مجموعة الأعداد الكسرية النسبية

نبحث عن العناصر الموجودة في كلا المجموعتين:

المجموعة A: $$\{-4; -3; 0; 11; 5; 6; 7\}$$

المجموعة B: $$\{-71; -33; -5; -4; -3; -20; -1; 0; 11; 2; 3\}$$

العناصر المشتركة: $$-4, -3, 0, 11$$

نجمع كل العناصر من المجموعتين (دون تكرار):

نبحث عن العناصر الموجبة الصرف في المجموعة A:

من المجموعة A: $$\{-4; -3; 0; 11; 5; 6; 7\}$$

الأعداد الموجبة الصرف: $$11, 5, 6, 7$$

نبحث عن العناصر السالبة الصرف في المجموعة B:

من المجموعة B: $$\{-71; -33; -5; -4; -3; -20; -1; 0; 11; 2; 3\}$$

الأعداد السالبة الصرف: $$-71, -33, -5, -4, -3, -20, -1$$

أ) $$A \cap B$$ :

العناصر المشتركة بين A و B:

• $$\frac{5}{6}$$ موجود في A و B ✓

• $$4$$ موجود في A و B ✓

• $$-3$$ موجود في A و B ✓

• $$\frac{2}{10} = \frac{1}{5}$$ موجود في B كـ $$\frac{2}{10}$$ وفي A كـ $$\frac{1}{5}$$ ✓

ب) $$A \cap C$$ :

لا توجد عناصر مشتركة بين A و C

ج) $$B \cap C$$ :

لا توجد عناصر مشتركة بين B و C

د) $$A \cap B \cap C$$ :

بما أن $$A \cap C = \emptyset$$، فإن:

أ) $$A \cup B$$ :

ب) $$A \cup C$$ :

ج) $$B \cup C$$ :

د) $$A \cup B \cup C$$ :

أ) $$(A \cup B) \cap C$$ :

نأخذ العناصر المشتركة بين $$(A \cup B)$$ و $$C$$

بما أن $$A \cap C = \emptyset$$ و $$B \cap C = \emptyset$$، فإن:

ب) $$A \cup (B \cap C)$$ :

بما أن $$B \cap C = \emptyset$$، فإن:

أولاً، نبسط الكسور:

• $$-\frac{15}{3} = -5$$
• $$-\frac{8}{4} = -2$$

إذن المجموعة تصبح:

الأعداد الطبيعية: $$0, 6, 8$$

الأعداد الصحيحة: $$-4, -5, 6, 8, 0, -2$$

الأعداد الصحيحة الموجبة الصرف: $$6, 8$$

الأعداد الصحيحة السالبة الصرف: $$-4, -5, -2$$

الكسور الموجبة: $$\frac{17}{9}, 6, \frac{13}{20}, 8$$

الكسور السالبة: $$-4, -5, -2$$

1) $$\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}_- = \emptyset$$

التفسير: الأعداد الطبيعية موجبة أو صفر، والأعداد الصحيحة السالبة الصرف سالبة، لذا لا يوجد تقاطع.

2) $$\mathbb{N} \cap \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}_+ = \{1; 2; 3; ...\}$$

التفسير: الأعداد الصحيحة الموجبة الصرف موجودة في الأعداد الطبيعية.

3) $$\mathbb{N} \cap \mathbb{Q}_- = \emptyset$$

التفسير: الأعداد الطبيعية موجبة أو صفر، والأعداد الكسرية السالبة الصرف سالبة.

4) $$\mathbb{N} \cap \mathbb{ID} = \mathbb{N}$$

التفسير: $$\mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$ وكل عدد طبيعي هو عدد صحيح.

5) $$\mathbb{Z}_- \cap \mathbb{Q}_+ = \emptyset$$

التفسير: الأعداد الصحيحة السالبة لا يمكن أن تكون موجبة.

6) $$\mathbb{Q}_- \cap \mathbb{ID}_+ = \emptyset$$

التفسير: الأعداد الكسرية السالبة لا يمكن أن تكون موجبة.

7) $$\mathbb{ID} \cap \mathbb{Q}_+ = \mathbb{Z}_+$$

التفسير: $$\mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$ والتقاطع مع الموجبة يعطي الأعداد الصحيحة الموجبة.

8) $$\mathbb{Z} \cap \mathbb{N} = \mathbb{N}$$

التفسير: كل عدد طبيعي هو عدد صحيح.

9) $$\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_- = \mathbb{Q}^*$$

التفسير: اتحاد الموجبة والسالبة يعطي كل الأعداد الكسرية عدا الصفر.

