$\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\}$
$\mathbb{Q}_+ \cap ID$
$ID^* \cap \mathbb{Z}_-$
$ID_+ \cup \mathbb{Q}$
$\mathbb{N} \text{.....} \mathbb{Q}^*$
$\mathbb{Z} \text{.....} \mathbb{Q}_-$
$\dfrac{-7}{-2} \text{.....} \mathbb{Z}_+$
$ID \text{.....} \mathbb{Q}^*$
| $\dfrac{12}{75}$ | $\dfrac{-13}{20}$ |
| $\dfrac{-183}{45}$ | $\dfrac{-105}{-168}$ |
لم تبدأ بعد
⚠️ تذكير بالمجموعات:
• $\mathbb{N}$: الطبيعية | $\mathbb{Z}$: الصحيحة | $ID$: العشرية | $\mathbb{Q}$: الكسرية.
• $\mathbb{Q}_-$: الأعداد الكسرية **السالبة**. | $\mathbb{Q}^*$: الأعداد الكسرية **غير المعدومة**.
• $\frac{|-3|}{2} = \frac{3}{2}$ (عدد موجب)
للسؤال 1): التقاطع $\cap$ يعني العناصر المشتركة. الاتحاد $\cup$ يعني كل العناصر. تذكر أن $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset ID \subset \mathbb{Q}$.
للسؤال 2): استخدم $\in / \notin$ لـ "عدد ومجموعة" و $\subset / \not\subset$ لـ "مجموعة ومجموعة".
للسؤال 3): العدد الكسري يكون عشرياً إذا كان **مقامه** (بعد الاختزال) يحتوي فقط على عوامل **2 و 5**. بسّط الكسور جيداً قبل الحكم على المقام.
1) تحديد المجموعات:
• للتقاطع: استبعد العناصر التي لا تحقق شروط المجموعتين.
• للاتحاد: $\mathbb{Q}$ هي المجموعة الأكبر، وبما أن $ID_+ \subset \mathbb{Q}$، فإن الاتحاد يساوي المجموعة الأكبر.
2) الانتماء والاحتواء:
• $\mathbb{N} \text{.....} \mathbb{Q}^*$: هل $0 \in \mathbb{Q}^*$؟ (لا!)
• $\mathbb{Z} \text{.....} \mathbb{Q}_-$: هل كل الأعداد الصحيحة سالبة؟ (لا!)
• $\dfrac{-7}{-2} \text{.....} \mathbb{Z}_+$: بسّط الكسر أولاً: $\frac{7}{2} = 3.5$. هل $3.5$ عدد صحيح؟
3) الأعداد العشرية:
• الخطوة الأولى: بسّط كل كسر إلى أقصى حد.
• الخطوة الثانية: حلل المقام. إن كان $\mathbf{2^a \times 5^b}$ فهو عشري.
• الخطوة الثالثة: اكتبه على الصيغة $10^n$ (اضرب البسط والمقام في القوة المناسبة لـ 2 أو 5).
1) تحديد المجموعات:
🔹 $\mathbb{Q}_- \cap \left\{-1; 0; \frac{-15}{4}; \frac{|-3|}{2}\right\}$:
الأعداد السالبة في المجموعة هي: $-1$ و $\frac{-15}{4}$. (لأن $0$ ليس سالباً و $\frac{|-3|}{2} = \frac{3}{2}$ موجب).
✓ الجواب: $\left\{-1; \frac{-15}{4}\right\}$
🔹 $\mathbb{Q}_+ \cap ID$:
هي الأعداد العشرية التي هي موجبة أيضاً. $ID$ (العشرية) $\subset \mathbb{Q}$ (الكسرية).
✓ الجواب: $ID_+$
🔹 $ID^* \cap \mathbb{Z}_-$:
$ID^*$ هي الأعداد العشرية غير المعدومة. $\mathbb{Z}_-$ هي الأعداد الصحيحة السالبة. كل عدد صحيح سالب هو عدد عشري غير معدوم.
✓ الجواب: $\mathbb{Z}_-$
🔹 $ID_+ \cup \mathbb{Q}$:
بما أن $ID_+ \subset \mathbb{Q}$، فإن الاتحاد هو المجموعة الأكبر.
✓ الجواب: $\mathbb{Q}$
---
2) إكمال الفراغ:
🔹 $\mathbb{N} \text{.....} \mathbb{Q}^*$: لا! لأن $0 \in \mathbb{N}$ و $0 \notin \mathbb{Q}^*$.
✓ الجواب: $\not\subset$
🔹 $\mathbb{Z} \text{.....} \mathbb{Q}_-$: لا! لأن $\mathbb{Z}$ فيها أعداد موجبة (مثل 1) ليست في $\mathbb{Q}_-$.
✓ الجواب: $\not\subset$
🔹 $\dfrac{-7}{-2} \text{.....} \mathbb{Z}_+$: $\frac{-7}{-2} = \frac{7}{2} = 3.5$. العدد $3.5$ ليس عدداً صحيحاً.
✓ الجواب: $\notin$
🔹 $ID \text{.....} \mathbb{Q}^*$: لا! لأن $0 \in ID$ و $0 \notin \mathbb{Q}^*$.
✓ الجواب: $\not\subset$
---
3) تحديد الأعداد العشرية وكتابتها على صيغة $\dfrac{a}{10^n}$:
🔹 $\dfrac{12}{75}$: نختزل: $\frac{12 \div 3}{75 \div 3} = \frac{4}{25}$. المقام $25 = 5^2$.
✓ عشري: $\dfrac{16}{10^2}$
🔹 $\dfrac{-13}{20}$: لا يمكن اختزاله. المقام $20 = 2^2 \times 5$.
