لتكن المجموعة $E$ التالية:
$\frac{3}{2} \text{.....} E$
$\left\{\frac{3}{2}; \frac{-9}{4}\right\} \text{.....} E$
$\frac{-405}{180} \text{.....} D$
$-12 \text{.....} E$
$\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Q}^* \text{.....} E$
$F$ هي مجموعة الأعداد الكسرية $x$ المنتمية إلى $E$ بحيث $\mathbf{|x| = -x}$.
$G$ هي مجموعة الأعداد الكسرية $x$ المنتمية إلى $E$ بحيث $\mathbf{|x| = \frac{9}{4}}$.
لم تبدأ بعد
⚠️ تبسيط عناصر $E$ أولاً:
• $\frac{-14}{35} = \frac{-2}{5} = -0.4$ (عشري)
• $\frac{-121}{11} = -11$ (صحيح)
• $3,75 = \frac{375}{100} = \frac{15}{4} = 3.75$ (عشري)
• $\frac{-405}{180} = \frac{-81}{36} = \frac{-9}{4} = -2.25$ (عشري)
• $\frac{7}{3}$ (كسري غير عشري)
للسؤال 1):
• تذكر: $\mathbf{\in / \notin}$ للعناصر والمجموعات، $\mathbf{\subset / \not\subset}$ للمجموعات والمجموعات.
• $\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Q}^*$: هي الأعداد الصحيحة السالبة غير الصفر، أي $\mathbb{Z}_-^*$.
للسؤال 2):
• $|x| = -x$ يتحقق فقط إذا كان $x$ **سالباً أو صفراً** ($x \leq 0$).
• $|x| = \frac{9}{4}$ يعني أن $x = \frac{9}{4}$ أو $x = \frac{-9}{4}$. تحقق من وجودهما في $E$.
للسؤال 3):
• "عدد عشري غير صحيح" في $E$ هو العدد العشري الذي لا ينتمي إلى $\mathbb{Z}$ (ليس صحيحاً).
• استخدم طريقة ضرب البسط والمقام في القوة المناسبة لـ 2 أو 5 للحصول على المقام $10^n$.
الخطوة التمهيدية: تبسيط المجموعة $E$ إلى: $E = \left\{-0.4; -11; 0; 3.75; -2.25; \frac{7}{3}\right\}$
1) الانتماء والاحتواء:
• $\frac{3}{2} = 1.5$. تحقق من وجود $1.5$ في قائمة عناصر $E$.
• المجموعة $\left\{\frac{3}{2}; \frac{-9}{4}\right\}$: تحقق من وجود كلا العنصرين $\frac{3}{2}=1.5$ و $\frac{-9}{4}=-2.25$ في $E$.
• $\frac{-405}{180} = -2.25$. هل $-2.25$ عدد عشري؟ (نعم، لأن $D$ هي مجموعة الأعداد العشرية $ID$)
• $-12$. هل $-12$ موجود في قائمة عناصر $E$؟
• $\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Q}^* = \mathbb{Z}_-^*$. هل كل الأعداد الصحيحة السالبة غير الصفرية موجودة في $E$؟ (لا!)
2) المجموعات الجزئية (القيمة المطلقة):
• $F$: استبعد العناصر الموجبة من $E$ (مثل $3.75$ و $\frac{7}{3}$). احتفظ بالسالبة والصفر.
• $G$: العدد $\frac{9}{4} = 2.25$. تحقق من وجود $2.25$ و $-2.25$ في $E$.
3) الأعداد العشرية غير الصحيحة:
• الأعداد العشرية في $E$: $\frac{-2}{5}, -11, 0, 3.75, \frac{-9}{4}$.
• الأعداد الصحيحة في $E$: $-11$ و $0$.
• الأعداد العشرية غير الصحيحة هي: $\frac{-2}{5}$ و $3.75$ و $\frac{-9}{4}$.
• لكل منها، اضرب البسط والمقام في القوة المناسبة لـ 2 أو 5 للحصول على المقام $10^n$.
📝 المجموعة $E$ مبسطة:
1) الإتمام:
🔹 $\frac{3}{2} \text{.....} E$: $\frac{3}{2} = 1.5$. $1.5 \notin E$.
✓ الجواب: $\notin$
🔹 $\left\{\frac{3}{2}; \frac{-9}{4}\right\} \text{.....} E$: $\frac{3}{2} = 1.5 \notin E$. $\frac{-9}{4} = -2.25 \in E$. عنصر واحد فقط ينتمي، وبالتالي لا يوجد احتواء.
✓ الجواب: $\not\subset$
🔹 $\frac{-405}{180} \text{.....} D$: $\frac{-405}{180} = -2.25$. العدد $-2.25$ هو عدد عشري $(D = ID)$.
✓ الجواب: $\in$
🔹 $-12 \text{.....} E$: العدد $-12$ غير موجود في قائمة عناصر $E$.
✓ الجواب: $\notin$
🔹 $\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Q}^* \text{.....} E$: $\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Q}^* = \mathbb{Z}_-^*$. على سبيل المثال، $-1 \in \mathbb{Z}_-^*$ ولكن $-1 \notin E$.
✓ الجواب: $\not\subset$
---
2) إيجاد المجموعات الجزئية:
🔹 $F = \left\{x \in E; \quad |x| = -x\right\}$: الشرط $|x| = -x$ يعني $\mathbf{x \leq 0}$.
الأعداد في $E$ التي تحقق هذا الشرط هي:
$$\frac{-14}{35}, \frac{-121}{11}, 0, \frac{-405}{180}$$✓ الجواب: $F = \left\{\frac{-14}{35}; \frac{-121}{11}; 0; \frac{-405}{180}\right\}$
🔹 $G = \left\{x \in E; \quad |x| = \frac{9}{4} = 2.25\right\}$:
القيم التي تحقق الشرط هي $x = 2.25$ أو $x = -2.25$.
نبحث عن هذه القيم في $E$: $-2.25 = \frac{-405}{180}$ وهو موجود في $E$. $2.25$ غير موجود في $E$.
✓ الجواب: $G = \left\{\frac{-405}{180}\right\}$
---
3) الأعداد العشرية غير الصحيحة على صورة $\dfrac{a}{10^n}$:
الأعداد العشرية غير الصحيحة في $E$ هي: $\mathbf{\frac{-14}{35}}, \mathbf{3,75}, \mathbf{\frac{-405}{180}}$.
🔹 $\dfrac{-14}{35} = \dfrac{-2}{5}$:
🔹 $3,75 = \dfrac{375}{100}$:
ملاحظة: بالرغم من إمكانية اختزالها إلى $\frac{15}{4}$، صيغة $\frac{a}{10^n}$ هي الصيغة المطلوبة.
🔹 $\dfrac{-405}{180} = \dfrac{-9}{4}$: