الدرس الأول: مجموعة الأعداد الكسرية النسبية
تذكير بالمجموعات الأساسية:
• $$\mathbb{N}$$ = مجموعة الأعداد الطبيعية (0، 1، 2، 3، ...)
• $$\mathbb{Z}$$ = مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية (...، -2، -1، 0، 1، 2، ...)
• $$\mathbb{D}$$ = مجموعة الأعداد العشرية (مثل: 2.5، -1.75، 0.125)
• $$\mathbb{Q}$$ = مجموعة الأعداد الكسرية النسبية (كل عدد يمكن كتابته على شكل $$\frac{a}{b}$$ حيث $$a \in \mathbb{Z}$$ و $$b \in \mathbb{Z}^*$$)
★ تمرين عدد 1
أتمم بأحد الرمزين "$$\in$$" أو "$$\notin$$":
$$-3.1 \ldots \mathbb{D}$$ (1) ؛ $$\frac{13}{4} \ldots \mathbb{D}$$ (2) ؛ $$\frac{17}{5} \ldots \mathbb{D}$$ (3)
$$-(-5) \ldots \mathbb{D}$$ (4) ؛ $$\frac{35}{5} \ldots \mathbb{D}$$ (5) ؛ $$-\frac{11}{7} \ldots \mathbb{D}$$ (6)
إظهار/إخفاء التصحيح
🔍 التصحيح المفصل:
أولاً: فهم العدد العشري
العدد العشري هو عدد يمكن كتابته على شكل $$\frac{a}{10^n}$$ حيث $$a \in \mathbb{Z}$$ و $$n \in \mathbb{N}$$
مثال توضيحي:
$$2.5 = \frac{25}{10} = \frac{25}{10^1}$$ ← عدد عشري
$$0.125 = \frac{125}{1000} = \frac{125}{10^3}$$ ← عدد عشري
$$\frac{1}{3} = 0.333...$$ ← ليس عدد عشري (تطوير لا نهائي غير دوري)
الحلول:
(1) $$-3.1 \in \mathbb{D}$$ لأن $$-3.1 = \frac{-31}{10}$$
(2) $$\frac{13}{4} \in \mathbb{D}$$ لأن $$\frac{13}{4} = \frac{13 \times 25}{4 \times 25} = \frac{325}{100} = 3.25$$
(3) $$\frac{17}{5} \in \mathbb{D}$$ لأن $$\frac{17}{5} = \frac{17 \times 2}{5 \times 2} = \frac{34}{10} = 3.4$$
(4) $$-(-5) = 5 \in \mathbb{D}$$ لأن $$5 = \frac{5}{1} = \frac{50}{10}$$
(5) $$\frac{35}{5} = 7 \in \mathbb{D}$$ لأن $$7 = \frac{70}{10}$$
(6) $$-\frac{11}{7} \notin \mathbb{D}$$ لأن 7 لا يحتوي على عوامل أولية غير 2 و 5
قاعدة مهمة:
الكسر $$\frac{a}{b}$$ (في أبسط صورة) يكون عشرياً إذا وفقط إذا كان مقامه $$b$$ من الشكل $$2^m \times 5^n$$ حيث $$m, n \in \mathbb{N}$$
★ تمرين عدد 2
تعتبر المجموعة العددية $$A = \left\{11 ; \frac{1}{8} ; \frac{13}{25} ; -3 ; +\frac{9}{2} ; \frac{15}{3}\right\}$$
حدد عناصر المجموعات التالية:
$$A \cap \mathbb{Z}_- = \ldots$$ ؛ $$A \cap \mathbb{Z}_+ = \ldots$$
$$A \cap \mathbb{D}_- = \ldots$$ ؛ $$A \cap \mathbb{D}_+ = \ldots$$
إظهار/إخفاء التصحيح
🔍 التصحيح المفصل:
الخطوة 1: تبسيط عناصر المجموعة A
• $$11$$ ← عدد طبيعي
• $$\frac{1}{8} = 0.125$$ ← عدد عشري موجب
• $$\frac{13}{25} = \frac{13 \times 4}{25 \times 4} = \frac{52}{100} = 0.52$$ ← عدد عشري موجب
• $$-3$$ ← عدد صحيح سالب
• $$+\frac{9}{2} = 4.5$$ ← عدد عشري موجب
• $$\frac{15}{3} = 5$$ ← عدد طبيعي
تذكير:
• $$\mathbb{Z}_+$$ = الأعداد الصحيحة الموجبة {1, 2, 3, ...}
