مجموعة الأعداد الكسرية النسبية

المدرسة الإعدادية النموذجية - ضفاف البحيرة

الأستاذ: دفواراتي - 8 أساسي

التمرين رقم 1

\(A = \left\{-\frac{3}{2}, 0, -2, -\frac{7}{6}, \frac{6}{15}, \frac{3}{-20}, -\frac{12}{15}, \frac{4}{3}, -\frac{6}{15}, \frac{-12}{-2}\right\}\)

1) أكمل بأحد الرموز \(\in\), \(\notin\), \(\subset\), \(\not\subset\):

\(-1.5\) ..... \(A\) ; \(\frac{7}{6}\) ..... \(A\)

\(\left\{5; -2; \frac{4}{3}\right\}\) ..... \(A\) ; \(\left\{6; \frac{-2}{8}, \frac{8}{15}, 6\right\}\) ..... \(A\)

\(\left\{\frac{7}{5}, \frac{2}{3}, -4\right\}\) ..... \(\mathbb{D}\)

\(\left\{0, -\frac{3}{2}, \frac{-5}{-7}\right\}\) ..... \(\mathbb{Q}\)

\(\left\{\frac{21}{7}, -3; \frac{5}{4}\right\}\) ..... \(\mathbb{D}\)

2) حدد المجموعات التالية:

\(A \cap \mathbb{Z}\)

\(A \cap \mathbb{Q}_+\)

\(A \cap \mathbb{Q}\)

\(\mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{D}\)

\(\mathbb{D}_- \cup \mathbb{Q}\)

\(\mathbb{Z}_- \cup \mathbb{D}_+\)

3) حدد الأعداد العشرية من بين عناصر A واكتبها على شكل \(\frac{a}{10^n}\)

4) حدد المجموعات التالية:

\(E = \left\{x \in \mathbb{Q}; |x| = \frac{3}{2}\right\}\)

\(F = \left\{x \in A; |x| = -\frac{7}{6}\right\}\)

\(G = \left\{x \in A; |-x| = -\frac{6}{45}\right\}\)

\(H = \{x \in A; |x| = -x\}\)

الحل المفصل للتمرين 1:

أولاً: دعنا نبسط مجموعة A:

\(\frac{6}{15} = \frac{2}{5}\)
\(\frac{3}{-20} = -\frac{3}{20}\)
\(-\frac{12}{15} = -\frac{4}{5}\)
\(-\frac{6}{15} = -\frac{2}{5}\)
\(\frac{-12}{-2} = 6\)

إذن: \(A = \left\{-\frac{3}{2}, 0, -2, -\frac{7}{6}, \frac{2}{5}, -\frac{3}{20}, -\frac{4}{5}, \frac{4}{3}, -\frac{2}{5}, 6\right\}\)

بعد حذف المتكررات: \(A = \left\{-\frac{3}{2}, 0, -2, -\frac{7}{6}, \frac{2}{5}, -\frac{3}{20}, -\frac{4}{5}, \frac{4}{3}, 6\right\}\)

الجزء 1: إكمال الرموز

1. \(-1.5 \in A\)
\(-1.5 = -\frac{3}{2}\) وهو موجود في A

2. \(\frac{7}{6} \notin A\)
\(\frac{7}{6}\) غير موجود في A (الموجود هو \(-\frac{7}{6}\))

3. \(\left\{5; -2; \frac{4}{3}\right\} \not\subset A\)
العدد 5 غير موجود في A

4. \(\left\{6; \frac{-2}{8}, \frac{8}{15}, 6\right\} \not\subset A\)
\(\frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}\) و \(\frac{8}{15}\) غير موجودين في A

5. \(\left\{\frac{7}{5}, \frac{2}{3}, -4\right\} \not\subset \mathbb{D}\)
\(\frac{2}{3} = 0.666...\) عدد دوري، ليس عشرياً

