📐 التمرين رقم 1 📐

📚 المجموعات العددية 🎯 السنة 9 أساسي ⭐ 6 نقاط
1
المجموعات العددية والانتماء
1) حدد المجموعات التالية:
$$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\}$$
$$\mathbb{Q}_+ \cap ID = \text{.....}$$
$$ID^* \cap \mathbb{Z}_- = \text{.....}$$
$$ID_+ \cup \mathbb{Q} = \text{.....}$$
2) أكمل الفراغ بـ: $\in$ ؛ $\subset$ ؛ $\not\subset$ ؛ $\notin$
$$\mathbb{N} \text{.....} \mathbb{Q}^*$$
$$\mathbb{Z} \text{.....} \mathbb{Q}_-$$
$$\dfrac{-7}{-2} \text{.....} \mathbb{Z}_+$$
$$ID \text{.....} \mathbb{Q}^*$$
3) من بين الأعداد الكسرية التالية حدد التي هي أعداد عشرية واكتبها على صيغة $\dfrac{a}{10^n}$:

حيث $a$ عدد صحيح نسبي و $n$ عدد صحيح طبيعي

$\dfrac{12}{75}$ $\dfrac{-13}{20}$
$\dfrac{-105}{-168}$ $\dfrac{-183}{45}$

لم تبدأ بعد

💡 التوجيهات

⚠️ تذكر المجموعات العددية:

• $\mathbb{N}$: الأعداد الطبيعية $\{0, 1, 2, 3, ...\}$

• $\mathbb{Z}$: الأعداد الصحيحة النسبية $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$

• $ID$: الأعداد العشرية

• $\mathbb{Q}$: الأعداد الكسرية (النسبية)

• $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset ID \subset \mathbb{Q}$

⚠️ الرموز:

• $\mathbb{Q}_+$: الأعداد الكسرية الموجبة

• $\mathbb{Q}_-$: الأعداد الكسرية السالبة

• $\mathbb{Q}^*$: الأعداد الكسرية غير المعدومة (ما عدا الصفر)

• $\in$: ينتمي إلى

• $\subset$: مضمن في (جزئية)

للسؤال 1):

• $\mathbb{Q}_-$: الأعداد الكسرية السالبة فقط

• احسب $\frac{|-3|}{2} = \frac{3}{2}$ (موجب!)

• التقاطع $\cap$ يعني العناصر المشتركة

• الاتحاد $\cup$ يعني كل العناصر

للسؤال 2):

• $\in$ للعنصر الذي ينتمي للمجموعة

• $\subset$ عندما كل عناصر المجموعة الأولى موجودة في الثانية

• بسّط $\frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3.5$ أولاً

للسؤال 3):

• عدد عشري: كسر مقامه قوة للعدد 10

• أو مقامه يساوي $2^a \times 5^b$

• بسّط الكسور أولاً

📝 منهجية الحل

1) طريقة تحديد المجموعات:

الخطوة 1: تحديد نوع كل عدد

الخطوة 2: التحقق من شرط المجموعة

الخطوة 3: كتابة النتيجة

2) طريقة الانتماء والاحتواء:

• للأعداد: استخدم $\in$ أو $\notin$

• للمجموعات: استخدم $\subset$ أو $\not\subset$

تذكر: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset ID \subset \mathbb{Q}$

3) طريقة تحديد الأعداد العشرية:

الخطوة 1: بسّط الكسر إلى أبسط صورة

الخطوة 2: حلل المقام إلى عوامله الأولية

الخطوة 3: إذا كان المقام = $2^a \times 5^b$ فهو عشري

الخطوة 4: اكتب على الصيغة $\frac{a}{10^n}$

✅ الحل النهائي الكامل

1) تحديد المجموعات:

🔹 المجموعة الأولى:

$$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\}$$

أولاً نحسب: $\dfrac{|-3|}{2} = \dfrac{3}{2}$ (موجب)

نحدد الأعداد السالبة من المجموعة:

  • $-1$ سالب ✓
  • $0$ ليس سالباً ولا موجباً ✗
  • $\dfrac{-15}{4}$ سالب ✓
  • $\dfrac{3}{2}$ موجب ✗

