🎯 تمارين الكسور والتبسيط - السلسلة 2

سلسلة جديدة من التمارين المتنوعة مع الحلول المفصلة

التمرين الأول: اختزل الكسور التالية إلى أقصى حد
\(\dfrac{35}{42}\)
\(\dfrac{54}{72}\)
\(\dfrac{64}{96}\)
\(\dfrac{75}{100}\)
\(\dfrac{144}{180}\)
\(\dfrac{135}{225}\)
\(\dfrac{3 \times 8 \times 5}{6 \times 4 \times 5}\)
\(\dfrac{2^5 \times 3^2}{2^3 \times 3^4}\)
الحل المفصل
الكسر الأول: \(\dfrac{35}{42}\)

نحلل إلى عوامل أولية:

35 = 5 × 7

42 = 2 × 3 × 7

القاسم المشترك الأكبر = 7

\(\dfrac{35}{42} = \dfrac{35 \div 7}{42 \div 7} = \dfrac{5}{6}\)

الكسر الثاني: \(\dfrac{54}{72}\)

54 = 2 × 27 = 2 × 3³

72 = 8 × 9 = 2³ × 3²

القاسم المشترك الأكبر = 18 (2 × 3²)

\(\dfrac{54}{72} = \dfrac{54 \div 18}{72 \div 18} = \dfrac{3}{4}\)

الكسر الثالث: \(\dfrac{64}{96}\)

64 = 2⁶

96 = 32 × 3 = 2⁵ × 3

القاسم المشترك الأكبر = 32 (2⁵)

\(\dfrac{64}{96} = \dfrac{64 \div 32}{96 \div 32} = \dfrac{2}{3}\)

الكسر الرابع: \(\dfrac{75}{100}\)

75 = 3 × 25 = 3 × 5²

100 = 4 × 25 = 2² × 5²

القاسم المشترك الأكبر = 25

\(\dfrac{75}{100} = \dfrac{75 \div 25}{100 \div 25} = \dfrac{3}{4}\)

الكسر الخامس: \(\dfrac{144}{180}\)

144 = 16 × 9 = 2⁴ × 3²

180 = 4 × 45 = 2² × 3² × 5

القاسم المشترك الأكبر = 36 (2² × 3²)

\(\dfrac{144}{180} = \dfrac{144 \div 36}{180 \div 36} = \dfrac{4}{5}\)

الكسر السادس: \(\dfrac{135}{225}\)

135 = 27 × 5 = 3³ × 5

225 = 9 × 25 = 3² × 5²

القاسم المشترك الأكبر = 45 (3² × 5)

\(\dfrac{135}{225} = \dfrac{135 \div 45}{225 \div 45} = \dfrac{3}{5}\)

الكسر السابع: \(\dfrac{3 \times 8 \times 5}{6 \times 4 \times 5}\)

نختزل العوامل المشتركة مباشرة:

العامل المشترك 5 في البسط والمقام

8 = 2³ و 4 = 2² و 6 = 2 × 3

\(= \dfrac{3 \times 8}{6 \times 4} = \dfrac{3 \times 8}{24} = \dfrac{24}{24} = 1\)

الكسر الثامن: \(\dfrac{2^5 \times 3^2}{2^3 \times 3^4}\)

نستعمل خاصيات القوى:

\(= \dfrac{2^5}{2^3} \times \dfrac{3^2}{3^4}\)

\(= 2^{5-3} \times 3^{2-4}\)

\(= 2^2 \times 3^{-2} = \dfrac{4}{9}\)

الإجابات النهائية:
\(\dfrac{5}{6}\) ، \(\dfrac{3}{4}\) ، \(\dfrac{2}{3}\) ، \(\dfrac{3}{4}\) ، \(\dfrac{4}{5}\) ، \(\dfrac{3}{5}\) ، \(1\) ، \(\dfrac{4}{9}\)
التمرين الثاني: اختزل بعد تفكيك البسط والمقام
\(\dfrac{15 \times 4 + 15 \times 6}{12 \times 8 + 12 \times 2}\)
\(\dfrac{13 \times 7 + 13 \times 11}{26 \times 6 + 26 \times 3}\)
\(\dfrac{18 \times 5 + 27 \times 5}{45 \times 4 + 45 \times 6}\)
\(\dfrac{23 \times 9 + 23 \times 7 + 23 \times 4}{8 \times 30 + 8 \times 10}\)
\(\dfrac{36 - 2^5}{2^5 - 4}\)
\(\dfrac{5^3 - 25}{75 - 5^2}\)
الحل المفصل
التعبير الأول: \(\dfrac{15 \times 4 + 15 \times 6}{12 \times 8 + 12 \times 2}\)

