التمرين عدد 1
أ) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 2 و 3 في نفس الوقت
8748 | 4897 | 9814 | 8642 | 5796 | 7652 | 4811 | 7990 | 5785
ب) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 3
7533 | 8646 | 9339
ج) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 4 و 3 في نفس الوقت
5786 | 5934 | 3276 | 5734 | 6770 | 8660
د) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 5 و 3 في نفس الوقت
7552 | 6005 | 8600 | 6390 | 9905 | 8653 | 5820 | 6444
ه) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 4 و 9 في نفس الوقت
5232 | 4736 | 8216
و) أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على 8
4518 | 98734 | 4538 | 5733
التصحيح المفصل للتمرين الأول
أ) الأعداد القابلة للقسمة على 2 و 3 (أي على 6):
• العدد قابل للقسمة على 2 إذا كان رقم آحاده زوجي
• العدد قابل للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه قابل للقسمة على 3
الحلول:
- 8748: زوجي (8) ومجموع أرقامه = 8+7+4+8 = 27 قابل للقسمة على 3 ✓
- 8642: زوجي (2) ومجموع أرقامه = 8+6+4+2 = 20 غير قابل للقسمة على 3 ✗
- 5796: زوجي (6) ومجموع أرقامه = 5+7+9+6 = 27 قابل للقسمة على 3 ✓
- 7652: زوجي (2) ومجموع أرقامه = 7+6+5+2 = 20 غير قابل للقسمة على 3 ✗
• العدد قابل للقسمة على 2 إذا كان رقم آحاده زوجي
• العدد قابل للقسمة على 3 إذا كان مجموع أرقامه قابل للقسمة على 3
الحلول:
- 8748: زوجي (8) ومجموع أرقامه = 8+7+4+8 = 27 قابل للقسمة على 3 ✓
- 8642: زوجي (2) ومجموع أرقامه = 8+6+4+2 = 20 غير قابل للقسمة على 3 ✗
- 5796: زوجي (6) ومجموع أرقامه = 5+7+9+6 = 27 قابل للقسمة على 3 ✓
- 7652: زوجي (2) ومجموع أرقامه = 7+6+5+2 = 20 غير قابل للقسمة على 3 ✗
ب) الأعداد القابلة للقسمة على 3:
- 7533: مجموع الأرقام = 7+5+3+3 = 18 قابل للقسمة على 3 ✓
- 8646: مجموع الأرقام = 8+6+4+6 = 24 قابل للقسمة على 3 ✓
- 9339: مجموع الأرقام = 9+3+3+9 = 24 قابل للقسمة على 3 ✓
- 7533: مجموع الأرقام = 7+5+3+3 = 18 قابل للقسمة على 3 ✓
- 8646: مجموع الأرقام = 8+6+4+6 = 24 قابل للقسمة على 3 ✓
- 9339: مجموع الأرقام = 9+3+3+9 = 24 قابل للقسمة على 3 ✓
ج) الأعداد القابلة للقسمة على 4 و 3:
• العدد قابل للقسمة على 4 إذا كان العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابل للقسمة على 4
- 5934: 34 ÷ 4 = 8.5 ✗
- 3276: 76 ÷ 4 = 19 ✓ ومجموع الأرقام = 18 ✓
الجواب: 3276
• العدد قابل للقسمة على 4 إذا كان العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابل للقسمة على 4
- 5934: 34 ÷ 4 = 8.5 ✗
- 3276: 76 ÷ 4 = 19 ✓ ومجموع الأرقام = 18 ✓
الجواب: 3276
التمرين عدد 2
(1) حدد x و y لكي يصبح العدد قابل للقسمة على 3 و 5 في كل حالة:
4x7y; 36x5y; 2x4y; 32x5y
(2) حدد x و y لكي يصبح العدد قابل للقسمة على 9 و 5 في كل حالة:
24x7y | 234xy | 10x2y | 34xy | 36x5y | 2x4y | 32x5y | 10x2y
(3) حدد x و y لكي يصبح العدد قابل للقسمة على 3 و 25:
24x7y; 36x5y; 2x4y; 32x5y; 10x2y
التصحيح المفصل للتمرين الثاني