✓ الجواب:

$$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\} = \left\{-1; \frac{-15}{4}\right\}$$

🔹 المجموعة الثانية:

$$\mathbb{Q}_+ \cap ID$$

$\mathbb{Q}_+$: الأعداد الكسرية الموجبة

$ID$: الأعداد العشرية

التقاطع: الأعداد التي هي كسرية موجبة وعشرية في نفس الوقت

✓ الجواب: $\mathbb{Q}_+ \cap ID = ID_+$ (الأعداد العشرية الموجبة)

🔹 المجموعة الثالثة:

$$ID^* \cap \mathbb{Z}_-$$

$ID^*$: الأعداد العشرية غير المعدومة

$\mathbb{Z}_-$: الأعداد الصحيحة السالبة

التقاطع: الأعداد التي هي عشرية وصحيحة وسالبة

✓ الجواب: $ID^* \cap \mathbb{Z}_- = \mathbb{Z}_-$ (الأعداد الصحيحة السالبة)

🔹 المجموعة الرابعة:

$$ID_+ \cup \mathbb{Q}$$

$ID_+$: الأعداد العشرية الموجبة

$\mathbb{Q}$: جميع الأعداد الكسرية

الاتحاد: جميع الأعداد من المجموعتين

بما أن $ID_+ \subset \mathbb{Q}$

✓ الجواب: $ID_+ \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}$ (جميع الأعداد الكسرية)

2) إكمال الفراغ:

🔹 الأول: $\mathbb{N}$ ..... $\mathbb{Q}^*$

$\mathbb{N}$: مجموعة الأعداد الطبيعية $\{0, 1, 2, 3, ...\}$

$\mathbb{Q}^*$: الأعداد الكسرية غير المعدومة (بدون الصفر)

هل كل أعداد $\mathbb{N}$ موجودة في $\mathbb{Q}^*$؟

لا! لأن $0 \in \mathbb{N}$ لكن $0 \notin \mathbb{Q}^*$

✓ الجواب: $\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Q}^*$

🔹 الثاني: $\mathbb{Z}$ ..... $\mathbb{Q}_-$

$\mathbb{Z}$: الأعداد الصحيحة النسبية $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$

$\mathbb{Q}_-$: الأعداد الكسرية السالبة فقط

هل كل أعداد $\mathbb{Z}$ سالبة؟

لا! فيها أعداد موجبة والصفر

✓ الجواب: $\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{Q}_-$

🔹 الثالث: $\dfrac{-7}{-2}$ ..... $\mathbb{Z}_+$

أولاً نبسط:

$$\frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3.5$$

$3.5$ ليس عدداً صحيحاً

$\mathbb{Z}_+$: الأعداد الصحيحة الموجبة

✓ الجواب: $\dfrac{-7}{-2} \notin \mathbb{Z}_+$

🔹 الرابع: $ID$ ..... $\mathbb{Q}^*$

$ID$: الأعداد العشرية

$\mathbb{Q}^*$: الأعداد الكسرية غير المعدومة

هل كل عدد عشري هو عدد كسري غير معدوم؟

لا! لأن $0$ عدد عشري ولكنه معدوم

لكن إذا استثنينا الصفر، فكل عدد عشري هو كسري

✓ الجواب: $ID \not\subset \mathbb{Q}^*$

(لأن $0 \in ID$ لكن $0 \notin \mathbb{Q}^*$)

3) تحديد الأعداد العشرية:

🔹 الكسر الأول: $\dfrac{-13}{20}$

نحلل المقام:

$$20 = 4 \times 5 = 2^2 \times 5$$

المقام على صورة $2^a \times 5^b$ ⇒ عدد عشري ✓

نكتب على الصيغة $\dfrac{a}{10^n}$:

$$\frac{-13}{20} = \frac{-13}{2^2 \times 5} = \frac{-13 \times 5}{2^2 \times 5^2} = \frac{-65}{100} = \frac{-65}{10^2}$$

