$\mathbb{Q}_+ \cap ID = \mathbf{.....}$
$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\} = \mathbf{.....}$
$ID^* \cap \mathbb{Z}_- = \mathbf{.....}$
$ID_+ \cup \mathbb{Q} = \mathbf{.....}$
$\mathbb{N} \mathbf{.....} \mathbb{Q}^*$
$\mathbb{Z} \mathbf{.....} \mathbb{Q}_-$
$\dfrac{-7}{-2} \mathbf{.....} \mathbb{Z}_+$
$ID \mathbf{.....} \mathbb{Q}^*$
| $\dfrac{12}{75} = \mathbf{.....}$ | $\dfrac{-13}{20} = \mathbf{.....}$ |
| $\dfrac{-105}{-168} = \mathbf{.....}$ | $\dfrac{-183}{45} = \mathbf{.....}$ |
لم تبدأ بعد
1) تحديد المجموعات: تذكر أن $ID$ هي مجموعة الأعداد العشرية. $\mathbb{Q}$ هي مجموعة الأعداد الكسرية. $ID \subset \mathbb{Q}$.
• $\mathbb{Q}_+$ هي الكسرية الموجبة أو صفر. $ID$ هي العشرية.
• $\mathbb{Q}_-$ هي الكسرية السالبة أو صفر. بسّط أولاً $\frac{|-3|}{2}$.
2) الانتماء: استخدم **$\subset$** أو **$\not\subset$** للمجموعات، و **$\in$** أو **$\notin$** للعناصر. بسّط $\frac{-7}{-2}$ قبل الحكم.
3) الأعداد العشرية: العدد الكسري يكون عشرياً إذا كان **مقامه** (بعد الاختزال) يحتوي فقط على عوامل أولية هي **2 أو 5**.
1) تحديد المجموعات:
• $\mathbb{Q}_+ \cap ID$: التقاطع هو المجموعة الأصغر. الناتج هو الأعداد العشرية الموجبة أو صفر ($\mathbf{ID_+}$).
• $\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{3}{2}\right\}$: العناصر هي $-1, 0, \frac{-15}{4}$. (لأن $\frac{3}{2}$ موجب).
• $ID^* \cap \mathbb{Z}_-$: الأعداد الصحيحة السالبة $\mathbb{Z}_-$ هي أعداد عشرية وغير معدومة.
• $ID_+ \cup \mathbb{Q}$: الاتحاد هو المجموعة الأكبر $\mathbb{Q}$.
2) إكمال الفراغ:
• $\mathbb{N} \text{.....} \mathbb{Q}^*$: $0 \in \mathbb{N}$ و $0 \notin \mathbb{Q}^*$ $\implies$ $\mathbf{\not\subset}$.
• $\mathbb{Z} \text{.....} \mathbb{Q}_-$: $\mathbb{Z}$ تحتوي على أعداد موجبة ليست في $\mathbb{Q}_-$ $\implies$ $\mathbf{\not\subset}$.
• $\frac{-7}{-2} = 3.5$. $3.5$ ليس عدداً صحيحاً موجباً $\implies$ $\mathbf{\notin}$.
• $ID \text{.....} \mathbb{Q}^*$: $0 \in ID$ و $0 \notin \mathbb{Q}^*$ $\implies$ $\mathbf{\not\subset}$.
3) الأعداد العشرية:
• $\frac{12}{75}$: اختزال $\frac{4}{25}$. المقام $25 = 5^2$ (عشري).
• $\frac{-13}{20}$: المقام $20 = 2^2 \times 5$ (عشري).
• $\frac{-105}{-168}$: اختزال $\frac{5}{8}$. المقام $8 = 2^3$ (عشري).
• $\frac{-183}{45}$: اختزال $\frac{-61}{15}$. المقام $15 = 3 \times 5$ (ليس عشرياً لاحتوائه على 3).
