الكسور النسبية - المجموعة ℚ

📚 الكسور النسبية - ℚ

المفاهيم الأساسية

الأجزاء والمجموعات الفرعية

النقيض والقيمة المطلقة

المقام المشترك

المقارنة والترتيب

أنواع خاصة من الكسور

🔢

مرحباً بك في عالم الكسور النسبية

اختر سؤالاً من القائمة على اليسار لعرض الإجابة التفصيلية

📖 ما هي الكسور النسبية؟

التعريف:

الكسر النسبي هو عدد يُكتب على شكل $$\frac{a}{b}$$ حيث:

$$a \in \mathbb{Z}$$ (البسط عدد صحيح نسبي)
$$b \in \mathbb{Z}^*$$ (المقام عدد صحيح نسبي غير منعدم)

أمثلة:

$$\frac{3}{5}$$ كسر نسبي (3 ∈ ℤ، 5 ∈ ℤ*)
$$\frac{-7}{4}$$ كسر نسبي (سالب)
$$\frac{0}{8} = 0$$ كسر نسبي
$$5 = \frac{5}{1}$$ كسر نسبي

ليست كسور نسبية:

$$\frac{3}{0}$$ ❌ (القسمة على صفر ممنوعة)
$$\frac{\sqrt{2}}{3}$$ ❌ (البسط ليس عدداً صحيحاً)

سهل

🔢 ما هي المجموعة ℚ؟

التعريف:

$$\mathbb{Q}$$ هي مجموعة جميع الأعداد النسبية:

$$\mathbb{Q} = \left\{ \frac{a}{b} : a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{Z}^* \right\}$$

الرمز:

ℚ يأتي من كلمة Quotient (خارج قسمة بالإنجليزية)

أمثلة من ℚ:

$$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{-5}{7}, \frac{22}{7}$$
كل الأعداد الصحيحة: $$..., -2, -1, 0, 1, 2, ...$$
الأعداد العشرية المنتهية: $$0.5 = \frac{1}{2}$$

خصائص ℚ:

مجموعة غير منتهية (لا نهاية لها)
كثيفة (بين أي عددين يوجد عدد آخر)
مرتبة (يمكن المقارنة والترتيب)

سهل

✏️ كيف نكتب عدداً نسبياً؟

الأشكال المختلفة:

1. الكسر الاعتيادي:

$$\frac{3}{4}$$

2. العدد الصحيح:

$$5 = \frac{5}{1} = \frac{10}{2} = \frac{15}{3}$$

3. الكسر السالب:

$$-\frac{3}{5} = \frac{-3}{5} = \frac{3}{-5}$$
نفضل: $$-\frac{3}{5}$$ (الإشارة في البسط أو أمام الكسر)

4. العدد الكسري (مختلط):

$$2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$$

ملاحظة هامة:

دائماً نكتب الكسر في أبسط صورة

$$\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

سهل

⚖️ ما هي الكسور المتساوية؟

التعريف:

كسران متساويان إذا كان حاصل ضرب طرفيهما متساوياً:

$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Leftrightarrow a \times d = b \times c$$

مثال 1:

هل $$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$$؟

نتحقق: $$2 \times 6 = 12$$ و $$3 \times 4 = 12$$

✓ نعم متساويان

القاعدة العامة:

إذا ضربنا البسط والمقام بنفس العدد (غير الصفر)، نحصل على كسر مساوٍ:

$$\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}$$ حيث $$k \neq 0$$

أمثلة:

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}$$
$$\frac{-3}{5} = \frac{-6}{10} = \frac{-9}{15}$$

سهل

🔄 كيف نبسط كسراً؟

الطريقة:

نقسم البسط والمقام على القاسم المشترك الأكبر (PGCD)

مثال: تبسيط $$\frac{12}{18}$$

الخطوة 1: نجد PGCD(12, 18)

قواسم 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

قواسم 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18

PGCD(12, 18) = 6

الخطوة 2: نقسم البسط والمقام على 6:

$$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$$

مثال مع أعداد سالبة:

$$\frac{-15}{25} = \frac{-15 \div 5}{25 \div 5} = \frac{-3}{5}$$

نصيحة:

الكسر في أبسط صورة عندما PGCD(البسط، المقام) = 1

متوسط

🎯 ما هي ℚ*؟

التعريف:

$$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q} \setminus \{0\}$$

مجموعة الأعداد النسبية بدون الصفر

صيغة أخرى:

$$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}^+ \cup \mathbb{Q}^-$$

أمثلة:

$$\frac{3}{5}, -\frac{2}{7}, 4, -10 \in \mathbb{Q}^*$$
$$0 \notin \mathbb{Q}^*$$

أهمية ℚ*:

نستخدمها عندما نريد:

المقامات (لا يمكن أن تكون صفراً)
المعكوس الضربي (لكل عنصر في ℚ* معكوس)
القسمة (لا نقسم على صفر)

متوسط

➕ ما هي ℚ⁺* (الأعداد النسبية الموجبة غير المنعدمة)؟

التعريف:

$$\mathbb{Q}^{+*} = \left\{ x \in \mathbb{Q} : x > 0 \right\}$$

مجموعة الأعداد النسبية الموجبة غير المنعدمة (الأكبر من صفر)

أمثلة:

$$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{7}{5}, \frac{22}{7} \in \mathbb{Q}^{+*}$$
$$1, 2, 3, 100 \in \mathbb{Q}^{+*}$$
$$0.5, 1.75, 3.14 \in \mathbb{Q}^{+*}$$

خصائص:

الصفر لا ينتمي إلى ℚ⁺* (0 ∉ ℚ⁺*)
كل عنصر موجب
مغلقة على الجمع والضرب

سهل

➖ ما هي ℚ⁻* (الأعداد النسبية السالبة غير المنعدمة)؟

التعريف:

$$\mathbb{Q}^{-*} = \left\{ x \in \mathbb{Q} : x < 0 \right\}$$

مجموعة الأعداد النسبية السالبة غير المنعدمة (الأصغر من صفر)

أمثلة:

$$-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}, -\frac{7}{5} \in \mathbb{Q}^{-*}$$
$$-1, -2, -10, -100 \in \mathbb{Q}^{-*}$$
$$-0.5, -1.75, -3.14 \in \mathbb{Q}^{-*}$$

خصائص:

الصفر لا ينتمي إلى ℚ⁻* (0 ∉ ℚ⁻*)
كل عنصر سالب
$$\mathbb{Q}^{+*} \cap \mathbb{Q}^{-*} = \emptyset$$ (لا يوجد تقاطع)

سهل

🌳 كيف نمثل ℚ بمخطط؟

المخطط الشجري:

ℚ (الأعداد النسبية)
ℚ⁺ (الموجبة)	{0}	ℚ⁻ (السالبة)

العلاقات:

$$\mathbb{Q} = \mathbb{Q}^+ \cup \{0\} \cup \mathbb{Q}^-$$
$$\mathbb{Q}^* = \mathbb{Q}^+ \cup \mathbb{Q}^-$$
$$\mathbb{Q}^+ \cap \mathbb{Q}^- = \emptyset$$

متوسط

🔗 هل ℤ ⊂ ℚ؟

الجواب: نعم!

كل عدد صحيح هو عدد نسبي

البرهان:

لكل $$n \in \mathbb{Z}$$، يمكن كتابته:

$$n = \frac{n}{1}$$

وهذا كسر نسبي، إذاً $$n \in \mathbb{Q}$$

أمثلة:

$$5 = \frac{5}{1} \in \mathbb{Q}$$
$$-3 = \frac{-3}{1} \in \mathbb{Q}$$
$$0 = \frac{0}{1} \in \mathbb{Q}$$

السلسلة:

$$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

متوسط

↔️ ما هو النقيض (المعاكس)؟

التعريف:

نقيض (معاكس) العدد $$\frac{a}{b}$$ هو $$-\frac{a}{b}$$

$$\text{opp}\left(\frac{a}{b}\right) = -\frac{a}{b}$$

أمثلة:

$$\text{opp}\left(\frac{3}{5}\right) = -\frac{3}{5}$$
$$\text{opp}\left(-\frac{2}{7}\right) = \frac{2}{7}$$
$$\text{opp}(0) = 0$$

الخاصية الأساسية:

$$\frac{a}{b} + \left(-\frac{a}{b}\right) = 0$$

ملاحظة:

$$\text{opp}(\text{opp}(x)) = x$$

سهل

📏 ما هي القيمة المطلقة؟

التعريف:

القيمة المطلقة لعدد نسبي هي المسافة من الصفر على محور الأعداد

القاعدة:

$$\left|\frac{a}{b}\right| = \begin{cases} \frac{a}{b} & \text{إذا } \frac{a}{b} \geq 0 \\ -\frac{a}{b} & \text{إذا } \frac{a}{b} < 0 \end{cases}$$

أمثلة:

$$\left|\frac{3}{5}\right| = \frac{3}{5}$$
$$\left|-\frac{7}{4}\right| = \frac{7}{4}$$
$$|0| = 0$$

