تمارين المجموعات

فهم المجموعات الرياضية وخصائصها

المجموعات الأساسية في الرياضيات

\(\mathbb{N}\)
الأعداد الطبيعية
{0, 1, 2, 3, ...}
\(\mathbb{Z}\)
الأعداد الصحيحة
{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}
\(\mathbb{D}\)
الأعداد العشرية
أعداد لها تطوير عشري منته
\(\mathbb{Q}\)
الأعداد النسبية
كل عدد يكتب على شكل \(\frac{a}{b}\)

التمرين 1: ضع كل مجموعة من المجموعات التالية في المكان المناسب

\(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Q}\)

.......... \(\subset\) .......... \(\subset\) .......... \(\subset\) ..........

الحل المفصل للتمرين 1:

أولاً: دعنا نفهم كل مجموعة:
  • \(\mathbb{N}\): الأعداد الطبيعية = {0, 1, 2, 3, 4, ...}
  • \(\mathbb{Z}\): الأعداد الصحيحة = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
  • \(\mathbb{D}\): الأعداد العشرية = الأعداد التي لها تطوير عشري منته
  • \(\mathbb{Q}\): الأعداد النسبية = كل عدد يكتب على شكل \(\frac{a}{b}\) حيث \(a, b \in \mathbb{Z}\) و \(b \neq 0\)
الخطوة 1: تحديد العلاقة بين المجموعات

كل عدد طبيعي هو عدد صحيح، لذا \(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}\)

مثال: العدد 5 ينتمي لـ \(\mathbb{N}\) وكذلك لـ \(\mathbb{Z}\)
الخطوة 2: العلاقة بين الأعداد الصحيحة والعشرية

كل عدد صحيح هو عدد عشري، لذا \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{D}\)

مثال: العدد -3 هو عدد صحيح ويمكن كتابته عشرياً كـ -3.0
الخطوة 3: العلاقة بين الأعداد العشرية والنسبية

كل عدد عشري هو عدد نسبي، لذا \(\mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\)

مثال: العدد 2.5 عشري ويمكن كتابته كـ \(\frac{5}{2}\)
الحل النهائي:

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{D} \subset \mathbb{Q}\)

ملاحظة مهمة: هذا يعني أن كل عدد طبيعي هو أيضاً عدد صحيح وعشري ونسبي!

التمرين 2: ليكن المجموعتين التاليتين

\(B = \left\{-\frac{1}{2}, 2, -\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -5, 0\right\}\)

\(A = \left\{-\frac{3}{5}, -2, -2, \frac{2}{3}, \frac{1}{7}, 0\right\}\)

حدد المجموعات التالية: \(A \cap B\), \(B \cap \mathbb{Z}\), \(A \cap \mathbb{D}\), \(B \cap \mathbb{Q}\)

الحل المفصل للتمرين 2:

أولاً: دعنا نفهم رموز العمليات:
  • \(A \cap B\): تقاطع المجموعتين (العناصر المشتركة)
  • \(B \cap \mathbb{Z}\): العناصر في B التي تنتمي للأعداد الصحيحة
  • \(A \cap \mathbb{D}\): العناصر في A التي تنتمي للأعداد العشرية
  • \(B \cap \mathbb{Q}\): العناصر في B التي تنتمي للأعداد النسبية
الخطوة 1: حساب \(A \cap B\)

نبحث عن العناصر الموجودة في كلا المجموعتين:

A = \(\left\{-\frac{3}{5}, -2, \frac{2}{3}, \frac{1}{7}, 0\right\}\)

B = \(\left\{-\frac{1}{2}, 2, -\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -5, 0\right\}\)

العنصر المشترك الوحيد هو: 0

\(A \cap B = \{0\}\)

الخطوة 2: حساب \(B \cap \mathbb{Z}\)

نبحث في B عن الأعداد الصحيحة:

  • \(-\frac{1}{2}\): ليس صحيحاً (كسر)
  • 2: صحيح ✓
  • \(-\frac{4}{3}\): ليس صحيحاً (كسر)
  • \(\frac{1}{3}\): ليس صحيحاً (كسر)
  • -5: صحيح ✓
  • 0: صحيح ✓

\(B \cap \mathbb{Z} = \{2, -5, 0\}\)

الخطوة 3: حساب \(A \cap \mathbb{D}\)

نبحث في A عن الأعداد العشرية (لها تطوير عشري منته):

  • \(-\frac{3}{5} = -0.6\): عشري ✓
  • -2 = -2.0: عشري ✓
  • \(\frac{2}{3} = 0.666...\): ليس عشرياً (دوري)
  • \(\frac{1}{7} = 0.142857...\): ليس عشرياً (دوري)
  • 0 = 0.0: عشري ✓