1) تحديد المجموعات:
$\mathbb{Q}_+ \cap ID = \mathbf{ID_+}$
$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\} = \mathbf{\left\{-1; 0; \frac{-15}{4}\right\}}$
$ID^* \cap \mathbb{Z}_- = \mathbf{\mathbb{Z}_-}$
$ID_+ \cup \mathbb{Q} = \mathbf{\mathbb{Q}}$
---
2) إكمال الفراغ:
$\mathbb{N} \mathbf{\not\subset} \mathbb{Q}^*$
$\mathbb{Z} \mathbf{\not\subset} \mathbb{Q}_-$
$\dfrac{-7}{-2} \mathbf{\notin} \mathbb{Z}_+$
$ID \mathbf{\not\subset} \mathbb{Q}^*$
---
3) الأعداد العشرية وكتابتها على صيغة $\dfrac{a}{10^n}$:
🔹 $\dfrac{12}{75}$: $\frac{4}{25} = \frac{4 \times 4}{25 \times 4} = \frac{16}{100} = \mathbf{\dfrac{16}{10^2}}$
🔹 $\dfrac{-13}{20}$: $\frac{-13 \times 5}{20 \times 5} = \frac{-65}{100} = \mathbf{\dfrac{-65}{10^2}}$
🔹 $\dfrac{-105}{-168}$: $\frac{5}{8} = \frac{5 \times 125}{8 \times 125} = \frac{625}{1000} = \mathbf{\dfrac{625}{10^3}}$
🔹 $\dfrac{-183}{45}$: $\frac{-61}{15}$. المقام $15 = 3 \times 5$. $\mathbf{\text{ليس عشرياً}}$
نعتبر المجموعة:
$A \cap \mathbb{Q}_+ = \mathbf{.....}$
$A \cap \mathbb{N}^* = \mathbf{.....}$
$A \cap \mathbb{Z} = \mathbf{.....}$
$A \cap ID_- = \mathbf{.....}$
$M = \left\{x \in A; \quad |x| = 1.8\right\}$
$N = \left\{x \in A; \quad |x| = \frac{12}{21}\right\}$
$P = \left\{x \in \mathbb{Q}; \quad |x| = x\right\}$
$R = \left\{x \in A; \quad |x| = -x\right\}$
لم تبدأ بعد
1) تبسيط عناصر $A$: بسّط جميع العناصر غير المختزلة والمبسطة في $A$ أولاً:
• $\sqrt{64} = 8$
• $\frac{-15}{-8} = \frac{15}{8}$
• $\frac{+4}{3} = \frac{4}{3}$
• $\frac{-9}{5} = -1.8$
2) شرط القيمة المطلقة:
• $|x| = 1.8$ يعني $x = 1.8$ أو $x = -1.8$.
• $|x| = x$ يعني $x$ **موجب أو صفر** ($x \geq 0$).
• $|x| = -x$ يعني $x$ **سالب أو صفر** ($x \leq 0$).
المجموعة $A$ بعد التبسيط: $A = \left\{\frac{13}{6}; \frac{-4}{3}; -12; -1.8; 0; 8; \frac{15}{8}; \frac{4}{3}\right\}$
1) تحديد التقاطع:
• $A \cap \mathbb{Q}_+$: اختر الأعداد الموجبة من $A$ (بما في ذلك الصفر).
• $A \cap \mathbb{N}^*$: اختر الأعداد الصحيحة الموجبة وغير الصفرية من $A$.
• $A \cap \mathbb{Z}$: اختر الأعداد الصحيحة من $A$.
• $A \cap ID_-$: اختر الأعداد العشرية السالبة من $A$. (تذكر أن $\frac{-4}{3}$ و $\frac{-13}{6}$ ليسا عشريين).
2) المجموعات بشرط القيمة المطلقة:
• $M$: تحقق مما إذا كانت $\mathbf{1.8}$ أو $\mathbf{-1.8}$ موجودة في $A$.
• $N$: بسّط $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$. تحقق مما إذا كانت $\frac{4}{7}$ أو $\frac{-4}{7}$ موجودة في $A$.
• $P$: مجموعة الأعداد الكسرية التي هي $\geq 0$.
• $R$: اختر العناصر $x \in A$ التي هي $\leq 0$.
📝 المجموعة $A$ بعد التبسيط:
1) تحديد المجموعات:
🔹 $A \cap \mathbb{Q}_+$: (الأعداد الكسرية الموجبة أو صفر)
✓ الجواب: $\left\{\frac{13}{6}; 0; 8; \frac{15}{8}; \frac{4}{3}\right\}$
🔹 $A \cap \mathbb{N}^*$: (الأعداد الطبيعية غير المعدومة)
✓ الجواب: $\{8\}$
🔹 $A \cap \mathbb{Z}$: (الأعداد الصحيحة النسبية)
✓ الجواب: $\{-12; 0; 8\}$
🔹 $A \cap ID_-$: (الأعداد العشرية السالبة)
الأعداد العشرية السالبة في $A$ هي $-12$ و $\frac{-9}{5}$ (لأن $\frac{-9}{5} = -1.8$).
✓ الجواب: $\left\{-12; \frac{-9}{5}\right\}$
---
2) إيجاد المجموعات بشرط القيمة المطلقة:
🔹 $M = \left\{x \in A; \quad |x| = 1.8 = \frac{9}{5}\right\}$:
العناصر التي تحقق الشرط هي $\frac{9}{5}$ و $\frac{-9}{5}$. فقط $\frac{-9}{5}$ موجود في $A$.
✓ الجواب: $M = \left\{\frac{-9}{5}\right\}$
🔹 $N = \left\{x \in A; \quad |x| = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}\right\}$:
العناصر التي تحقق الشرط هي $\frac{4}{7}$ و $\frac{-4}{7}$. كلاهما غير موجود في $A$.
✓ الجواب: $N = \emptyset$
🔹 $P = \left\{x \in \mathbb{Q}; \quad |x| = x\right\}$:
الشرط $|x| = x$ يكافئ $x \geq 0$.
✓ الجواب: $P = \mathbb{Q}_+$
🔹 $R = \left\{x \in A; \quad |x| = -x\right\}$:
الشرط $|x| = -x$ يكافئ $x \leq 0$.
✓ الجواب: $R = \left\{\frac{-4}{3}; -12; \frac{-9}{5}; 0\right\}$