القسمة - الأعداد الطبيعية الصحيحة

🎯 تعريف قابلية القسمة

العدد الصحيح a يقسم العدد الصحيح b إذا وجد عدد صحيح k بحيث:

نقول أن a يقسم b ونكتب a | b

b = k × a

• a يسمى مقسوم عليه لـ b

• b يسمى مضاعف لـ a

📚 أمثلة:

• 3 | 12 لأن 12 = 4 × 3

• 5 | 25 لأن 25 = 5 × 5

• 7 ∤ 15 لأنه لا يوجد عدد صحيح k بحيث 15 = k × 7

📐 معايير قابلية القسمة

🔥 القسمة على 2

العدد يقبل القسمة على 2 إذا كان رقم آحاده زوجيًا (0, 2, 4, 6, 8).

124, 356, 1008

⭐ القسمة على 3

العدد يقبل القسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 3.

123 → 1+2+3=6 → 6÷3=2

💫 القسمة على 4

العدد يقبل القسمة على 4 إذا كان العدد المكون من آخر رقمين يقبل القسمة على 4.

1324 → 24÷4=6

🌟 القسمة على 5

العدد يقبل القسمة على 5 إذا كان رقم آحاده 0 أو 5.

125, 340, 1995

✨ القسمة على 9

العدد يقبل القسمة على 9 إذا كان مجموع أرقامه يقبل القسمة على 9.

729 → 7+2+9=18 → 18÷9=2

🎯 القسمة على 10

العدد يقبل القسمة على 10 إذا كان رقم آحاده 0.

120, 1500, 38970

🔟 معايير القسمة للأعداد المركبة

💡 معايير للأعداد المركبة:

القسمة على 6

= يقبل القسمة على 2 وعلى 3

لأن 6 = 2 × 3 و PGCD(2,3) = 1

📊 أمثلة لمعايير مركبة:

• القسمة على 6 ⟺ القسمة على 2 وعلى 3

• القسمة على 12 ⟺ القسمة على 3 وعلى 4

• القسمة على 15 ⟺ القسمة على 3 وعلى 5

• القسمة على 18 ⟺ القسمة على 2 وعلى 9

🔥 الأعداد الأولية

العدد الأولي هو عدد طبيعي له قاسمان فقط: 1 والعدد نفسه.

الأعداد الأولية < 100

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

📚 خصائص مهمة:

• 2 هو العدد الأولي الزوجي الوحيد

• 1 ليس عددًا أوليًا ولا مركبًا

• كل عدد مركب له على الأقل قاسم أولي

• لاختبار أولية العدد n، نختبر القسمة على الأعداد الأولية ≤ √n

⚡ التحليل إلى عوامل أولية

كل عدد صحيح أكبر من 1 يمكن كتابته بشكل فريد كحاصل ضرب أعداد أولية:

n = p₁^α₁ × p₂^α₂ × ... × pₖ^αₖ

📚 أمثلة:

• 12 = 2² × 3

• 60 = 2² × 3 × 5

• 72 = 2³ × 3²

• 100 = 2² × 5²

🔧 طريقة التحليل:

60 | 2 → 30 | 2 → 15 | 3 → 5 | 5 → 1

60 = 2² × 3 × 5

📊 القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر

PGCD(a,b): القاسم المشترك الأكبر

PPCM(a,b): المضاعف المشترك الأصغر

PGCD(a,b) × PPCM(a,b) = a × b

🔍 طرق الحساب:

1️⃣ بالتحليل إلى عوامل أولية:

PGCD(60, 48):
60 = 2² × 3 × 5
48 = 2⁴ × 3
PGCD = 2² × 3 = 12

2️⃣ بخوارزمية إقليدس:

60 = 48 × 1 + 12
48 = 12 × 4 + 0
PGCD(60, 48) = 12

🌟 خصائص قابلية القسمة

🔗 خصائص أساسية:

إذا كان a | b و b | c، فإن a | c

(خاصية التعدي)

إذا كان a | b و a | c، فإن a | (b ± c)

(الخطية)

إذا كان a | b، فإن a | (k × b) لأي عدد صحيح k

(الضرب في عدد ثابت)

📚 تطبيقات:

• إذا كان 3 | 15 و 15 | 45، فإن 3 | 45

• إذا كان 4 | 12 و 4 | 20، فإن 4 | (12 + 20) = 4 | 32

• إذا كان 5 | 25، فإن 5 | (3 × 25) = 5 | 75

🎯 تطبيقات عملية

🧮 حل المسائل:

💼 مسألة 1: تنظيم الفعاليات

المطلوب: نريد توزيع 84 طالب و60 أستاذ في مجموعات متساوية. ما هو أكبر عدد ممكن من المجموعات؟

الحل: PGCD(84, 60) = 12
يمكن عمل 12 مجموعة كل منها 7 طلاب و5 أساتذة.

🚌 مسألة 2: المواصلات

المطلوب: حافلتان تنطلقان معًا. الأولى تعود كل 15 دقيقة، والثانية كل 20 دقيقة. متى ستلتقيان مجددًا؟

الحل: PPCM(15, 20) = 60 دقيقة
ستلتقيان بعد ساعة واحدة.

🔍 الاختبارات والتحقق

✅ اختبار الأعداد الأولية

للتحقق من أولية العدد n، نختبر القسمة على جميع الأعداد الأولية ≤ √n

🔄 التحقق من المعايير

استخدم معايير القسمة للتحقق السريع دون إجراء القسمة

📈 التحسين

اجمع بين عدة معايير لاختبارات أكثر كفاءة

🎲 تطبيقات في نظرية الأعداد

استخدم في الكسور، المعادلات الديوفانتية، التشفير