البسط: نخرج العامل المشترك 15

\(15 \times 4 + 15 \times 6 = 15 \times (4 + 6) = 15 \times 10\)

المقام: نخرج العامل المشترك 12

\(12 \times 8 + 12 \times 2 = 12 \times (8 + 2) = 12 \times 10\)

\(\dfrac{15 \times 10}{12 \times 10} = \dfrac{15}{12} = \dfrac{5}{4}\)

التعبير الثاني: \(\dfrac{13 \times 7 + 13 \times 11}{26 \times 6 + 26 \times 3}\)

البسط: نخرج العامل المشترك 13

\(13 \times 7 + 13 \times 11 = 13 \times (7 + 11) = 13 \times 18\)

المقام: نخرج العامل المشترك 26

\(26 \times 6 + 26 \times 3 = 26 \times (6 + 3) = 26 \times 9\)

\(\dfrac{13 \times 18}{26 \times 9} = \dfrac{13 \times 18}{13 \times 2 \times 9} = \dfrac{18}{18} = 1\)

التعبير الثالث: \(\dfrac{18 \times 5 + 27 \times 5}{45 \times 4 + 45 \times 6}\)

البسط: نخرج العامل المشترك 5

\(18 \times 5 + 27 \times 5 = 5 \times (18 + 27) = 5 \times 45\)

المقام: نخرج العامل المشترك 45

\(45 \times 4 + 45 \times 6 = 45 \times (4 + 6) = 45 \times 10\)

\(\dfrac{5 \times 45}{45 \times 10} = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\)

التعبير الرابع: \(\dfrac{23 \times 9 + 23 \times 7 + 23 \times 4}{8 \times 30 + 8 \times 10}\)

البسط: نخرج العامل المشترك 23

\(23 \times 9 + 23 \times 7 + 23 \times 4 = 23 \times (9 + 7 + 4) = 23 \times 20\)

المقام: نخرج العامل المشترك 8

\(8 \times 30 + 8 \times 10 = 8 \times (30 + 10) = 8 \times 40\)

\(\dfrac{23 \times 20}{8 \times 40} = \dfrac{23 \times 20}{8 \times 40} = \dfrac{23}{16}\)

التعبير الخامس: \(\dfrac{36 - 2^5}{2^5 - 4}\)

نحسب قيمة 2⁵ = 32

البسط: 36 - 32 = 4

المقام: 32 - 4 = 28

\(\dfrac{4}{28} = \dfrac{4 \div 4}{28 \div 4} = \dfrac{1}{7}\)

التعبير السادس: \(\dfrac{5^3 - 25}{75 - 5^2}\)

نحسب: 5³ = 125 و 5² = 25

البسط: 125 - 25 = 100

المقام: 75 - 25 = 50

\(\dfrac{100}{50} = 2\)

الإجابات النهائية:
\(\dfrac{5}{4}\) ، \(1\) ، \(\dfrac{1}{2}\) ، \(\dfrac{23}{16}\) ، \(\dfrac{1}{7}\) ، \(2\)
تذكير: خاصية التوزيع a×b + a×c = a×(b+c) تساعدنا في تبسيط العمليات
التمرين الثالث: قارن الأعداد الكسرية
1) قارن كل عدد من الأعداد التالية بالعدد 1:
\(\dfrac{47}{52}\)
\(\dfrac{88}{85}\)
\(\dfrac{123}{123}\)
\(\dfrac{199}{201}\)
\(\dfrac{2023}{2024}\)
2) قارن كل عددين كسريين:
\(\dfrac{13}{15}\) و \(\dfrac{13}{18}\)
\(\dfrac{19}{24}\) و \(\dfrac{23}{24}\)
\(\dfrac{35}{42}\) و \(\dfrac{70}{84}\)
\(\dfrac{11}{16}\) و \(\dfrac{7}{12}\)
\(\dfrac{117}{128}\) و \(\dfrac{145}{139}\)
\(\dfrac{48}{60}\) و \(\dfrac{56}{70}\)
الحل المفصل - الجزء الأول
1) \(\dfrac{47}{52}\)

47 < 52 ⟸ \(\dfrac{47}{52} < 1\)

2) \(\dfrac{88}{85}\)

88 > 85 ⟸ \(\dfrac{88}{85} > 1\)

3) \(\dfrac{123}{123}\)