• $$\mathbb{Z}_-$$ = الأعداد الصحيحة السالبة {..., -3, -2, -1}
• $$\mathbb{D}_+$$ = الأعداد العشرية الموجبة
• $$\mathbb{D}_-$$ = الأعداد العشرية السالبة
الحلول:
• $$A \cap \mathbb{Z}_- = \{-3\}$$
• $$A \cap \mathbb{Z}_+ = \{11, 5\}$$
• $$A \cap \mathbb{D}_- = \{\}$$ (مجموعة فارغة لأنه لا توجد أعداد عشرية سالبة في A)
• $$A \cap \mathbb{D}_+ = \{0.125, 0.52, 4.5\}$$ أو $$\left\{\frac{1}{8}, \frac{13}{25}, \frac{9}{2}\right\}$$
★ تمرين عدد 3
حدد الأعداد العشرية النسبية من بين الأعداد التالية و اكتبها على صورة $$\frac{a}{10^n}$$ حيث $$a$$ و $$n$$ عددان صحيحان:
$$\frac{7}{3}$$ ؛ $$\frac{25}{12}$$ ؛ $$-8$$ ؛ $$\frac{38}{15}$$ ؛ $$\frac{-13}{24}$$ ؛ $$+\frac{13}{-21}$$ ؛ $$\frac{-9}{25}$$
إظهار/إخفاء التصحيح
🔍 التصحيح المفصل:
طريقة التحقق من العدد العشري:
فحص كل عدد:
• $$\frac{7}{3}$$: المقام 3 = 3¹ ← ليس عشري
• $$\frac{25}{12}$$: $$12 = 2^2 \times 3$$ ← ليس عشري (يحتوي على 3)
• $$-8 = \frac{-8}{1}$$: المقام 1 ← عشري
• $$\frac{38}{15}$$: $$15 = 3 \times 5$$ ← ليس عشري (يحتوي على 3)
• $$\frac{-13}{24}$$: $$24 = 2^3 \times 3$$ ← ليس عشري (يحتوي على 3)
• $$\frac{13}{-21} = -\frac{13}{21}$$: $$21 = 3 \times 7$$ ← ليس عشري
• $$\frac{-9}{25}$$: $$25 = 5^2$$ ← عشري
الأعداد العشرية وتحويلها:
• $$-8 = \frac{-8}{1} = \frac{-80}{10} = \frac{-8}{10^1}$$
• $$\frac{-9}{25} = \frac{-9 \times 4}{25 \times 4} = \frac{-36}{100} = \frac{-36}{10^2}$$
ملاحظة مهمة للطلاب: هذه التمارين تهدف إلى تطوير فهم الطلاب لمجموعات الأعداد المختلفة وخصائصها الرياضية. تأكد من فهم كل مفهوم قبل الانتقال للتمرين التالي. انقر على زر "إظهار/إخفاء التصحيح" لرؤية الحلول المفصلة.
ملخص المفاهيم الأساسية:
1- كيفية التحقق من العدد العشري:
الكسر $$\frac{a}{b}$$ (في أبسط صورة) عشري ⟺ المقام $$b$$ من الشكل $$2^m \times 5^n$$
2- القيمة المطلقة:
• $$|a| \geq 0$$ دائماً
• إذا كان $$|x| = a$$ حيث $$a > 0$$، فإن $$x = a$$ أو $$x = -a$$
• إذا كان $$|x| = a$$ حيث $$a < 0$$، فلا يوجد حل
3- العلاقات بين المجموعات:
$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}$$
4- نصائح للحل:
• اختزل الكسور قبل فحص العشرية
• استخدم التحليل إلى عوامل أولية لفهم بنية المقام
• تذكر أن كل عدد صحيح هو عدد عشري
• انتبه للرموز: $$\mathbb{Q}^*$$ تعني "بدون الصفر"، $$\mathbb{Q}_+$$ تعني "الموجبة فقط"
للمعلمين: اقتراحات تعليمية
• ابدأ بأمثلة بسيطة وانتقل تدريجياً للمعقد
• استخدم التمثيل البصري على المستقيم المدرج
• أكد على أهمية الاختزال قبل فحص العشرية
• اربط المفاهيم بالحياة العملية (قياسات، نقود، إحصائيات)
• شجع الطلاب على التحقق من إجاباتهم بطرق مختلفة