\(A \cap \mathbb{D} = \left\{-\frac{3}{5}, -2, 0\right\}\)

الخطوة 4: حساب \(B \cap \mathbb{Q}\)

نبحث في B عن الأعداد النسبية:

جميع العناصر في B هي أعداد نسبية لأنها كلها كسور أو أعداد صحيحة

\(B \cap \mathbb{Q} = B = \left\{-\frac{1}{2}, 2, -\frac{4}{3}, \frac{1}{3}, -5, 0\right\}\)

ملاحظة: كل عدد صحيح أو كسر هو عدد نسبي، لذلك جميع عناصر B تنتمي لـ \(\mathbb{Q}\)

التمرين 3: أتمم بالرمز المناسب \(\in\), \(\notin\), \(\subset\), \(\not\subset\)

\(-\frac{2}{3}; 0; 1; -8\) .......... \(\mathbb{Q}\)
.......... \(\mathbb{N}\) .......... \(\mathbb{D}\)
\(\{0; -3; 2; 1\}\) .......... \(\mathbb{Z}\)
\(\frac{345}{5}\) .......... \(\mathbb{Z}\)
\(\{-7, 4\}\) .......... \(\mathbb{Q}\)
0.8 .......... \(\mathbb{Q}\)

الحل المفصل للتمرين 3:

أولاً: دعنا نفهم الرموز:
  • \(\in\): ينتمي إلى
  • \(\notin\): لا ينتمي إلى
  • \(\subset\): مجموعة جزئية من
  • \(\not\subset\): ليست مجموعة جزئية من
السؤال 1: \(-\frac{2}{3}; 0; 1; -8\) .......... \(\mathbb{Q}\)

نفحص كل عدد:

  • \(-\frac{2}{3}\): كسر، إذن ينتمي لـ \(\mathbb{Q}\) ✓
  • 0: عدد صحيح = \(\frac{0}{1}\)، إذن ينتمي لـ \(\mathbb{Q}\) ✓
  • 1: عدد صحيح = \(\frac{1}{1}\)، إذن ينتمي لـ \(\mathbb{Q}\) ✓
  • -8: عدد صحيح = \(\frac{-8}{1}\)، إذن ينتمي لـ \(\mathbb{Q}\) ✓

كل الأعداد تنتمي لـ \(\mathbb{Q}\)

\(-\frac{2}{3}; 0; 1; -8 \in \mathbb{Q}\)

السؤال 2: .......... \(\mathbb{N}\) .......... \(\mathbb{D}\)

نعرف أن كل عدد طبيعي هو عدد عشري

\(\mathbb{N} \subset \mathbb{D}\)

السؤال 3: \(\{0; -3; 2; 1\}\) .......... \(\mathbb{Z}\)

نفحص كل عنصر في المجموعة:

  • 0: عدد صحيح ✓
  • -3: عدد صحيح ✓
  • 2: عدد صحيح ✓
  • 1: عدد صحيح ✓

جميع عناصر المجموعة تنتمي لـ \(\mathbb{Z}\)

\(\{0; -3; 2; 1\} \subset \mathbb{Z}\)

السؤال 4: \(\frac{345}{5}\) .......... \(\mathbb{Z}\)

نحسب قيمة الكسر:

\(\frac{345}{5} = 69\)

69 هو عدد صحيح

\(\frac{345}{5} \in \mathbb{Z}\)

السؤال 5: \(\{-7, 4\}\) .......... \(\mathbb{Q}\)

نفحص العنصرين:

  • -7: عدد صحيح، إذن نسبي ✓
  • 4: عدد صحيح، إذن نسبي ✓

\(\{-7, 4\} \subset \mathbb{Q}\)

السؤال 6: 0.8 .......... \(\mathbb{Q}\)

0.8 يمكن كتابته كـ \(\frac{8}{10} = \frac{4}{5}\)

إذن هو عدد نسبي

\(0.8 \in \mathbb{Q}\)

قاعدة مهمة: أي عدد عشري منته يمكن تحويله إلى كسر، لذلك هو عدد نسبي!

