تمارين الأعداد العشرية

تحديد الأعداد العشرية

حدد الأعداد العشرية من بين الأعداد التالية ثم أكتبها في صورة \( \frac{a}{10^n} \) حيث \( a \) عدد صحيح و \( n \) عدد طبيعي:

\( \frac{121}{88} \) \( \frac{75}{-45} \) \( \frac{36}{88} \) \( \frac{72}{45} \)
\( \frac{54}{45} \) \( \frac{225}{450} \) \( \frac{8}{15} \) \( \frac{-27}{-36} \)

تصحيح مفصل للتمرين

ما هو العدد العشري؟

العدد العشري هو أي عدد يمكن كتابته على شكل كسر مقامه قوة للعدد 10 (أي 10، 100، 1000، ...).

الصيغة العامة: \( \frac{a}{10^n} \) حيث \( a \) عدد صحيح و \( n \) عدد طبيعي (0، 1، 2، ...).

أمثلة توضيحية:

1. \( \frac{3}{10} \) هو عدد عشري (هنا \( n = 1 \))

2. \( \frac{7}{1} = \frac{7}{10^0} \) هو عدد عشري (\( n = 0 \))

3. \( \frac{1}{4} \) هو عدد عشري أيضًا لأنه يمكن كتابته كـ \( \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100} \) (\( n = 2 \))

4. \( \frac{1}{3} \) ليس عددًا عشريًا لأن مقامه (3) لا يمكن تحويله إلى قوة للعدد 10 بضرب فقط في 2 أو 5.

حل التمرين خطوة بخطوة:

لكي نحدد ما إذا كان الكسر عددًا عشريًا أم لا، نقوم بتبسيطه أولاً. ثم ننظر إلى عوامله الأولية في المقام. إذا كانت العوامل الأولية تتكون فقط من 2 أو 5، فهو عدد عشري. إذا كان يحتوي على عوامل أولية أخرى، فهو ليس عددًا عشريًا.

  1. فحص كل كسر:
    • \( \frac{121}{88} = \frac{11 \times 11}{8 \times 11} = \frac{11}{8} \): عدد عشري - المقام \( 8 = 2^3 \). يمكن كتابته كـ \( \frac{11 \times 125}{8 \times 125} = \frac{1375}{1000} \) (\( n = 3 \))
    • \( \frac{75}{-45} = -\frac{75}{45} = -\frac{5 \times 15}{3 \times 15} = -\frac{5}{3} \): ليس عددًا عشريًا - المقام 3 لا يمكن تحويله إلى قوة للعدد 10 (يحتوي على عامل 3).
    • \( \frac{36}{88} = \frac{4 \times 9}{4 \times 22} = \frac{9}{22} \): ليس عددًا عشريًا - المقام \( 22 = 2 \times 11 \). يحتوي على عامل 11، لذا ليس عشريًا.
    • \( \frac{72}{45} = \frac{9 \times 8}{9 \times 5} = \frac{8}{5} \): عدد عشري - المقام \( 5 = 5^1 \). يمكن كتابته كـ \( \frac{8 \times 2}{5 \times 2} = \frac{16}{10} \) (\( n = 1 \))
    • \( \frac{54}{45} = \frac{9 \times 6}{9 \times 5} = \frac{6}{5} \): عدد عشري - المقام \( 5 = 5^1 \). يمكن كتابته كـ \( \frac{6 \times 2}{5 \times 2} = \frac{12}{10} \) (\( n = 1 \))
    • \( \frac{225}{450} = \frac{225}{2 \times 225} = \frac{1}{2} \): عدد عشري - المقام \( 2 = 2^1 \). يمكن كتابته كـ \( \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10} \) (\( n = 1 \))
    • \( \frac{8}{15} \): ليس عددًا عشريًا - المقام \( 15 = 3 \times 5 \). يحتوي على عامل 3، لذا ليس عشريًا.
    • \( \frac{-27}{-36} = \frac{27}{36} = \frac{9 \times 3}{9 \times 4} = \frac{3}{4} \): عدد عشري - المقام \( 4 = 2^2 \). يمكن كتابته كـ \( \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} \) (\( n = 2 \))
  2. النتيجة النهائية:

    الأعداد العشرية في الجدول هي:

    • \( \frac{121}{88} = \frac{11}{8} = \frac{1375}{1000} \)
    • \( \frac{72}{45} = \frac{8}{5} = \frac{16}{10} \)
    • \( \frac{54}{45} = \frac{6}{5} = \frac{12}{10} \)
    • \( \frac{225}{450} = \frac{1}{2} = \frac{5}{10} \)
    • \( \frac{-27}{-36} = \frac{3}{4} = \frac{75}{100} \)

كيفية التحويل إلى صورة عشرية (\( \frac{a}{10^n} \)):

1. اختصر الكسر: بسّط الكسر إلى أبسط صورة ممكنة.

2. حلل المقام: أوجد العوامل الأولية للمقام بعد التبسيط.

3. تأكد من العوامل: إذا كانت العوامل الأولية للمقام تحتوي فقط على الرقم 2 و/أو الرقم 5، فالعدد عشري. إذا كان هناك أي عامل أولي آخر (مثل 3، 7، 11، إلخ)، فالعدد ليس عشريًا.

4. اضرب لتحويل المقام: إذا كان العدد عشريًا، اضرب البسط والمقام في العدد المناسب لتحويل المقام إلى قوة للعدد 10 (مثل 10، 100، 1000، وهكذا). تذكر أن \( 2 \times 5 = 10 \). فمثلاً، إذا كان لديك \( 2^3 \) في المقام، تحتاج إلى ضرب في \( 5^3 \) لتحصل على \( (2 \times 5)^3 = 10^3 \).

مثال توضيحي: لنأخذ الكسر \( \frac{3}{4} \)

  • الخطوة 1: الكسر \( \frac{3}{4} \) مبسط بالفعل.
  • الخطوة 2: نحلل المقام 4: \( 4 = 2 \times 2 = 2^2 \).
  • الخطوة 3: العوامل الأولية هي 2 فقط، إذن هو عدد عشري.
  • الخطوة 4: لدينا \( 2^2 \). نحتاج إلى \( 5^2 \) ليصبح المقام \( 10^2 \). نضرب البسط والمقام في \( 5^2 = 25 \): $$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 25}{4 \times 25} = \frac{75}{100} $$ هنا \( a = 75 \) و \( n = 2 \).

تمارين إضافية لفهم أفضل:

1. هل \( \frac{3}{8} \) عدد عشري؟  نعم، لأنه \( 8 = 2^3 \). نضرب في \( 5^3 = 125 \): \( \frac{3 \times 125}{8 \times 125} = \frac{375}{1000} \)

2. هل \( \frac{7}{12} \) عدد عشري؟  لا، لأن تحليل \( 12 = 2^2 \times 3 \). يحتوي على عامل 3، لذا ليس عشريًا.

3. اكتب \( \frac{9}{20} \) على صورة \( \frac{a}{10^n} \):  \( 20 = 2^2 \times 5 \). نحتاج إلى \( 5^1 \) أخرى لتصبح \( 2^2 \times 5^2 \). نضرب في 5: \( \frac{9 \times 5}{20 \times 5} = \frac{45}{100} \)