✓ الجواب: $\dfrac{-13}{20} = \dfrac{-65}{10^2}$ عدد عشري

🔹 الكسر الثاني: $\dfrac{12}{75}$

نبسط الكسر:

$$\frac{12}{75} = \frac{12 \div 3}{75 \div 3} = \frac{4}{25}$$

نحلل المقام:

$$25 = 5^2$$

المقام على صورة $5^2$ (لا يوجد عامل 2) ⇒ عدد عشري ✓

نكتب على الصيغة $\dfrac{a}{10^n}$:

$$\frac{4}{25} = \frac{4}{5^2} = \frac{4 \times 2^2}{5^2 \times 2^2} = \frac{16}{100} = \frac{16}{10^2}$$

✓ الجواب: $\dfrac{12}{75} = \dfrac{16}{10^2}$ عدد عشري

🔹 الكسر الثالث: $\dfrac{-183}{45}$

نبسط الكسر (القاسم المشترك = 3):

$$\frac{-183}{45} = \frac{-61}{15}$$

نحلل المقام:

$$15 = 3 \times 5$$

⚠️ تحليل:

المقام يحتوي على العامل 3

المقام ليس على صورة $2^a \times 5^b$

⇒ ليس عدداً عشرياً ✗

✓ الجواب: $\dfrac{-183}{45}$ ليس عدداً عشرياً

🔹 الكسر الرابع: $\dfrac{-105}{-168}$

نبسط الكسر (القاسم المشترك = 21):

$$\frac{-105}{-168} = \frac{105}{168} = \frac{5}{8}$$

نحلل المقام:

$$8 = 2^3$$

المقام على صورة $2^3$ ⇒ عدد عشري ✓

نكتب على الصيغة $\dfrac{a}{10^n}$:

$$\frac{5}{8} = \frac{5}{2^3} = \frac{5 \times 5^3}{2^3 \times 5^3} = \frac{625}{1000} = \frac{625}{10^3}$$

✓ الجواب: $\dfrac{-105}{-168} = \dfrac{625}{10^3}$ عدد عشري

📝 ملخص الأعداد العشرية:

الكسر عشري؟ الصيغة
$\dfrac{-13}{20}$ ✓ $\dfrac{-65}{10^2}$
$\dfrac{12}{75}$ ✓ $\dfrac{16}{10^2}$
$\dfrac{-183}{45}$ ✗ -
$\dfrac{-105}{-168}$ ✓ $\dfrac{625}{10^3}$

📐 التمرين رقم 2 📐

📚 المجموعات والقيمة المطلقة 🎯 السنة 9 أساسي ⭐ 6 نقاط
2
التقاطع والمجموعات الجزئية

نعتبر المجموعة:

$$A = \left\{\frac{13}{6}; \frac{-4}{3}; -12; \frac{-9}{5}; 0; \sqrt{64}; \frac{-15}{-8}; \frac{+4}{3}\right\}$$
1) حدد المجموعات التالية:
$$A \cap \mathbb{Q}_+ = \text{.....................}$$
$$A \cap \mathbb{N}^* = \text{.....................}$$
$$A \cap \mathbb{Z} = \text{.....................}$$
$$A \cap ID_- = \text{.....................}$$
2) أوجد المجموعات التالية:
$$M = \left\{x \in A; \quad |x| = 1.8\right\}$$
$$N = \left\{x \in A; \quad |x| = \frac{12}{21}\right\}$$
$$P = \left\{x \in \mathbb{Q}; \quad |x| = x\right\}$$
$$R = \left\{x \in A; \quad |x| = -x\right\}$$

لم تبدأ بعد

💡 التوجيهات

⚠️ خطوات مهمة قبل البدء:

• بسّط جميع الكسور

• احسب $\sqrt{64} = 8$

• احسب $\frac{-15}{-8} = \frac{15}{8}$

• بسّط $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$

⚠️ القيمة المطلقة:

• $|x| = x$ إذا كان $x \geq 0$

• $|x| = -x$ إذا كان $x < 0$

• $|x|$ دائماً موجب أو صفر

للسؤال 1):

• اكتب جميع عناصر $A$ بشكل مبسط

• حدد أي منها ينتمي للمجموعة المطلوبة

للسؤال 2):