خاصية مهمة:

القيمة المطلقة دائماً موجبة أو صفر:

$$\left|\frac{a}{b}\right| \geq 0$$

سهل

📐 كيف نحسب |a/b|؟

الطريقة البسيطة:

نحذف الإشارة السالبة إن وجدت

مثال 1:

$$\left|\frac{5}{8}\right| = \frac{5}{8}$$

مثال 2:

$$\left|-\frac{3}{7}\right| = \frac{3}{7}$$

مثال 3: حساب مركب

$$\left|-\frac{4}{5}\right| + \left|\frac{2}{3}\right| = \frac{4}{5} + \frac{2}{3} = \frac{12}{15} + \frac{10}{15} = \frac{22}{15}$$

تطبيق: المسافة

المسافة بين $$\frac{1}{4}$$ و $$\frac{3}{4}$$:

$$\left|\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right| = \left|\frac{2}{4}\right| = \frac{1}{2}$$

متوسط

🎲 ما علاقة النقيض بالقيمة المطلقة؟

الخاصية الأساسية:

$$\left|-\frac{a}{b}\right| = \left|\frac{a}{b}\right|$$

القيمة المطلقة للعدد ونقيضه متساويتان

أمثلة:

$$\left|\frac{3}{5}\right| = \left|-\frac{3}{5}\right| = \frac{3}{5}$$
$$\left|\frac{7}{4}\right| = \left|-\frac{7}{4}\right| = \frac{7}{4}$$

تمثيل بياني:

$$-\frac{3}{5}$$ و $$\frac{3}{5}$$ على بُعد متساوٍ من 0

خاصية إضافية:

$$|x| = |-x|$$

متوسط

🔗 ما هو المقام المشترك؟

التعريف:

المقام المشترك هو عدد يقبل القسمة على مقامات جميع الكسور

مثال:

للكسرين $$\frac{1}{4}$$ و $$\frac{1}{6}$$:

المقامات المشتركة: 12، 24، 36، 48، ...
المقام المشترك الأصغر (م.م.أ): 12

لماذا نحتاجه؟

لجمع أو طرح الكسور بمقامات مختلفة

سهل

⭐ كيف نجد م.م.أ (المقام المشترك الأصغر)؟

الطريقة 1: المضاعفات

نكتب مضاعفات كل مقام ونختار الأصغر المشترك

مثال: م.م.أ(4, 6)

مضاعفات 4: 4, 8, 12, 16, 20, ...

مضاعفات 6: 6, 12, 18, 24, ...

م.م.أ(4, 6) = 12

الطريقة 2: التحليل إلى عوامل

$$4 = 2^2$$

$$6 = 2 \times 3$$

م.م.أ = $$2^2 \times 3 = 12$$

الطريقة السريعة:

إذا كان أحد المقامين مضاعفاً للآخر:

م.م.أ = المقام الأكبر

متوسط

🎯 كيف نوحد المقامات؟

الخطوات:

نجد م.م.أ للمقامات
نحول كل كسر إلى مقام مشترك
نضرب البسط والمقام بنفس العدد

مثال: توحيد $$\frac{1}{4}$$ و $$\frac{1}{6}$$

الخطوة 1: م.م.أ(4, 6) = 12

الخطوة 2: تحويل الكسور:

$$\frac{1}{4} = \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$$

$$\frac{1}{6} = \frac{1 \times 2}{6 \times 2} = \frac{2}{12}$$

التحقق:

$$\frac{3}{12}$$ و $$\frac{2}{12}$$ لهما نفس المقام ✓

متوسط

⚖️ كيف نقارن كسرين؟

الحالة 1: نفس المقام

نقارن البسوط مباشرة

$$\frac{3}{7} < \frac{5}{7}$$ لأن $$3 < 5$$

الحالة 2: نفس البسط

الكسر بمقام أصغر هو الأكبر

$$\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$$ لأن $$3 < 5$$

الحالة 3: مقامات مختلفة

نوحد المقامات ثم نقارن

مثال: مقارنة $$\frac{2}{3}$$ و $$\frac{3}{4}$$

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$ و $$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$

$$\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$$ إذاً $$\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$$

الحالة 4: أعداد سالبة

الكسر السالب دائماً أصغر من الموجب

$$-\frac{1}{2} < \frac{1}{5}$$

متوسط

📊 كيف نرتب الكسور؟

الطريقة:

نوحد المقامات
نرتب حسب البسوط

مثال: ترتيب $$\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}$$

م.م.أ(2, 3, 4) = 12

$$\frac{1}{2} = \frac{6}{12}$$

$$\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$$

$$\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$$

الترتيب التصاعدي:

$$\frac{1}{2} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4}$$

مع أعداد سالبة:

ترتيب: $$\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, -\frac{1}{5}$$

$$-\frac{1}{3} < -\frac{1}{5} < \frac{1}{4} < \frac{1}{2}$$

صعب

🌟 ما هي الكثافة في ℚ؟

التعريف:

بين أي عددين نسبيين مختلفين، يوجد عدد نسبي آخر (بل عدد لا نهائي)

مثال:

بين $$\frac{1}{2}$$ و $$\frac{3}{4}$$:

$$\frac{5}{8}$$ (المتوسط)
$$\frac{9}{16}, \frac{11}{16}, \frac{13}{16}$$
عدد لا نهائي من الكسور!

الفرق مع ℤ:

بين 5 و 6 لا يوجد عدد صحيح

لكن بين $$\frac{5}{1}$$ و $$\frac{6}{1}$$ يوجد ∞ من الكسور!

صعب

🔢 كيف نجد كسراً بين كسرين؟

الطريقة 1: المتوسط الحسابي

نجمع الكسرين ونقسم على 2

$$\frac{a + b}{2}$$

مثال: كسر بين $$\frac{1}{4}$$ و $$\frac{1}{2}$$

$$\frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{3}{4}}{2} = \frac{3}{8}$$

التحقق: $$\frac{1}{4} < \frac{3}{8} < \frac{1}{2}$$ ✓

الطريقة 2: توحيد المقامات

بين $$\frac{1}{3}$$ و $$\frac{1}{2}$$:

$$\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$$ و $$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$$

نختار: $$\frac{5}{12}$$ (بين 4/12 و 6/12)

صعب

🎂 ما هي الكسور الاعتيادية؟

التعريف:

كسور البسط فيها أصغر من المقام

$$\frac{a}{b}$$ حيث $$|a| < |b|$$

أمثلة:

$$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, \frac{5}{8}, \frac{7}{10}$$
$$-\frac{2}{5}, -\frac{3}{7}$$

خاصية:

قيمتها المطلقة أصغر من 1

$$\left|\frac{a}{b}\right| < 1$$

سهل

🍰 ما هي الكسور الخاصة؟

1. الكسر غير الاعتيادي:

البسط ≥ المقام

$$\frac{7}{4}, \frac{9}{5}, \frac{11}{3}$$

2. العدد الكسري:

عدد صحيح + كسر اعتيادي

$$2\frac{3}{4} = \frac{11}{4}$$

3. الكسر الوحدي:

البسط = 1

$$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}$$

4. الكسور المتكافئة:

$$\frac{1}{2} = \frac{2}{4} = \frac{3}{6} = \frac{5}{10}$$

متوسط

🔄 ما هو المقلوب (العكس)؟

التعريف:

مقلوب $$\frac{a}{b}$$ هو $$\frac{b}{a}$$

$$\text{inv}\left(\frac{a}{b}\right) = \frac{b}{a}$$ حيث $$a \neq 0$$

أمثلة:

$$\text{inv}\left(\frac{3}{5}\right) = \frac{5}{3}$$
$$\text{inv}\left(-\frac{2}{7}\right) = -\frac{7}{2}$$
$$\text{inv}(4) = \text{inv}\left(\frac{4}{1}\right) = \frac{1}{4}$$

الخاصية الأساسية:

$$\frac{a}{b} \times \frac{b}{a} = 1$$

ملاحظة هامة:

الصفر ليس له مقلوب! (لا يمكن القسمة على صفر)

متوسط

📈 ما الفرق بين ℚ و ℝ؟

ℚ (الأعداد النسبية):

يمكن كتابتها كسراً $$\frac{a}{b}$$
أمثلة: $$\frac{1}{2}, \frac{3}{4}, 5, -\frac{7}{3}$$
الأعداد العشرية المنتهية أو الدورية

ℝ (الأعداد الحقيقية):

تشمل ℚ + الأعداد غير النسبية
أمثلة غير نسبية: $$\sqrt{2}, \pi, e$$
لا يمكن كتابتها كسراً

العلاقة:

$$\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$$

كل عدد نسبي هو عدد حقيقي، لكن ليس العكس

مثال:

$$0.5 = \frac{1}{2} \in \mathbb{Q}$$
$$\sqrt{2} = 1.414... \notin \mathbb{Q}$$ (غير دوري)

صعب