ملخص حول الأعداد الكسرية النسبية والمستقيم المدرج

💡 الأعداد الكسرية النسبية (Q)

الأعداد الكسرية النسبية هي كل عدد يمكن كتابته على شكل كسر $$\frac{a}{b}$$، حيث $$a$$ عدد صحيح نسبي (موجب أو سالب) و $$b$$ عدد صحيح طبيعي غير منعدم (يعني لا يساوي الصفر).

تعريف:

$$Q = \left\{ \frac{a}{b} \mid a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N}^* \right\}$$

حيث $$\mathbb{Z}$$ هي مجموعة الأعداد الصحيحة النسبية (مثال: ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...).

و $$\mathbb{N}^*$$ هي مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية غير المنعدمة (مثال: 1, 2, 3, ...).

📚 أمثلة:

• $$\frac{3}{4}$$ هو عدد كسري نسبي.

• $$\frac{-5}{2}$$ هو عدد كسري نسبي.

• $$7 = \frac{7}{1}$$ هو عدد كسري نسبي (لأن كل عدد صحيح هو عدد كسري).

📝 الكتابات المختلفة للكسر

الكسر يمكن أن يكتب بعدة طرق دون أن تتغير قيمته.

خاصية:

لا تتغير قيمة الكسر إذا ضربنا (أو قسمنا) بسطه ومقامه في (أو على) نفس العدد غير المنعدم.

$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$$

$$\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}$$

حيث $$k$$ عدد غير منعدم.

📚 أمثلة:

• $$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 3}{2 \times 3} = \frac{3}{6}$$

• $$\frac{10}{20} = \frac{10 \div 10}{20 \div 10} = \frac{1}{2}$$

🔍 تبسيط كسر

تبسيط كسر يعني كتابته بأصغر بسط ومقام ممكنين، وهذا يعني أننا نقسم البسط والمقام على قاسم مشترك أكبر لهما.

كيف نبسط؟

لتبسيط كسر، نقسم البسط والمقام على نفس العدد (القاسم المشترك).

$$\frac{a}{b} = \frac{a \div \text{GCD}(a,b)}{b \div \text{GCD}(a,b)}$$

حيث GCD هو القاسم المشترك الأكبر.

📚 أمثلة:

تبسيط $$\frac{12}{18}$$:

نلاحظ أن 12 و 18 يقبلان القسمة على 6.

$$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$$

تبسيط $$\frac{25}{30}$$:

نلاحظ أن 25 و 30 يقبلان القسمة على 5.

$$\frac{25}{30} = \frac{25 \div 5}{30 \div 5} = \frac{5}{6}$$

🔢 توحيد المقامات

لتوحيد مقام كسرين، نجعل لهما نفس المقام المشترك، وهذا يسهل علينا مقارنة أو جمع أو طرح الكسور.

كيف نوحد المقامات؟

نبحث عن المضاعف المشترك الأصغر للمقامين (LCM) أو نضرب مقام كل كسر في مقام الكسر الآخر.

$$\frac{a}{b} \text{ و } \frac{c}{d}$$

$$\text{يمكن توحيد المقامات إلى } \frac{a \times d}{b \times d} \text{ و } \frac{c \times b}{d \times b}$$

📚 أمثلة:

نوحد مقامات $$\frac{1}{3}$$ و $$\frac{2}{5}$$:

المقام المشترك هو $$3 \times 5 = 15$$

$$\frac{1}{3} = \frac{1 \times 5}{3 \times 5} = \frac{5}{15}$$

$$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 3}{5 \times 3} = \frac{6}{15}$$

⚖️ مقارنة الكسور

لمقارنة كسرين، يجب أن يكون لهما نفس المقام.

إذا كان لهما نفس المقام:

الكسر ذو البسط الأكبر هو الأكبر.

$$\text{إذا كان } b > 0 \text{ و } a > c \implies \frac{a}{b} > \frac{c}{b}$$

إذا لم يكن لهما نفس المقام:

نوحد المقامات ثم نقارن البسطين.

📚 أمثلة:

قارن $$\frac{5}{7}$$ و $$\frac{3}{7}$$:

لهما نفس المقام (7). $$5 > 3$$

$$\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$$

قارن $$\frac{1}{2}$$ و $$\frac{2}{3}$$:

نوحد المقامات: $$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$$ و $$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$

بما أن $$4 > 3$$، إذن $$\frac{4}{6} > \frac{3}{6}$$ أي $$\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$$

🔟 الكسور العشرية

الكسر العشري هو كسر مقامه قوة للعدد 10 (مثل 10, 100, 1000, ...).

تعريف:

كسر عشري يكون مقامه من الشكل $$10^n$$ حيث $$n$$ عدد صحيح طبيعي.

$$\frac{a}{10^n}$$

📚 أمثلة:

• $$\frac{7}{10}$$

• $$\frac{25}{100}$$

• $$3.45 = \frac{345}{100}$$

📏 المستقيم المدرج

المستقيم المدرج هو مستقيم عليه نقطة أصل (صفر)، واتجاه موجب، ووحدة قياس.

تمثيل:

0 ----- 1 ----- 2 ----- 3 --...-

-1 ----- 0 ----- 1 ----- 2 --...-

📍 فاصلة نقطة (Abscissa of a point)

فاصلة نقطة على المستقيم المدرج هي العدد الذي يمثل موقع هذه النقطة.

مفهوم:

لكل نقطة على المستقيم المدرج يقابلها عدد يسمى فاصلة النقطة.

$$A \quad \quad B \quad \quad C$$ $$<---[---]---[---]---[---]--->$$ $$0 \quad \quad 1 \quad \quad 2 \quad \quad 3$$ إذا كانت النقطة A عند 1، ففاصلة A هي 1.

📚 أمثلة:

• إذا كانت النقطة $$M$$ تقع عند العلامة $$\frac{1}{2}$$ على المستقيم المدرج، فإن فاصلتها هي $$\frac{1}{2}$$.

• إذا كانت النقطة $$N$$ تقع عند العلامة $$-\frac{3}{4}$$، فإن فاصلتها هي $$-\frac{3}{4}$$.

↔️ المسافة بين نقطتين

المسافة بين نقطتين على المستقيم المدرج هي القيمة المطلقة للفرق بين فاصلتيهما.

خاصية:

المسافة بين نقطتين $$A$$ و $$B$$ فاصلتاهما $$x_A$$ و $$x_B$$ هي:

$$AB = |x_B - x_A|$$

📚 أمثلة:

إذا كانت فاصلة $$A$$ هي $$2$$ وفاصلة $$B$$ هي $$5$$:

$$AB = |5 - 2| = |3| = 3$$

إذا كانت فاصلة $$C$$ هي $$-1$$ وفاصلة $$D$$ هي $$3$$:

$$CD = |3 - (-1)| = |3 + 1| = |4| = 4$$

إذا كانت فاصلة $$E$$ هي $$\frac{1}{4}$$ وفاصلة $$F$$ هي $$\frac{3}{4}$$:

$$EF = \left|\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right| = \left|\frac{2}{4}\right| = \frac{1}{2}$$