✓ عشري: $\dfrac{-65}{10^2}$
🔹 $\dfrac{-183}{45}$: نختزل: $\frac{-183 \div 3}{45 \div 3} = \frac{-61}{15}$. المقام $15 = 3 \times 5$.
⚠️ ملاحظة: المقام يحتوي على العامل **3**.
✗ ليس عشرياً
🔹 $\dfrac{-105}{-168}$: نختزل: $\frac{105 \div 21}{168 \div 21} = \frac{5}{8}$. المقام $8 = 2^3$.
✓ عشري: $\dfrac{625}{10^3}$
نعتبر المجموعة:
$A \cap \mathbb{Q}_+$
$A \cap \mathbb{N}^*$
$A \cap \mathbb{Z}$
$A \cap ID_-$
$M = \left\{x \in A; \quad |x| = 1.8\right\}$
$N = \left\{x \in A; \quad |x| = \frac{12}{21}\right\}$
$P = \left\{x \in \mathbb{Q}; \quad |x| = x\right\}$
$R = \left\{x \in A; \quad |x| = -x\right\}$
لم تبدأ بعد
⚠️ تبسيط عناصر $A$ أولاً:
• $\sqrt{64} = 8$
• $\frac{-15}{-8} = \frac{15}{8}$
• $\frac{+4}{3} = \frac{4}{3}$
• $1.8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$
• $\frac{12}{21} = \frac{4}{7}$
للسؤال 1):
• $ID_-$: الأعداد العشرية **السالبة**.
• $\frac{-4}{3}$ و $\frac{4}{3}$ ليسا عشريين لأن مقامهما 3.
للسؤال 2):
• $|x| = x$ تعني $x \geq 0$ (موجب أو صفر).
• $|x| = -x$ تعني $x \leq 0$ (سالب أو صفر).
1) تحديد التقاطع:
الخطوة 1: بسّط $A = \left\{\frac{13}{6}; \frac{-4}{3}; -12; \frac{-9}{5}; 0; 8; \frac{15}{8}; \frac{4}{3}\right\}$.
الخطوة 2: حدد الأعداد **الصحيحة** في $A$: $\{-12, 0, 8\}$.
الخطوة 3: حدد الأعداد **العشرية** في $A$: $\left\{-12; \frac{-9}{5} = -1.8; 0; 8; \frac{15}{8} = 1.875\right\}$.
الخطوة 4: أجب على كل تقاطع بناءً على العلامة (موجب، سالب، غير معدوم).
2) القيمة المطلقة:
• للمجموعتين $M$ و $N$: ابحث عن عناصر $x \in A$ حيث $|x|$ يساوي القيمة المطلوبة.
• للمجموعة $P$: الشرط $|x| = x$ يحدد مجموعة الأعداد الكسرية $\mathbb{Q}$ التي هي $\mathbf{\geq 0}$ (موجبة أو صفر).
• للمجموعة $R$: الشرط $|x| = -x$ يحدد مجموعة العناصر $x \in A$ التي هي $\mathbf{\leq 0}$ (سالبة أو صفر).
📝 عناصر المجموعة A بعد التبسيط:
1) تحديد المجموعات:
🔹 $A \cap \mathbb{Q}_+$: (الأعداد الكسرية الموجبة)
نستبعد الأعداد السالبة ($-12, \frac{-4}{3}, \frac{-9}{5}$) والصفر.
✓ الجواب: $\left\{\frac{13}{6}; 8; \frac{15}{8}; \frac{4}{3}\right\}$
🔹 $A \cap \mathbb{N}^*$: (الأعداد الطبيعية غير المعدومة)
نبحث عن أعداد صحيحة موجبة في $A$ غير الصفر.
✓ الجواب: $\{8\}$
🔹 $A \cap \mathbb{Z}$: (الأعداد الصحيحة النسبية)
نبحث عن الأعداد الصحيحة في $A$.
✓ الجواب: $\{-12; 0; 8\}$
🔹 $A \cap ID_-$: (الأعداد العشرية السالبة)
الأعداد العشرية في $A$ هي: $-12, \frac{-9}{5}, 0, 8, \frac{15}{8}$. السالبة منها هي: $-12, \frac{-9}{5}$.
✓ الجواب: $\left\{-12; \frac{-9}{5}\right\}$
---
2) إيجاد المجموعات بشرط القيمة المطلقة:
🔹 $M = \left\{x \in A; \quad |x| = 1.8 = \frac{9}{5}\right\}$:
القيم في $A$ التي تحقق $|x| = \frac{9}{5}$ هي $\frac{9}{5}$ و $\frac{-9}{5}$. فقط $\frac{-9}{5}$ موجود في $A$.
✓ الجواب: $M = \left\{\frac{-9}{5}\right\}$
🔹 $N = \left\{x \in A; \quad |x| = \frac{12}{21} = \frac{4}{7}\right\}$:
القيم في $A$ التي تحقق $|x| = \frac{4}{7}$ هي $\frac{4}{7}$ و $\frac{-4}{7}$. كلاهما غير موجود في $A$.
✓ الجواب: $N = \emptyset$ (المجموعة الخالية)
🔹 $P = \left\{x \in \mathbb{Q}; \quad |x| = x\right\}$:
الشرط $|x| = x$ يعني أن $x$ **موجب أو صفر**.
✓ الجواب: $P = \mathbb{Q}_+$ أو $P = \{x \in \mathbb{Q}; x \geq 0\}$
🔹 $R = \left\{x \in A; \quad |x| = -x\right\}$:
الشرط $|x| = -x$ يعني أن $x$ **سالب أو صفر**. وهي الأعداد: $\frac{-4}{3}, -12, \frac{-9}{5}, 0$.
✓ الجواب: $R = \left\{\frac{-4}{3}; -12; \frac{-9}{5}; 0\right\}$