• احسب $|x|$ لكل عنصر في $A$

• $|x| = x$ يعني $x$ موجب أو صفر

• $|x| = -x$ يعني $x$ سالب أو صفر

?? منهجية الحل

1) خطوات تحديد التقاطع:

الخطوة 1: بسّط جميع عناصر المجموعة $A$

الخطوة 2: افحص كل عنصر وحدد إن كان ينتمي للمجموعة المطلوبة

الخطوة 3: اكتب العناصر المشتركة

2) خطوات إيجاد المجموعات بشرط القيمة المطلقة:

الخطوة 1: احسب $|x|$ لكل عنصر

الخطوة 2: قارن مع القيمة المطلوبة

الخطوة 3: اكتب العناصر التي تحقق الشرط

✅ الحل النهائي الكامل

📝 أولاً: نبسط عناصر المجموعة A:

  • $\dfrac{13}{6}$ (لا يمكن تبسيطه)
  • $\dfrac{-4}{3}$ (لا يمكن تبسيطه)
  • $-12$ (عدد صحيح)
  • $\dfrac{-9}{5}$ (لا يمكن تبسيطه)
  • $0$ (الصفر)
  • $\sqrt{64} = 8$
  • $\dfrac{-15}{-8} = \dfrac{15}{8}$
  • $\dfrac{+4}{3} = \dfrac{4}{3}$
$$A = \left\{\frac{13}{6}; \frac{-4}{3}; -12; \frac{-9}{5}; 0; 8; \frac{15}{8}; \frac{4}{3}\right\}$$

1) تحديد المجموعات:

🔹 $A \cap \mathbb{Q}_+$: (الأعداد الكسرية الموجبة)

نحدد الأعداد الموجبة من $A$:

  • $\dfrac{13}{6} > 0$ ✓
  • $\dfrac{-4}{3} < 0$ ✗
  • $-12 < 0$ ✗
  • $\dfrac{-9}{5} < 0$ ✗
  • $0$ ليس موجباً ✗
  • $8 > 0$ ✓
  • $\dfrac{15}{8} > 0$ ✓
  • $\dfrac{4}{3} > 0$ ✓

✓ الجواب:

$$A \cap \mathbb{Q}_+ = \left\{\frac{13}{6}; 8; \frac{15}{8}; \frac{4}{3}\right\}$$

🔹 $A \cap \mathbb{N}^*$: (الأعداد الطبيعية غير المعدومة)

$\mathbb{N}^* = \{1, 2, 3, 4, 5, ...\}$

نبحث عن أعداد طبيعية (صحيحة موجبة) في $A$:

  • $\dfrac{13}{6} \approx 2.17$ ليس صحيحاً ✗
  • $\dfrac{-4}{3}$ ليس موجباً ✗
  • $-12$ ليس موجباً ✗
  • $\dfrac{-9}{5}$ ليس موجباً ✗
  • $0 \notin \mathbb{N}^*$ ✗
  • $8 \in \mathbb{N}^*$ ✓
  • $\dfrac{15}{8} = 1.875$ ليس صحيحاً ✗
  • $\dfrac{4}{3} \approx 1.33$ ليس صحيحاً ✗

✓ الجواب: $A \cap \mathbb{N}^* = \{8\}$

🔹 $A \cap \mathbb{Z}$: (الأعداد الصحيحة النسبية)

نبحث عن أعداد صحيحة في $A$:

  • $\dfrac{13}{6}$ ليس صحيحاً ✗
  • $\dfrac{-4}{3}$ ليس صحيحاً ✗
  • $-12 \in \mathbb{Z}$ ✓
  • $\dfrac{-9}{5}$ ليس صحيحاً ✗
  • $0 \in \mathbb{Z}$ ✓
  • $8 \in \mathbb{Z}$ ✓
  • $\dfrac{15}{8}$ ليس صحيحاً ✗
  • $\dfrac{4}{3}$ ليس صحيحاً ✗

✓ الجواب: $A \cap \mathbb{Z} = \{-12; 0; 8\}$

🔹 $A \cap ID_-$: (الأعداد العشرية السالبة)