التمرين 4: ليكن المجموعات التالية

\(C = \{0; \sqrt{16}; -2; 5\}\) و \(B = \left\{0; -1; \frac{2}{7}; -\frac{5}{3}\right\}\) و \(A = \left\{0; 1; \frac{5}{16}; -2; \frac{3}{36}; -\frac{2}{5}\right\}\)

1. أتمم بالرمز المناسب \(\in\), \(\notin\), \(\subset\), \(\not\subset\):
0 .......... \(\mathbb{Q}\)
C .......... \(\mathbb{D}\)
C .......... \(\mathbb{N}\)
A .......... \(\mathbb{Q}\)
\(\{0; -2; -5\}\) .......... \(\mathbb{Q}\)
4 .......... \(\mathbb{D}\)
B .......... \(\mathbb{D}\)
A .......... \(\mathbb{D}\)

2. حدد المجموعات التالية:
\(B \cap \mathbb{Z}\)
\(A \cap \mathbb{Q}\)
\(A \cap \mathbb{D}\)
\(A \cap \mathbb{Z}\)
\(C \cap \mathbb{Z}\)
\(C \cap \mathbb{Q}\)
\(B \cap \mathbb{Q}\)
\(B \cap \mathbb{D}\)

الحل المفصل للتمرين 4:

أولاً: دعنا نبسط المجموعات:
  • \(C = \{0; \sqrt{16}; -2; 5\} = \{0; 4; -2; 5\}\) (لأن \(\sqrt{16} = 4\))
  • \(B = \left\{0; -1; \frac{2}{7}; -\frac{5}{3}\right\}\)
  • \(A = \left\{0; 1; \frac{5}{16}; -2; \frac{3}{36}; -\frac{2}{5}\right\} = \left\{0; 1; \frac{5}{16}; -2; \frac{1}{12}; -\frac{2}{5}\right\}\)
الجزء الأول: إكمال الرموز
1. \(0 \in \mathbb{Q}\)
0 هو عدد صحيح ويمكن كتابته كـ \(\frac{0}{1}\)، إذن هو نسبي
2. \(C \subset \mathbb{D}\)
C = {0, 4, -2, 5} - جميع العناصر أعداد صحيحة، وكل عدد صحيح عشري
3. \(C \not\subset \mathbb{N}\)
C يحتوي على -2 و-2 ليس عدداً طبيعياً
4. \(A \subset \mathbb{Q}\)
جميع عناصر A هي كسور أو أعداد صحيحة، إذن كلها نسبية
5. \(\{0; -2; -5\} \subset \mathbb{Q}\)
جميع العناصر أعداد صحيحة، وكل عدد صحيح نسبي
6. \(4 \in \mathbb{D}\)
4 = 4.0 عدد عشري
7. \(B \not\subset \mathbb{D}\)
\(\frac{2}{7} = 0.285714...\) عدد دوري، ليس عشرياً
8. \(A \not\subset \mathbb{D}\)
\(\frac{1}{12} = 0.08333...\) عدد دوري، ليس عشرياً
الجزء الثاني: حساب التقاطعات
1. \(B \cap \mathbb{Z} = \{0, -1\}\)
فقط 0 و-1 أعداد صحيحة في B
2. \(A \cap \mathbb{Q} = A\)
جميع عناصر A نسبية
3. \(A \cap \mathbb{D} = \left\{0, 1, \frac{5}{16}, -2, -\frac{2}{5}\right\}\)
نفحص كل عنصر:
  • 0: عشري ✓
  • 1: عشري ✓
  • \(\frac{5}{16} = 0.3125\): عشري ✓
  • -2: عشري ✓
  • \(\frac{1}{12} = 0.0833...\): دوري ✗
  • \(-\frac{2}{5} = -0.4\): عشري ✓
4. \(A \cap \mathbb{Z} = \{0, 1, -2\}\)
فقط هذه العناصر أعداد صحيحة
5. \(C \cap \mathbb{Z} = C = \{0, 4, -2, 5\}\)
جميع عناصر C صحيحة
6. \(C \cap \mathbb{Q} = C = \{0, 4, -2, 5\}\)
جميع عناصر C نسبية
7. \(B \cap \mathbb{Q} = B\)
جميع عناصر B نسبية
8. \(B \cap \mathbb{D} = \{0, -1\}\)
فقط 0 و-1 عشريان (الكسور الأخرى دورية)
طريقة تحديد إذا كان الكسر عشرياً: الكسر \(\frac{a}{b}\) (في أبسط صورة) عشري إذا وفقط إذا كان مقام b لا يحتوي على قواسم أولية غير 2 و5
أمثلة:
  • \(\frac{5}{16} = \frac{5}{2^4}\): عشري لأن المقام قوة للعدد 2
  • \(\frac{2}{7}\): دوري لأن المقام يحتوي على 7
  • \(\frac{2}{5}\): عشري لأن المقام 5