(1) للقسمة على 3 و 5:
• للقسمة على 5: y ∈ {0, 5}
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
4x7y:
- إذا y = 0: 4+x+7+0 = 11+x ≡ 0 (mod 3) ⟹ x ∈ {1, 4, 7}
- إذا y = 5: 4+x+7+5 = 16+x ≡ 0 (mod 3) ⟹ x ∈ {2, 5, 8}
الحلول: (x,y) ∈ {(1,0), (4,0), (7,0), (2,5), (5,5), (8,5)}
• للقسمة على 5: y ∈ {0, 5}
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
4x7y:
- إذا y = 0: 4+x+7+0 = 11+x ≡ 0 (mod 3) ⟹ x ∈ {1, 4, 7}
- إذا y = 5: 4+x+7+5 = 16+x ≡ 0 (mod 3) ⟹ x ∈ {2, 5, 8}
الحلول: (x,y) ∈ {(1,0), (4,0), (7,0), (2,5), (5,5), (8,5)}
(2) للقسمة على 9 و 5:
• للقسمة على 5: y ∈ {0, 5}
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 9
24x7y:
- إذا y = 0: 2+4+x+7+0 = 13+x ≡ 0 (mod 9) ⟹ x = 5
- إذا y = 5: 2+4+x+7+5 = 18+x ≡ 0 (mod 9) ⟹ x ∈ {0, 9}
الحلول: (x,y) ∈ {(5,0), (0,5), (9,5)}
• للقسمة على 5: y ∈ {0, 5}
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 9
24x7y:
- إذا y = 0: 2+4+x+7+0 = 13+x ≡ 0 (mod 9) ⟹ x = 5
- إذا y = 5: 2+4+x+7+5 = 18+x ≡ 0 (mod 9) ⟹ x ∈ {0, 9}
الحلول: (x,y) ∈ {(5,0), (0,5), (9,5)}
(3) للقسمة على 3 و 25:
• للقسمة على 25: العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابل للقسمة على 25
• الأعداد القابلة للقسمة على 25: 00, 25, 50, 75
24x7y: العدد المكون من الآحاد والعشرات هو 7y
- 7y يجب أن يكون من {00, 25, 50, 75}
- لا يوجد حل لأن 7y لا يمكن أن يساوي أي من هذه القيم
• للقسمة على 25: العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات قابل للقسمة على 25
• الأعداد القابلة للقسمة على 25: 00, 25, 50, 75
24x7y: العدد المكون من الآحاد والعشرات هو 7y
- 7y يجب أن يكون من {00, 25, 50, 75}
- لا يوجد حل لأن 7y لا يمكن أن يساوي أي من هذه القيم
التمرين عدد 3
اذكر من بين الأعداد التالية تلك التي تقبل القسمة على 8:
110017065400، 78456، 4098721، 32085
التصحيح المفصل للتمرين الثالث
قاعدة القسمة على 8:
العدد قابل للقسمة على 8 إذا كان العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام قابل للقسمة على 8
العدد قابل للقسمة على 8 إذا كان العدد المكون من آخر ثلاثة أرقام قابل للقسمة على 8
فحص الأعداد:
1) 110017065400:
آخر 3 أرقام: 400
400 ÷ 8 = 50 ✓ (قابل للقسمة على 8)
2) 78456:
آخر 3 أرقام: 456
456 ÷ 8 = 57 ✓ (قابل للقسمة على 8)
3) 4098721:
آخر 3 أرقام: 721
721 ÷ 8 = 90.125 ✗ (غير قابل للقسمة على 8)
4) 32085:
آخر 3 أرقام: 085 = 85
85 ÷ 8 = 10.625 ✗ (غير قابل للقسمة على 8)
1) 110017065400:
آخر 3 أرقام: 400
400 ÷ 8 = 50 ✓ (قابل للقسمة على 8)
2) 78456:
آخر 3 أرقام: 456
456 ÷ 8 = 57 ✓ (قابل للقسمة على 8)
3) 4098721:
آخر 3 أرقام: 721
721 ÷ 8 = 90.125 ✗ (غير قابل للقسمة على 8)
4) 32085:
آخر 3 أرقام: 085 = 85
85 ÷ 8 = 10.625 ✗ (غير قابل للقسمة على 8)
الإجابة النهائية:
الأعداد القابلة للقسمة على 8 هي: 110017065400 و 78456
الأعداد القابلة للقسمة على 8 هي: 110017065400 و 78456