123 = 123 ⟸ \(\dfrac{123}{123} = 1\)

4) \(\dfrac{199}{201}\)

199 < 201 ⟸ \(\dfrac{199}{201} < 1\)

5) \(\dfrac{2023}{2024}\)

2023 < 2024 ⟸ \(\dfrac{2023}{2024} < 1\)

الحل المفصل - الجزء الثاني
المقارنة 1: \(\dfrac{13}{15}\) و \(\dfrac{13}{18}\)

البسطان متساويان (13 = 13)

القاعدة: الكسر ذو المقام الأصغر هو الأكبر

15 < 18 ⟸ \(\dfrac{13}{15} > \dfrac{13}{18}\)

المقارنة 2: \(\dfrac{19}{24}\) و \(\dfrac{23}{24}\)

المقامان متساويان (24 = 24)

القاعدة: الكسر ذو البسط الأكبر هو الأكبر

19 < 23 ⟸ \(\dfrac{19}{24} < \dfrac{23}{24}\)

المقارنة 3: \(\dfrac{35}{42}\) و \(\dfrac{70}{84}\)

نبسط الكسر الثاني:

\(\dfrac{70}{84} = \dfrac{70 \div 14}{84 \div 14} = \dfrac{5}{6}\)

نبسط الكسر الأول:

\(\dfrac{35}{42} = \dfrac{35 \div 7}{42 \div 7} = \dfrac{5}{6}\)

إذن: \(\dfrac{35}{42} = \dfrac{70}{84}\)

المقارنة 4: \(\dfrac{11}{16}\) و \(\dfrac{7}{12}\)

المضاعف المشترك الأصغر لـ 16 و 12 هو 48

\(\dfrac{11}{16} = \dfrac{11 \times 3}{16 \times 3} = \dfrac{33}{48}\)

\(\dfrac{7}{12} = \dfrac{7 \times 4}{12 \times 4} = \dfrac{28}{48}\)

33 > 28 ⟸ \(\dfrac{11}{16} > \dfrac{7}{12}\)

المقارنة 5: \(\dfrac{117}{128}\) و \(\dfrac{145}{139}\)

نقارن بالعدد 1:

\(\dfrac{117}{128}\) : 117 < 128 ⟸ أصغر من 1

\(\dfrac{145}{139}\) : 145 > 139 ⟸ أكبر من 1

إذن: \(\dfrac{117}{128} < 1 < \dfrac{145}{139}\)

النتيجة: \(\dfrac{117}{128} < \dfrac{145}{139}\)

المقارنة 6: \(\dfrac{48}{60}\) و \(\dfrac{56}{70}\)

نبسط الكسرين:

\(\dfrac{48}{60} = \dfrac{48 \div 12}{60 \div 12} = \dfrac{4}{5}\)

\(\dfrac{56}{70} = \dfrac{56 \div 14}{70 \div 14} = \dfrac{4}{5}\)

إذن: \(\dfrac{48}{60} = \dfrac{56}{70}\)

ملخص النتائج:
الجزء 1: < 1، > 1، = 1، < 1، < 1
الجزء 2: > ، < ، = ، > ، < ، =
التمرين الرابع: تمارين متنوعة في الاختزال
1) اختزل الكسور التالية:
\(\dfrac{156}{195}\)
\(\dfrac{280}{350}\)
\(\dfrac{450}{600}\)
2) اختزل التعابير التالية:
\(\dfrac{3 \times 15 + 5 \times 9}{6 \times 20 + 8 \times 15}\)
\(\dfrac{8 \times 11 - 8 \times 3}{5 \times 12 + 5 \times 8}\)
\(\dfrac{19 \times 6 + 19 \times 14}{38 \times 7 + 38 \times 3}\)
\(\dfrac{7^3 - 7^2}{7^2 \times 6}\)
الحل المفصل - القسم الأول
1) \(\dfrac{156}{195}\)

نحلل إلى عوامل أولية:

156 = 4 × 39 = 2² × 3 × 13

195 = 5 × 39 = 3 × 5 × 13

القاسم المشترك الأكبر = 39 (3 × 13)

\(\dfrac{156}{195} = \dfrac{156 \div 39}{195 \div 39} = \dfrac{4}{5}\)

2) \(\dfrac{280}{350}\)

280 = 8 × 35 = 2³ × 5 × 7

350 = 10 × 35 = 2 × 5² × 7

القاسم المشترك الأكبر = 70 (2 × 5 × 7)