نبحث عن أعداد عشرية سالبة في $A$:

  • $\dfrac{13}{6}$ ليس سالباً ✗
  • $\dfrac{-4}{3}$ سالب لكن ليس عشرياً (مقامه 3) ✗
  • $-12$ سالب وعشري (صحيح) ✓
  • $\dfrac{-9}{5} = -1.8$ سالب وعشري ✓
  • $0$ ليس سالباً ✗
  • $8$ ليس سالباً ✗
  • $\dfrac{15}{8}$ ليس سالباً ✗
  • $\dfrac{4}{3}$ ليس سالباً ✗

✓ الجواب: $A \cap ID_- = \left\{-12; \dfrac{-9}{5}\right\}$

2) إيجاد المجموعات بشرط القيمة المطلقة:

🔹 المجموعة M: $M = \{x \in A; |x| = 1.8\}$

نبحث عن عناصر $A$ التي قيمتها المطلقة تساوي $1.8 = \dfrac{9}{5}$

نحسب $|x|$ لكل عنصر:

  • $\left|\dfrac{13}{6}\right| = \dfrac{13}{6} \approx 2.17$ ✗
  • $\left|\dfrac{-4}{3}\right| = \dfrac{4}{3} \approx 1.33$ ✗
  • $|-12| = 12$ ✗
  • $\left|\dfrac{-9}{5}\right| = \dfrac{9}{5} = 1.8$ ✓
  • $|0| = 0$ ✗
  • $|8| = 8$ ✗
  • $\left|\dfrac{15}{8}\right| = \dfrac{15}{8} = 1.875$ ✗
  • $\left|\dfrac{4}{3}\right| = \dfrac{4}{3} \approx 1.33$ ✗

✓ الجواب: $M = \left\{\dfrac{-9}{5}\right\}$

🔹 المجموعة N: $N = \left\{x \in A; |x| = \dfrac{12}{21}\right\}$

أولاً نبسط: $\dfrac{12}{21} = \dfrac{4}{7}$

نبحث عن عناصر $A$ التي قيمتها المطلقة تساوي $\dfrac{4}{7} \approx 0.571$

نحسب $|x|$ لكل عنصر ونقارن مع $\dfrac{4}{7}$:

لا يوجد أي عنصر في $A$ قيمته المطلقة تساوي $\dfrac{4}{7}$

✓ الجواب: $N = \emptyset$ (المجموعة الخالية)

🔹 المجموعة P: $P = \{x \in \mathbb{Q}; |x| = x\}$

تحليل:

$|x| = x$ يتحقق إذا وفقط إذا كان $x \geq 0$

لأن:

  • إذا كان $x \geq 0$، فإن $|x| = x$ ✓
  • إذا كان $x < 0$، فإن $|x| = -x \neq x$ ✗

✓ الجواب: $P = \mathbb{Q}_+ \cup \{0\}$

(جميع الأعداد الكسرية الموجبة والصفر)

أو نكتب: $P = \{x \in \mathbb{Q}; x \geq 0\}$

🔹 المجموعة R: $R = \{x \in A; |x| = -x\}$

تحليل:

$|x| = -x$ يتحقق إذا وفقط إذا كان $x \leq 0$

لأن:

  • إذا كان $x < 0$، فإن $|x| = -x$ ✓
  • إذا كان $x = 0$، فإن $|0| = 0 = -0$ ✓
  • إذا كان $x > 0$، فإن $|x| = x \neq -x$ ✗

نحدد العناصر السالبة أو المعدومة من $A$:

  • $\dfrac{13}{6} > 0$ ✗
  • $\dfrac{-4}{3} < 0$ ✓
  • $-12 < 0$ ✓
  • $\dfrac{-9}{5} < 0$ ✓
  • $0 = 0$ ✓
  • $8 > 0$ ✗
  • $\dfrac{15}{8} > 0$ ✗
  • $\dfrac{4}{3} > 0$ ✗

✓ الجواب:

$$R = \left\{\frac{-4}{3}; -12; \frac{-9}{5}; 0\right\}$$