التمرين عدد 4 - التمارين النظرية
(1) بين أن العدد $2^{18}-2^{15}$ قابل للقسمة على 7
(2) بين أن العدد $2^{18}+2^{16}$ قابل للقسمة على 4 و 5 في نفس الوقت
(3) بين أن العدد $3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4}$ قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت
(4) بين أن العدد $5^{103}-2\times25^{50}$ قابل للقسمة على 3
التصحيح المفصل للتمرين الرابع
(1) إثبات أن $2^{18}-2^{15}$ قابل للقسمة على 7:
$2^{18}-2^{15} = 2^{15}(2^3-1) = 2^{15} \times 7$
بما أن العبارة تحتوي على العامل 7، فإن العدد قابل للقسمة على 7. ✓
$2^{18}-2^{15} = 2^{15}(2^3-1) = 2^{15} \times 7$
بما أن العبارة تحتوي على العامل 7، فإن العدد قابل للقسمة على 7. ✓
(2) إثبات أن $2^{18}+2^{16}$ قابل للقسمة على 4 و 5:
$2^{18}+2^{16} = 2^{16}(2^2+1) = 2^{16} \times 5$
للقسمة على 4:
$2^{16} = (2^2)^8 = 4^8$، إذن العدد قابل للقسمة على 4. ✓
للقسمة على 5:
العبارة تحتوي على العامل 5، إذن العدد قابل للقسمة على 5. ✓
$2^{18}+2^{16} = 2^{16}(2^2+1) = 2^{16} \times 5$
للقسمة على 4:
$2^{16} = (2^2)^8 = 4^8$، إذن العدد قابل للقسمة على 4. ✓
للقسمة على 5:
العبارة تحتوي على العامل 5، إذن العدد قابل للقسمة على 5. ✓
(3) إثبات أن $4 \times 3^4$ قابل للقسمة على 9 و 4:
$3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4} = 4 \times 3^4$
للقسمة على 4:
العبارة تحتوي على العامل 4، إذن العدد قابل للقسمة على 4. ✓
للقسمة على 9:
$3^4 = 81 = 9 \times 9$
إذن $4 \times 3^4 = 4 \times 9 \times 9$، العدد قابل للقسمة على 9. ✓
$3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4} = 4 \times 3^4$
للقسمة على 4:
العبارة تحتوي على العامل 4، إذن العدد قابل للقسمة على 4. ✓
للقسمة على 9:
$3^4 = 81 = 9 \times 9$
إذن $4 \times 3^4 = 4 \times 9 \times 9$، العدد قابل للقسمة على 9. ✓
(4) إثبات أن $5^{103}-2\times25^{50}$ قابل للقسمة على 3:
نعلم أن $25 = 5^2$، إذن $25^{50} = (5^2)^{50} = 5^{100}$
$5^{103}-2\times5^{100} = 5^{100}(5^3-2) = 5^{100}(125-2) = 5^{100} \times 123$
نفحص إذا كان 123 قابل للقسمة على 3:
مجموع أرقام 123 = 1+2+3 = 6، و 6 قابل للقسمة على 3
إذن 123 قابل للقسمة على 3، والعدد الأصلي قابل للقسمة على 3. ✓
نعلم أن $25 = 5^2$، إذن $25^{50} = (5^2)^{50} = 5^{100}$
$5^{103}-2\times5^{100} = 5^{100}(5^3-2) = 5^{100}(125-2) = 5^{100} \times 123$
نفحص إذا كان 123 قابل للقسمة على 3:
مجموع أرقام 123 = 1+2+3 = 6، و 6 قابل للقسمة على 3
إذن 123 قابل للقسمة على 3، والعدد الأصلي قابل للقسمة على 3. ✓
التمرين عدد 5
(1) حدد x و y لكي يصبح العدد قابل للقسمة على 3 و 4 في كل حالة:
2x40y | 32x5y6 | 10xy24 | 3x24y
(2) حدد y و x لكي يصبح العدد قابل للقسمة على 8 و 9 في كل حالة:
24x7y0 | 36x5y6 | 10x42y | 34xy
(3) حدد x و y لكي يصبح العدد قابل للقسمة على 25 و 8 مع ذكر جميع الحلول:
24x7y0 | 3665xy | 10x42y | 34xy
التصحيح المفصل للتمرين الخامس
(1) للقسمة على 3 و 4:
• للقسمة على 4: آخر رقمين قابل للقسمة على 4
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
2x40y:
- للقسمة على 4: 0y ∈ {00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96}
- إذن y ∈ {0, 4, 8}
- للقسمة على 3: 2+x+4+0+y = 6+x+y ≡ 0 (mod 3)
- x+y ≡ 0 (mod 3)
- الحلول: (x,y) ∈ {(0,0), (3,0), (6,0), (9,0), (2,4), (5,4), (8,4), (1,8), (4,8), (7,8)}
• للقسمة على 4: آخر رقمين قابل للقسمة على 4
• للقسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3
2x40y:
- للقسمة على 4: 0y ∈ {00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92, 96}
- إذن y ∈ {0, 4, 8}
- للقسمة على 3: 2+x+4+0+y = 6+x+y ≡ 0 (mod 3)
- x+y ≡ 0 (mod 3)
- الحلول: (x,y) ∈ {(0,0), (3,0), (6,0), (9,0), (2,4), (5,4), (8,4), (1,8), (4,8), (7,8)}
التمرين عدد 6
حدد x و y لكي يصبح العدد قابل للقسمة على 3 و 4 و 5 مع ذكر جميع الحلول:
24x7y0 | 36x5y6 | 10x42y
التصحيح المفصل للتمرين السادس
للقسمة على 3 و 4 و 5 معاً (أي على 60):
24x7y0:
- للقسمة على 5: العدد ينتهي بـ 0 ✓
- للقسمة على 4: آخر رقمين = y0، يجب y0 ÷ 4 = صحيح
- y ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
- للقسمة على 3: 2+4+x+7+y+0 = 13+x+y ≡ 0 (mod 3)
- x+y ≡ 2 (mod 3)
الحلول النهائية:
- إذا y = 0: x ≡ 2 (mod 3) → x ∈ {2, 5, 8}
- إذا y = 2: x ≡ 0 (mod 3) → x ∈ {0, 3, 6, 9}
- إذا y = 4: x ≡ 1 (mod 3) → x ∈ {1, 4, 7}
- إذا y = 6: x ≡ 2 (mod 3) → x ∈ {2, 5, 8}
- إذا y = 8: x ≡ 0 (mod 3) → x ∈ {0, 3, 6, 9}
24x7y0:
- للقسمة على 5: العدد ينتهي بـ 0 ✓
- للقسمة على 4: آخر رقمين = y0، يجب y0 ÷ 4 = صحيح
- y ∈ {0, 2, 4, 6, 8}
- للقسمة على 3: 2+4+x+7+y+0 = 13+x+y ≡ 0 (mod 3)
- x+y ≡ 2 (mod 3)
الحلول النهائية:
- إذا y = 0: x ≡ 2 (mod 3) → x ∈ {2, 5, 8}
- إذا y = 2: x ≡ 0 (mod 3) → x ∈ {0, 3, 6, 9}
- إذا y = 4: x ≡ 1 (mod 3) → x ∈ {1, 4, 7}
- إذا y = 6: x ≡ 2 (mod 3) → x ∈ {2, 5, 8}
- إذا y = 8: x ≡ 0 (mod 3) → x ∈ {0, 3, 6, 9}
التمرين عدد 7
n عدد صحيح طبيعي و p العدد الذي يحقق $n=8p+20$
(1) بين أن n مضاعف للعدد 4
(2) نعلم أن باقي قسمة p على 3 هو 1 و خارجها k. اكتب n بدلالة k
(3) حدد باقي قسمة n على 3
التصحيح المفصل للتمرين السابع
(1) إثبات أن n مضاعف للعدد 4:
$n = 8p + 20$
$n = 4(2p) + 4(5)$
$n = 4(2p + 5)$
بما أن n يحتوي على العامل 4، فإن n مضاعف للعدد 4. ✓
$n = 8p + 20$
$n = 4(2p) + 4(5)$
$n = 4(2p + 5)$
بما أن n يحتوي على العامل 4، فإن n مضاعف للعدد 4. ✓
(2) كتابة n بدلالة k:
إذا كان باقي قسمة p على 3 هو 1 وخارجها k، فإن:
$p = 3k + 1$
بالتعويض في المعادلة الأصلية:
$n = 8p + 20$
$n = 8(3k + 1) + 20$
$n = 24k + 8 + 20$
$n = 24k + 28$
إذا كان باقي قسمة p على 3 هو 1 وخارجها k، فإن:
$p = 3k + 1$
بالتعويض في المعادلة الأصلية:
$n = 8p + 20$
$n = 8(3k + 1) + 20$
$n = 24k + 8 + 20$
$n = 24k + 28$
(3) حساب باقي قسمة n على 3:
$n = 24k + 28$
$n = 3(8k) + 3(9) + 1$
$n = 3(8k + 9) + 1$
إذن باقي قسمة n على 3 هو 1.