\(\dfrac{280}{350} = \dfrac{280 \div 70}{350 \div 70} = \dfrac{4}{5}\)

3) \(\dfrac{450}{600}\)

450 = 2 × 225 = 2 × 3² × 5²

600 = 8 × 75 = 2³ × 3 × 5²

القاسم المشترك الأكبر = 150 (2 × 3 × 5²)

\(\dfrac{450}{600} = \dfrac{450 \div 150}{600 \div 150} = \dfrac{3}{4}\)

الحل المفصل - القسم الثاني
1) \(\dfrac{3 \times 15 + 5 \times 9}{6 \times 20 + 8 \times 15}\)

نحسب البسط: 3 × 15 + 5 × 9 = 45 + 45 = 90

نحسب المقام: 6 × 20 + 8 × 15 = 120 + 120 = 240

\(\dfrac{90}{240} = \dfrac{90 \div 30}{240 \div 30} = \dfrac{3}{8}\)

2) \(\dfrac{8 \times 11 - 8 \times 3}{5 \times 12 + 5 \times 8}\)

البسط: نخرج 8 → \(8 \times (11 - 3) = 8 \times 8 = 64\)

المقام: نخرج 5 → \(5 \times (12 + 8) = 5 \times 20 = 100\)

\(\dfrac{64}{100} = \dfrac{64 \div 4}{100 \div 4} = \dfrac{16}{25}\)

3) \(\dfrac{19 \times 6 + 19 \times 14}{38 \times 7 + 38 \times 3}\)

البسط: \(19 \times (6 + 14) = 19 \times 20\)

المقام: \(38 \times (7 + 3) = 38 \times 10\)

\(\dfrac{19 \times 20}{38 \times 10} = \dfrac{19 \times 20}{19 \times 2 \times 10} = \dfrac{20}{20} = 1\)

4) \(\dfrac{7^3 - 7^2}{7^2 \times 6}\)

البسط: نخرج 7² → \(7^2 \times (7 - 1) = 49 \times 6\)

المقام: \(7^2 \times 6 = 49 \times 6\)

\(\dfrac{49 \times 6}{49 \times 6} = 1\)

القسم 1: \(\dfrac{4}{5}\) ، \(\dfrac{4}{5}\) ، \(\dfrac{3}{4}\)
القسم 2: \(\dfrac{3}{8}\) ، \(\dfrac{16}{25}\) ، \(1\) ، \(1\)
التمرين الخامس: الكتابة على شكل جمع عدد صحيح وكسر
أكتب كل كسر على شكل جمع عدد صحيح طبيعي وعدد كسري أصغر من 1:
\(\dfrac{37}{8}\)
\(\dfrac{85}{12}\)
\(\dfrac{127}{15}\)
\(\dfrac{98}{11}\)
\(\dfrac{173}{20}\)
\(\dfrac{241}{30}\)
\(\dfrac{157}{14}\)
\(\dfrac{289}{25}\)
\(\dfrac{415}{40}\)
\(\dfrac{197}{16}\)
الحل المفصل
المبدأ: نقسم البسط على المقام للحصول على:
الكسر = القسمة الصحيحة + (الباقي ÷ المقام)
1) \(\dfrac{37}{8}\)

37 ÷ 8 = 4 والباقي 5

(لأن: 8 × 4 = 32 و 37 - 32 = 5)

الجواب: \(4 + \dfrac{5}{8}\)

2) \(\dfrac{85}{12}\)

85 ÷ 12 = 7 والباقي 1

(لأن: 12 × 7 = 84 و 85 - 84 = 1)

الجواب: \(7 + \dfrac{1}{12}\)

3) \(\dfrac{127}{15}\)

127 ÷ 15 = 8 والباقي 7

(لأن: 15 × 8 = 120 و 127 - 120 = 7)

الجواب: \(8 + \dfrac{7}{15}\)

4) \(\dfrac{98}{11}\)

98 ÷ 11 = 8 والباقي 10

(لأن: 11 × 8 = 88 و 98 - 88 = 10)

الجواب: \(8 + \dfrac{10}{11}\)

5) \(\dfrac{173}{20}\)

173 ÷ 20 = 8 والباقي 13

(لأن: 20 × 8 = 160 و 173 - 160 = 13)

الجواب: \(8 + \dfrac{13}{20}\)

6) \(\dfrac{241}{30}\)

241 ÷ 30 = 8 والباقي 1

(لأن: 30 × 8 = 240 و 241 - 240 = 1)

الجواب: \(8 + \dfrac{1}{30}\)

