{8}\right\} \\[0.5em] &= \{-6 \;;\; 0 \;;\; 1002\} \end{align}$
$\begin{align} N &= \left\{2,9 \;;\; -2 \;;\; \dfrac{105}{35}\right\} \\[0.5em] &= \{2.9 \;;\; -2 \;;\; 3\} \end{align}$
$P = \left\{0 \;;\; \dfrac{-4}{3} \;;\; -2,04\right\}$ (لا يمكن تبسيط أكثر)

• $M = \{-6 \;;\; 0 \;;\; 1002\}$
جميع العناصر أعداد صحيحة
إذن: $M$ $\subset$ $\mathbb{Z}$

• $N = \{2.9 \;;\; -2 \;;\; 3\}$
$-4$ لا ينتمي إلى $N$
إذن: $-4$ $\notin$ $N$

• $P = \left\{0 \;;\; \dfrac{-4}{3} \;;\; -2,04\right\}$
نفحص كل عنصر:
- $0$ عشري ✓
- $\dfrac{-4}{3}$: المقام $3$ ليس من الشكل $2^n \times 5^m$، غير عشري ✗
- $-2.04$ عشري ✓
$P$ تحتوي على عنصر غير عشري
إذن: $P$ $\not\subset$ $\mathbb{D}$

• $M \cap \mathbb{N}^* = $ $\{1002\}$
(الأعداد الطبيعية غير المعدومة في $M$)

• $M \cap \mathbb{Z} = $ $\{-6 \;;\; 0 \;;\; 1002\} = M$
(جميع عناصر $M$ أعداد صحيحة)

• $M \cap \mathbb{D}_- = $ $\{-6\}$
(الأعداد العشرية السالبة في $M$)

• $M \cap \mathbb{Q}_+^* = $ $\{1002\}$
(الأعداد الكسرية الموجبة تماماً في $M$)

• $N = \{2.9 \;;\; -2 \;;\; 3\}$
الأعداد العشرية الموجبة: $2.9$ و $3$
$N \cap \mathbb{D}_+ = $ $\{2.9 \;;\; 3\}$

• $M \cup P = $ $\left\{-6 \;;\; 0 \;;\; 1002 \;;\; \dfrac{-4}{3} \;;\; -2.04\right\}$
(جميع العناصر من $M$ و $P$، مع حذف التكرار للعنصر $0$)