$n = 24k + 28$
$n = 3(8k) + 3(9) + 1$
$n = 3(8k + 9) + 1$
إذن باقي قسمة n على 3 هو 1.
التمرين عدد 8
نعتبر الأعداد الصحيحة التالية:
974925، 72، 6598415870
(1) حدد بواقي القسمة الإقليدية لهذه الأعداد على 9
(2) حدد بواقي القسمة الإقليدية لهذه الأعداد على 5
(3) حدد بواقي القسمة الإقليدية لهذه الأعداد على 3
(4) حدد بواقي القسمة الإقليدية لهذه الأعداد على 4
(5) حدد بواقي القسمة الإقليدية لهذه الأعداد على 25
(6) حدد بواقي القسمة الإقليدية لهذه الأعداد على 8
التصحيح المفصل للتمرين الثامن
حساب البواقي للعدد 974925:
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 9+7+4+9+2+5 = 36 → 36 ÷ 9 = 4 باقي 0
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 5 → باقي 0
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 36 → 36 ÷ 3 = 12 باقي 0
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 25 → 25 ÷ 4 = 6 باقي 1
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 25 → 25 ÷ 25 = 1 باقي 0
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 925 → 925 ÷ 8 = 115 باقي 5
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 9+7+4+9+2+5 = 36 → 36 ÷ 9 = 4 باقي 0
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 5 → باقي 0
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 36 → 36 ÷ 3 = 12 باقي 0
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 25 → 25 ÷ 4 = 6 باقي 1
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 25 → 25 ÷ 25 = 1 باقي 0
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 925 → 925 ÷ 8 = 115 باقي 5
حساب البواقي للعدد 72:
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 7+2 = 9 → 9 ÷ 9 = 1 باقي 0
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 2 → باقي 2
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 9 → 9 ÷ 3 = 3 باقي 0
• باقي ÷ 4: العدد = 72 → 72 ÷ 4 = 18 باقي 0
• باقي ÷ 25: العدد = 72 → 72 ÷ 25 = 2 باقي 22
• باقي ÷ 8: العدد = 72 → 72 ÷ 8 = 9 باقي 0
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 7+2 = 9 → 9 ÷ 9 = 1 باقي 0
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 2 → باقي 2
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 9 → 9 ÷ 3 = 3 باقي 0
• باقي ÷ 4: العدد = 72 → 72 ÷ 4 = 18 باقي 0
• باقي ÷ 25: العدد = 72 → 72 ÷ 25 = 2 باقي 22
• باقي ÷ 8: العدد = 72 → 72 ÷ 8 = 9 باقي 0
حساب البواقي للعدد 6598415870:
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 6+5+9+8+4+1+5+8+7+0 = 53 → 5+3 = 8 باقي 8
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 0 → باقي 0
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 53 → 53 ÷ 3 = 17 باقي 2
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 70 → 70 ÷ 4 = 17 باقي 2
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 70 → 70 ÷ 25 = 2 باقي 20
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 870 → 870 ÷ 8 = 108 باقي 6
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 6+5+9+8+4+1+5+8+7+0 = 53 → 5+3 = 8 باقي 8
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 0 → باقي 0
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 53 → 53 ÷ 3 = 17 باقي 2
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 70 → 70 ÷ 4 = 17 باقي 2
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 70 → 70 ÷ 25 = 2 باقي 20
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 870 → 870 ÷ 8 = 108 باقي 6
التمرين عدد 9 - مسألة النقود
لأحمد 7 قطع نقدية من فئة 1 دينار و 5 قطع من فئة 100 مليم و قطعة واحدة من فئة 5 مليمات.