6. \(\left\{0, -\frac{3}{2}, \frac{-5}{-7}\right\} \subset \mathbb{Q}\)
جميع العناصر أعداد نسبية (\(\frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}\))

7. \(\left\{\frac{21}{7}, -3; \frac{5}{4}\right\} \subset \mathbb{D}\)
\(\frac{21}{7} = 3\), \(-3\), \(\frac{5}{4} = 1.25\) جميعها أعداد عشرية

الجزء 2: حساب التقاطعات والاتحادات

1. \(A \cap \mathbb{Z} = \{0, -2, 6\}\)
الأعداد الصحيحة في A

2. \(A \cap \mathbb{Q}_+ = \left\{\frac{2}{5}, \frac{4}{3}, 6\right\}\)
الأعداد النسبية الموجبة في A

3. \(A \cap \mathbb{Q} = A\)
جميع عناصر A نسبية

4. \(\mathbb{Z}_+ \cap \mathbb{D} = \mathbb{Z}_+ = \mathbb{N}^*\)
جميع الأعداد الصحيحة الموجبة عشرية

5. \(\mathbb{D}_- \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}\)
لأن \(\mathbb{D}_- \subset \mathbb{Q}\)

6. \(\mathbb{Z}_- \cup \mathbb{D}_+ = \{..., -3, -2, -1\} \cup \{0, 0.1, 0.2, ...\}\)
اتحاد الأعداد الصحيحة السالبة والأعداد العشرية الموجبة

الجزء 3: الأعداد العشرية في A

نفحص كل عنصر في A:

\(-\frac{3}{2} = -1.5 = \frac{-15}{10}\)
\(0 = \frac{0}{10^0}\)
\(-2 = \frac{-2}{10^0}\)
\(-\frac{7}{6} = -1.1666...\) دوري
\(\frac{2}{5} = 0.4 = \frac{4}{10}\)
\(-\frac{3}{20} = -0.15 = \frac{-15}{100}\)
\(-\frac{4}{5} = -0.8 = \frac{-8}{10}\)
\(\frac{4}{3} = 1.333...\) دوري
\(6 = \frac{6}{10^0}\)

الأعداد العشرية: \(\left\{-\frac{15}{10}, \frac{0}{10^0}, \frac{-2}{10^0}, \frac{4}{10}, \frac{-15}{100}, \frac{-8}{10}, \frac{6}{10^0}\right\}\)

الجزء 4: حساب المجموعات الخاصة

1. \(E = \left\{x \in \mathbb{Q}; |x| = \frac{3}{2}\right\} = \left\{\frac{3}{2}, -\frac{3}{2}\right\}\)
الأعداد النسبية التي قيمتها المطلقة تساوي \(\frac{3}{2}\)

2. \(F = \left\{x \in A; |x| = -\frac{7}{6}\right\} = \emptyset\)
القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة!

3. \(G = \left\{x \in A; |-x| = -\frac{6}{45}\right\} = \emptyset\)
\(|-x| = |x| \geq 0\) لا يمكن أن تساوي عدداً سالباً

4. \(H = \{x \in A; |x| = -x\}\)
نحتاج \(|x| = -x\), هذا يحدث عندما \(x \leq 0\)
العناصر السالبة والصفر في A: \(\left\{-\frac{3}{2}, 0, -2, -\frac{7}{6}, -\frac{3}{20}, -\frac{4}{5}\right\}\)

نصائح مهمة:

القيمة المطلقة \(|x|\) دائماً \(\geq 0\)
إذا كان \(x \geq 0\) فإن \(|x| = x\)
إذا كان \(x < 0\) فإن \(|x| = -x\)
لتحديد إذا كان الكسر عشرياً، تحقق من أن المقام (في أبسط صورة) لا يحتوي إلا على العوامل 2 و5

التمرين رقم 2

\(A = \left\{-\frac{5}{2}, \frac{75}{125}, -\frac{3}{5}, \frac{21}{280}, \frac{99}{33}, 0, 1, \frac{5}{2}, 1\right\}\)

1) رتب تصاعدياً عناصر المجموعة A

2) حدد المجموعات التالية:

\(A \cap \mathbb{Q}^*\)

\(A \cap \mathbb{Z}\)

\(A \cap \mathbb{D}\)

\(A \cap \mathbb{N}\)

5) حدد المجموعات التالية:

\(E = \{x \in A; |x| = 1\}\)

\(F = \left\{x \in A; |x| = \frac{3}{5}\right\}\)

\(G = \left\{x \in A; -\frac{3}{2} < |x| < \frac{3}{2}\right\}\)

\(H = \{x \in \mathbb{Q}; |x| = x\}\)

\(H = \left\{x \in \mathbb{Q}_+; |x| = -\frac{7}{5}\right\}\)

\(L = \left\{x \in \mathbb{D}; |x| = \frac{7}{6}\right\}\)

الحل المفصل للتمرين 2:

أولاً: دعنا نبسط عناصر A:

\(\frac{75}{125} = \frac{3}{5}\)
\(\frac{21}{280} = \frac{3}{40}\)
\(\frac{99}{33} = 3\)
نحذف المتكررات: العدد 1 مكرر

إذن: \(A = \left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{5}, -\frac{3}{5}, \frac{3}{40}, 3, 0, 1, \frac{5}{2}\right\}\)

الجزء 1: الترتيب التصاعدي

نحول جميع العناصر إلى أعداد عشرية للمقارنة:

\(-\frac{5}{2} = -2.5\)
\(-\frac{3}{5} = -0.6\)
\(0 = 0\)
\(\frac{3}{40} = 0.075\)
\(\frac{3}{5} = 0.6\)
\(1 = 1\)
\(\frac{5}{2} = 2.5\)
\(3 = 3\)

الترتيب التصاعدي: \(-\frac{5}{2} < -\frac{3}{5} < 0 < \frac{3}{40} < \frac{3}{5} < 1 < \frac{5}{2} < 3\)

الجزء 2: حساب التقاطعات

1. \(A \cap \mathbb{Q}^* = A \setminus \{0\}\)
\(= \left\{-\frac{5}{2}, \frac{3}{5}, -\frac{3}{5}, \frac{3}{40}, 3, 1, \frac{5}{2}\right\}\)
جميع عناصر A ما عدا الصفر

2. \(A \cap \mathbb{Z} = \{0, 1, 3\}\)
الأعداد الصحيحة في A

3. \(A \cap \mathbb{D}\)
نفحص كل عنصر:

\(-\frac{5}{2} = -2.5\): عشري ✓
\(\frac{3}{5} = 0.6\): عشري ✓
\(-\frac{3}{5} = -0.6\): عشري ✓
\(\frac{3}{40} = 0.075\): عشري ✓
\(0, 1, 3\): عشرية ✓
\(\frac{5}{2} = 2.5\): عشري ✓

\(A \cap \mathbb{D} = A\) (جميع العناصر عشرية)

4. \(A \cap \mathbb{N} = \{0, 1, 3\}\)
الأعداد الطبيعية في A

الجزء 5: المجموعات الخاصة بالقيمة المطلقة

1. \(E = \{x \in A; |x| = 1\} = \{1\}\)
فقط العدد 1 في A له قيمة مطلقة تساوي 1

2. \(F = \left\{x \in A; |x| = \frac{3}{5}\right\} = \left\{\frac{3}{5}, -\frac{3}{5}\right\}\)
كلاهما موجود في A

3. \(G = \left\{x \in A; -\frac{3}{2} < |x| < \frac{3}{2}\right\}\)
نحتاج \(0 \leq |x| < 1.5\)
العناصر: \(0, \frac{3}{40}, \frac{3}{5}, -\frac{3}{5}, 1\)
\(G = \left\{0, \frac{3}{40}, \frac{3}{5}, -\frac{3}{5}, 1\right\}\)

4. \(H = \{x \in \mathbb{Q}; |x| = x\} = \mathbb{Q}_+ \cup \{0\}\)
جميع الأعداد النسبية غير السالبة

5. \(H = \left\{x \in \mathbb{Q}_+; |x| = -\frac{7}{5}\right\} = \emptyset\)
القيمة المطلقة لا يمكن أن تكون سالبة

6. \(L = \left\{x \in \mathbb{D}; |x| = \frac{7}{6}\right\}\)
\(\frac{7}{6} = 1.1666...\) ليس عشرياً، لذا لا توجد أعداد عشرية قيمتها المطلقة تساوي \(\frac{7}{6}\)
\(L = \emptyset\)

طريقة التحقق من الأعداد العشرية:

الكسر \(\frac{a}{b}\) (في أبسط صورة) عشري ⟺ المقام b له العوامل الأولية 2 و/أو 5 فقط

\(\frac{3}{40} = \frac{3}{2^3 \times 5}\): عشري ✓
\(\frac{3}{5}\): عشري ✓
\(\frac{7}{6} = \frac{7}{2 \times 3}\): يحتوي على 3، ليس عشرياً ✗

التمرين رقم 3

1) أكمل بأحد الرموز \(\in\), \(\notin\), \(\subset\), \(\not\subset\):

\(\frac{-15}{-21}\) ..... \(B\)

\(\frac{39}{60}\) ..... \(B\)

\(\frac{-24}{15}\) ..... \(B\)

2) حدد المجموعات التالية:

\(B \cup \mathbb{Q}\)

\(B \cap \mathbb{Z}\)

\(B \cap \mathbb{Q}_+\)

3) أوجد القيمة المطلقة لكل عنصر من عناصر B

6) حدد الأعداد العشرية من بين عناصر B واكتبها على شكل \(\frac{a}{10^n}\)

7) حدد المجموعات التالية:

\(E = \{x \in B \cap \mathbb{D}; |x| = 1.6\}\)

\(F = \{x \in B; |x| = -x\}\)

\(G = \{x \in B; |x| \geq 2\}\)

\(H = \{x \in B; |x| = x\}\)

الحل المفصل للتمرين 3:

أولاً: لنحدد مجموعة B من السياق:

بناءً على التمارين السابقة، يبدو أن B تحتوي على كسور مختلفة. دعنا نفترض أن:

\(B = \left\{\frac{5}{7}, \frac{13}{20}, -\frac{8}{5}, \frac{39}{60}, -1.6, 2.4\right\}\) (كمثال)

الجزء 1: إكمال الرموز

1. \(\frac{-15}{-21} = \frac{15}{21} = \frac{5}{7}\)
إذا كان \(\frac{5}{7} \in B\) فإن \(\frac{-15}{-21} \in B\)

2. \(\frac{39}{60} = \frac{13}{20}\)
إذا كان \(\frac{13}{20} \in B\) فإن \(\frac{39}{60} \in B\)

3. \(\frac{-24}{15} = -\frac{8}{5}\)
إذا كان \(-\frac{8}{5} \in B\) فإن \(\frac{-24}{15} \in B\)

الجزء 2: العمليات على المجموعات

1. \(B \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}\)
لأن \(B \subset \mathbb{Q}\) (B مجموعة جزئية من الأعداد النسبية)

2. \(B \cap \mathbb{Z}\)
الأعداد الصحيحة في B (تعتمد على تعريف B المحدد)

3. \(B \cap \mathbb{Q}_+\)
الأعداد النسبية الموجبة في B

الجزء 3: القيم المطلقة

لحساب القيمة المطلقة لكل عنصر:

إذا كان العنصر موجباً أو صفراً: \(|x| = x\)
إذا كان العنصر سالباً: \(|x| = -x\)

أمثلة:

\(\left|\frac{5}{7}\right| = \frac{5}{7}\)
\(\left|-\frac{8}{5}\right| = \frac{8}{5}\)
\(|-1.6| = 1.6\)
\(|2.4| = 2.4\)

الجزء 6: الأعداد العشرية

لتحديد الأعداد العشرية، نفحص إذا كان المقام (في أبسط صورة) يحتوي فقط على العوامل 2 و5:

أمثلة:

\(\frac{13}{20} = \frac{13}{4 \times 5} = \frac{13}{2^2 \times 5}\): عشري = \(0.65 = \frac{65}{100}\)
\(-\frac{8}{5} = -1.6 = \frac{-16}{10}\): عشري
\(2.4 = \frac{24}{10}\): عشري
\(\frac{5}{7}\): ليس عشرياً (المقام يحتوي على 7)

الجزء 7: المجموعات الخاصة

1. \(E = \{x \in B \cap \mathbb{D}; |x| = 1.6\}\)
نبحث في الأعداد العشرية في B عن التي قيمتها المطلقة 1.6
إذا كان \(-1.6 \in B\) فإن \(E = \{-1.6\}\)

2. \(F = \{x \in B; |x| = -x\}\)
هذا يحدث عندما \(x \leq 0\)
F يحتوي على جميع العناصر السالبة والصفر في B

3. \(G = \{x \in B; |x| \geq 2\}\)
العناصر في B التي قيمتها المطلقة أكبر من أو تساوي 2
مثل: \(2.4, -\frac{8}{5}\) (إذا كانت في B)

4. \(H = \{x \in B; |x| = x\}\)
هذا يحدث عندما \(x \geq 0\)
H يحتوي على جميع العناصر الموجبة والصفر في B

ملاحظات مهمة:

الحلول النهائية تعتمد على التعريف الدقيق لمجموعة B
\(|x| = -x\) ⟺ \(x \leq 0\)
\(|x| = x\) ⟺ \(x \geq 0\)
لتبسيط الكسور، ابحث عن القاسم المشترك الأكبر للبسط والمقام

التمرين رقم 4

\(E = \left\{-5, \frac{7}{3}, 0, \frac{-21}{30}, -\frac{16}{4}, \frac{126}{280}, \frac{72}{-45}\right\}\)

1) اختزل إلى أقصى حد العددان \(-\frac{72}{45}\) و \(-\frac{126}{280}\)

2) أكمل بأحد الرموز \(\in\), \(\notin\), \(\subset\), \(\not\subset\):

\(\left\{-5, -\frac{126}{280}, -\frac{72}{45}\right\}\) ..... \(\mathbb{D}_-\)

\(E\) ..... \(\mathbb{Q}^*\)

\(\frac{21}{9}\) ..... \(E\)

\(-4\) ..... \(E\)

3) حدد المجموعات التالية:

\(\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Q}^*_-\)

\(\mathbb{N} \cup \mathbb{Z}^*_-\)

\(E \cap \mathbb{Z}\)

\(E \cup \mathbb{Q}\)

4) حول الأعداد العشرية الغير صحيحة من E إلى كتابة على شكل \(\frac{a}{10^n}\)

الحل المفصل للتمرين 4:

أولاً: دعنا نبسط مجموعة E:

\(\frac{-21}{30} = -\frac{7}{10}\)
\(-\frac{16}{4} = -4\)
\(\frac{126}{280}\) (سنختزلها)
\(\frac{72}{-45}\) (سنختزلها)

الجزء 1: اختزال الكسور

1. اختزال \(-\frac{72}{45}\):
نجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 72 و 45:
\(72 = 2^3 \times 3^2 = 8 \times 9\)
\(45 = 3^2 \times 5 = 9 \times 5\)
القاسم المشترك الأكبر = 9
\(-\frac{72}{45} = -\frac{72 ÷ 9}{45 ÷ 9} = -\frac{8}{5}\)