10) $$\mathbb{Z}_+ \cup \mathbb{Z}_- = \mathbb{Z}^*$$

التفسير: اتحاد الموجبة والسالبة يعطي كل الأعداد الصحيحة عدا الصفر.

11) $$\mathbb{Z} \cap \mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$

التفسير: $$\mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$ لذا التقاطع يعطي نفس المجموعة.

12) $$\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Q}_- = \emptyset$$

التفسير: لا يمكن لعدد أن يكون موجباً وسالباً في نفس الوقت.

13) $$\mathbb{Z} \cup \mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$

التفسير: $$\mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$ لذا الاتحاد يعطي نفس المجموعة.

14) $$\mathbb{Z}_+ \cup \mathbb{Z}_- \cup \{0\} = \mathbb{Z}$$

التفسير: اتحاد الموجبة والسالبة والصفر يعطي كل الأعداد الصحيحة.

15) $$\mathbb{Z}_- \cup \mathbb{Z}_+ = \mathbb{Z}^*$$

التفسير: اتحاد الموجبة والسالبة يعطي كل الأعداد الصحيحة عدا الصفر.

16) $$\mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$

التفسير: $$\mathbb{ID}$$ هو رمز آخر لمجموعة الأعداد الصحيحة النسبية.

1) $$\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Z}_-$$

التفسير: الأعداد الطبيعية تحتوي على أعداد موجبة والصفر، بينما $$\mathbb{Z}_-$$ سالبة فقط.

2) $$\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Q}_+$$

التفسير: الصفر موجود في $$\mathbb{N}$$ لكن غير موجود في $$\mathbb{Q}_+$$ (الموجبة الصرف).

3) $$\mathbb{N} \not\subset \mathbb{Q}_-$$

التفسير: الأعداد الطبيعية موجبة أو صفر، و$$\mathbb{Q}_-$$ سالبة فقط.

4) $$\mathbb{ID} \not\subset \mathbb{N}$$

التفسير: $$\mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$ يحتوي على أعداد سالبة غير موجودة في $$\mathbb{N}$$.

5) $$\mathbb{Z} \not\subset \mathbb{N}$$

التفسير: $$\mathbb{Z}$$ يحتوي على أعداد سالبة غير موجودة في $$\mathbb{N}$$.

6) $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$$

التفسير: كل عدد طبيعي هو عدد صحيح.

7) $$\mathbb{ID}_- \subset \mathbb{ID}$$

التفسير: الأعداد الصحيحة السالبة جزء من الأعداد الصحيحة.

8) $$\mathbb{ID}_+ \subset \mathbb{ID}$$

التفسير: الأعداد الصحيحة الموجبة جزء من الأعداد الصحيحة.

9) $$\mathbb{ID}_+ \subset \mathbb{Q}_+$$

التفسير: كل عدد صحيح موجب هو عدد كسري موجب.

10) $$\mathbb{ID}_- \subset \mathbb{Q}_-$$

التفسير: كل عدد صحيح سالب هو عدد كسري سالب.

11) $$\mathbb{ID} \subset \mathbb{Q}$$

التفسير: كل عدد صحيح هو عدد كسري نسبي.

12) $$\mathbb{Z}_- \subset \mathbb{Q}_-$$

التفسير: كل عدد صحيح سالب هو عدد كسري سالب.

13) $$\mathbb{Z}_+ \subset \mathbb{Q}_+$$

التفسير: كل عدد صحيح موجب هو عدد كسري موجب.

14) $$\mathbb{Z} = \mathbb{ID}$$

التفسير: $$\mathbb{ID}$$ هو رمز آخر لمجموعة الأعداد الصحيحة.

15) $$\mathbb{Q}_+ \not\subset \mathbb{Q}_-$$

التفسير: الأعداد الموجبة لا يمكن أن تكون جزءاً من الأعداد السالبة.

16) $$\mathbb{ID}_+ = \mathbb{Z}_+$$

التفسير: $$\mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$ لذا $$\mathbb{ID}_+ = \mathbb{Z}_+$$.

17) $$\mathbb{ID}_- = \mathbb{Z}_-$$

التفسير: $$\mathbb{ID} = \mathbb{Z}$$ لذا $$\mathbb{ID}_- = \mathbb{Z}_-$$.

18) $$\mathbb{Q}_+ \not\subset \mathbb{Q}_-$$

التفسير: الأعداد الموجبة لا يمكن أن تكون جزءاً من الأعداد السالبة.

19) $$\mathbb{Q}_+ \cup \mathbb{Q}_- \subset \mathbb{Q}$$

التفسير: اتحاد الموجبة والسالبة جزء من كل الأعداد الكسرية (ينقص الصفر).