7) \(\dfrac{157}{14}\)

157 ÷ 14 = 11 والباقي 3

(لأن: 14 × 11 = 154 و 157 - 154 = 3)

الجواب: \(11 + \dfrac{3}{14}\)

8) \(\dfrac{289}{25}\)

289 ÷ 25 = 11 والباقي 14

(لأن: 25 × 11 = 275 و 289 - 275 = 14)

الجواب: \(11 + \dfrac{14}{25}\)

9) \(\dfrac{415}{40}\)

415 ÷ 40 = 10 والباقي 15

(لأن: 40 × 10 = 400 و 415 - 400 = 15)

يمكن تبسيط: \(\dfrac{15}{40} = \dfrac{3}{8}\)

الجواب: \(10 + \dfrac{3}{8}\)

10) \(\dfrac{197}{16}\)

197 ÷ 16 = 12 والباقي 5

(لأن: 16 × 12 = 192 و 197 - 192 = 5)

الجواب: \(12 + \dfrac{5}{16}\)

ملخص الإجابات:
\(4 + \dfrac{5}{8}\) ، \(7 + \dfrac{1}{12}\) ، \(8 + \dfrac{7}{15}\) ، \(8 + \dfrac{10}{11}\) ، \(8 + \dfrac{13}{20}\) ،
\(8 + \dfrac{1}{30}\) ، \(11 + \dfrac{3}{14}\) ، \(11 + \dfrac{14}{25}\) ، \(10 + \dfrac{3}{8}\) ، \(12 + \dfrac{5}{16}\)
التمرين السادس: تحدي - تمارين مركبة
اختزل التعابير التالية إلى أقصى حد:
\(\dfrac{16 \times 9 + 16 \times 11}{32 \times 5}\)
\(\dfrac{45 \times 8 - 45 \times 3}{15 \times 12 + 15 \times 8}\)
\(\dfrac{2^6 + 2^5}{2^4 \times 3}\)
\(\dfrac{3^4 - 3^3}{3^2 \times 8}\)
\(\dfrac{100 - 36}{8 + 56}\)
\(\dfrac{7 \times 15 - 7 \times 5}{14 \times 4 + 14 \times 6}\)
الحل المفصل
1) \(\dfrac{16 \times 9 + 16 \times 11}{32 \times 5}\)

البسط: نخرج 16 → \(16 \times (9 + 11) = 16 \times 20\)

المقام: \(32 \times 5 = 160\)

\(\dfrac{16 \times 20}{160} = \dfrac{320}{160} = 2\)

2) \(\dfrac{45 \times 8 - 45 \times 3}{15 \times 12 + 15 \times 8}\)

البسط: \(45 \times (8 - 3) = 45 \times 5 = 225\)

المقام: \(15 \times (12 + 8) = 15 \times 20 = 300\)

\(\dfrac{225}{300} = \dfrac{225 \div 75}{300 \div 75} = \dfrac{3}{4}\)

3) \(\dfrac{2^6 + 2^5}{2^4 \times 3}\)

البسط: نخرج 2⁵ → \(2^5 \times (2 + 1) = 32 \times 3 = 96\)

المقام: \(2^4 \times 3 = 16 \times 3 = 48\)

\(\dfrac{96}{48} = 2\)

4) \(\dfrac{3^4 - 3^3}{3^2 \times 8}\)

البسط: نخرج 3³ → \(3^3 \times (3 - 1) = 27 \times 2 = 54\)

المقام: \(3^2 \times 8 = 9 \times 8 = 72\)

\(\dfrac{54}{72} = \dfrac{54 \div 18}{72 \div 18} = \dfrac{3}{4}\)

5) \(\dfrac{100 - 36}{8 + 56}\)

البسط: 100 - 36 = 64

المقام: 8 + 56 = 64

\(\dfrac{64}{64} = 1\)

6) \(\dfrac{7 \times 15 - 7 \times 5}{14 \times 4 + 14 \times 6}\)

البسط: \(7 \times (15 - 5) = 7 \times 10 = 70\)

المقام: \(14 \times (4 + 6) = 14 \times 10 = 140\)

\(\dfrac{70}{140} = \dfrac{1}{2}\)

الإجابات النهائية:
\(2\) ، \(\dfrac{3}{4}\) ، \(2\) ، \(\dfrac{3}{4}\) ، \(1\) ، \(\dfrac{1}{2}\)
🎯 تهانينا! إذا نجحت في حل هذه التمارين فأنت تتقن تبسيط الكسور بشكل ممتاز!