2. اختزال \(-\frac{126}{280}\):
نجد القاسم المشترك الأكبر للعددين 126 و 280:
\(126 = 2 \times 3^2 \times 7 = 2 \times 63\)
\(280 = 2^3 \times 5 \times 7 = 8 \times 35\)
القاسم المشترك الأكبر = \(2 \times 7 = 14\)
\(-\frac{126}{280} = -\frac{126 ÷ 14}{280 ÷ 14} = -\frac{9}{20}\)

\(-\frac{72}{45} = -\frac{8}{5}\) و \(-\frac{126}{280} = -\frac{9}{20}\)

تبسيط مجموعة E:

\(E = \left\{-5, \frac{7}{3}, 0, -\frac{7}{10}, -4, -\frac{9}{20}, -\frac{8}{5}\right\}\)

الجزء 2: إكمال الرموز

1. \(\left\{-5, -\frac{9}{20}, -\frac{8}{5}\right\} \subset \mathbb{D}_-\)
نتحقق من كل عنصر:

\(-5\): عدد صحيح، إذن عشري سالب ✓
\(-\frac{9}{20} = -0.45\): عشري سالب ✓
\(-\frac{8}{5} = -1.6\): عشري سالب ✓

جميع العناصر أعداد عشرية سالبة

2. \(E \not\subset \mathbb{Q}^*\)
لأن \(0 \in E\) و \(0 \notin \mathbb{Q}^*\) (الأعداد النسبية غير المعدومة)

3. \(\frac{21}{9} = \frac{7}{3} \in E\)
\(\frac{21}{9} = \frac{7}{3}\) وهو موجود في E

4. \(-4 \in E\)
\(-4\) موجود في E (من تبسيط \(-\frac{16}{4}\))

الجزء 3: عمليات المجموعات

1. \(\mathbb{Q}_+ \cap \mathbb{Q}^*_- = \emptyset\)
تقاطع الأعداد النسبية الموجبة والسالبة = مجموعة فارغة

2. \(\mathbb{N} \cup \mathbb{Z}^*_- = \{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...\}\)
اتحاد الأعداد الطبيعية والأعداد الصحيحة السالبة غير المعدومة = جميع الأعداد الصحيحة

3. \(E \cap \mathbb{Z} = \{-5, 0, -4\}\)
الأعداد الصحيحة في E

4. \(E \cup \mathbb{Q} = \mathbb{Q}\)
لأن \(E \subset \mathbb{Q}\)

الجزء 4: تحويل الأعداد العشرية غير الصحيحة

نحدد الأعداد العشرية غير الصحيحة في E:

1. \(\frac{7}{3} = 2.333...\)
ليس عشرياً (دوري)

2. \(-\frac{7}{10} = -0.7 = \frac{-7}{10^1}\)
عشري غير صحيح ✓

3. \(-\frac{9}{20} = -0.45 = \frac{-45}{10^2}\)
عشري غير صحيح ✓

4. \(-\frac{8}{5} = -1.6 = \frac{-16}{10^1}\)
عشري غير صحيح ✓

الأعداد العشرية غير الصحيحة:
\(-\frac{7}{10^1}, \frac{-45}{10^2}, \frac{-16}{10^1}\)

طريقة تحويل عدد عشري إلى شكل \(\frac{a}{10^n}\):

احسب عدد الأرقام بعد الفاصلة العشرية
ضع العدد (بدون الفاصلة) في البسط
ضع \(10^n\) في المقام حيث n = عدد الأرقام بعد الفاصلة

مثال: \(-0.45 = -\frac{45}{100} = -\frac{45}{10^2}\)

تذكر:

لاختزال كسر، اقسم البسط والمقام على قاسمهما المشترك الأكبر
\(\mathbb{Q}^*\) = الأعداد النسبية غير المعدومة (لا تحتوي على الصفر)
العدد عشري إذا كان مقامه (في أبسط صورة) لا يحتوي إلا على العوامل 2 و5