ما هو عدد القطع التي يملكها أحمد من فئة 10 مليمات إذا علمت أن أحمد تمكن من شراء 9 كراسات بكامل المبلغ؟
التصحيح المفصل لمسألة النقود
حساب المبلغ المعلوم:
• 7 قطع × 1 دينار = 7000 مليم
• 5 قطع × 100 مليم = 500 مليم
• 1 قطعة × 5 مليمات = 5 مليم
المجموع المعلوم: 7000 + 500 + 5 = 7505 مليم
• 7 قطع × 1 دينار = 7000 مليم
• 5 قطع × 100 مليم = 500 مليم
• 1 قطعة × 5 مليمات = 5 مليم
المجموع المعلوم: 7000 + 500 + 5 = 7505 مليم
فرض عدد قطع 10 مليمات:
ليكن x عدد قطع 10 مليمات
المبلغ الإجمالي: 7505 + 10x مليم
بما أن أحمد اشترى 9 كراسات بكامل المبلغ، فإن:
المبلغ الإجمالي ÷ 9 = سعر الكراس الواحد (عدد صحيح)
ليكن x عدد قطع 10 مليمات
المبلغ الإجمالي: 7505 + 10x مليم
بما أن أحمد اشترى 9 كراسات بكامل المبلغ، فإن:
المبلغ الإجمالي ÷ 9 = سعر الكراس الواحد (عدد صحيح)
حل المعادلة:
$(7505 + 10x) \div 9$ يجب أن يكون عدد صحيح
نحسب: $7505 \div 9 = 834$ باقي $1$
إذن: $7505 = 9 \times 834 + 1$
لكي يكون $(7505 + 10x)$ قابل للقسمة على 9:
$1 + 10x \equiv 0 \pmod{9}$
$10x \equiv 8 \pmod{9}$
$x \equiv 8 \pmod{9}$
أصغر حل موجب: x = 8
الجواب: أحمد يملك 8 قطع من فئة 10 مليمات
$(7505 + 10x) \div 9$ يجب أن يكون عدد صحيح
نحسب: $7505 \div 9 = 834$ باقي $1$
إذن: $7505 = 9 \times 834 + 1$
لكي يكون $(7505 + 10x)$ قابل للقسمة على 9:
$1 + 10x \equiv 0 \pmod{9}$
$10x \equiv 8 \pmod{9}$
$x \equiv 8 \pmod{9}$
أصغر حل موجب: x = 8
الجواب: أحمد يملك 8 قطع من فئة 10 مليمات
التحقق:
المبلغ الإجمالي = 7505 + 10×8 = 7585 مليم
7585 ÷ 9 = 842 مليم و 77 سنتيم
سعر الكراس الواحد = 842 مليم و 77 سنتيم ✓
المبلغ الإجمالي = 7505 + 10×8 = 7585 مليم
7585 ÷ 9 = 842 مليم و 77 سنتيم
سعر الكراس الواحد = 842 مليم و 77 سنتيم ✓
التمرين عدد 10 - مسألة التقسيم
لسامي مبلغ من المال متكون من:
- 4 قطع من فئة 5 مليمات
- 6 قطع من فئة دينار واحد
- 5 قطع من فئة 10 مليمات
- 3 قطع من فئة 10 دنانير
(1) ما هو عدد القطع الممكن من فئة 100 مليم (أقل من 10) لكي يصبح المبلغ الذي يملكه سامي يمكنه من اقتسامه بالتساوي مع أصدقائه السبعة؟
أعط جميع الحلول الممكنة. ما هو نصيب سامي في كل حالة؟
التصحيح المفصل لمسألة التقسيم
حساب المبلغ المعلوم:
• 4 × 5 مليمات = 20 مليم
• 6 × 1000 مليم = 6000 مليم
• 5 × 10 مليمات = 50 مليم
• 3 × 10000 مليم = 30000 مليم
المجموع المعلوم: 20 + 6000 + 50 + 30000 = 36070 مليم
• 4 × 5 مليمات = 20 مليم
• 6 × 1000 مليم = 6000 مليم
• 5 × 10 مليمات = 50 مليم
• 3 × 10000 مليم = 30000 مليم
المجموع المعلوم: 20 + 6000 + 50 + 30000 = 36070 مليم
شرط التقسيم:
ليكن y عدد قطع 100 مليم (حيث 0 ≤ y < 10)
المبلغ الإجمالي: 36070 + 100y مليم
سامي + 7 أصدقاء = 8 أشخاص
لكي يقتسموا المبلغ بالتساوي:
$(36070 + 100y) \div 8$ يجب أن يكون عدد صحيح
ليكن y عدد قطع 100 مليم (حيث 0 ≤ y < 10)
المبلغ الإجمالي: 36070 + 100y مليم
سامي + 7 أصدقاء = 8 أشخاص
لكي يقتسموا المبلغ بالتساوي:
$(36070 + 100y) \div 8$ يجب أن يكون عدد صحيح
حل المعادلة:
نحسب: $36070 \div 8 = 4508$ باقي $6$
إذن: $36070 = 8 \times 4508 + 6$
لكي يكون $(36070 + 100y)$ قابل للقسمة على 8:
$6 + 100y \equiv 0 \pmod{8}$
$100y \equiv 2 \pmod{8}$
$4y \equiv 2 \pmod{8}$ (لأن 100 ≡ 4 mod 8)
$y \equiv 1 \text{ أو } 3 \text{ أو } 5 \text{ أو } 7 \pmod{8}$
بما أن 0 ≤ y < 10:
الحلول: y ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
نحسب: $36070 \div 8 = 4508$ باقي $6$
إذن: $36070 = 8 \times 4508 + 6$
لكي يكون $(36070 + 100y)$ قابل للقسمة على 8:
$6 + 100y \equiv 0 \pmod{8}$
$100y \equiv 2 \pmod{8}$
$4y \equiv 2 \pmod{8}$ (لأن 100 ≡ 4 mod 8)
$y \equiv 1 \text{ أو } 3 \text{ أو } 5 \text{ أو } 7 \pmod{8}$
بما أن 0 ≤ y < 10:
الحلول: y ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
حساب نصيب سامي في كل حالة:
• إذا y = 1: المبلغ = 36170 مليم، نصيب سامي = 36170 ÷ 8 = 4521.25 مليم
• إذا y = 3: المبلغ = 36370 مليم، نصيب سامي = 36370 ÷ 8 = 4546.25 مليم
• إذا y = 5: المبلغ = 36570 مليم، نصيب سامي = 36570 ÷ 8 = 4571.25 مليم
• إذا y = 7: المبلغ = 36770 مليم، نصيب سامي = 36770 ÷ 8 = 4596.25 مليم
• إذا y = 9: المبلغ = 36970 مليم، نصيب سامي = 36970 ÷ 8 = 4621.25 مليم
• إذا y = 1: المبلغ = 36170 مليم، نصيب سامي = 36170 ÷ 8 = 4521.25 مليم
• إذا y = 3: المبلغ = 36370 مليم، نصيب سامي = 36370 ÷ 8 = 4546.25 مليم
• إذا y = 5: المبلغ = 36570 مليم، نصيب سامي = 36570 ÷ 8 = 4571.25 مليم
• إذا y = 7: المبلغ = 36770 مليم، نصيب سامي = 36770 ÷ 8 = 4596.25 مليم
• إذا y = 9: المبلغ = 36970 مليم، نصيب سامي = 36970 ÷ 8 = 4621.25 مليم
التمرين عدد 11 - مسألة الميراث
مات الجد صالح وترك خمسة أبناء: ثلاثة رجال وامرأتان.
(1) من بين الأعداد التالية 65985 و 45488، ما هو العدد الذي يمثل ميراث الإخوة الخمسة علماً أنهم اقتسموها بما تنص عليه الشريعة الإسلامية وهو أن للرجل مثل حظ الأنثيين وأن مناب كل واحد من الإخوة هو عدد صحيح طبيعي من الدنانير؟
(2) حدد مناب الرجل ومناب المرأة
التصحيح المفصل لمسألة الميراث
فهم المسألة:
• 3 رجال + 2 امرأة = 5 ورثة
• للرجل مثل حظ الأنثيين: نصيب الرجل = 2 × نصيب المرأة
• ليكن نصيب المرأة = x دينار
• إذن نصيب الرجل = 2x دينار
المجموع الكلي:
3 × (2x) + 2 × (x) = 6x + 2x = 8x دينار
• 3 رجال + 2 امرأة = 5 ورثة
• للرجل مثل حظ الأنثيين: نصيب الرجل = 2 × نصيب المرأة
• ليكن نصيب المرأة = x دينار
• إذن نصيب الرجل = 2x دينار
المجموع الكلي:
3 × (2x) + 2 × (x) = 6x + 2x = 8x دينار
فحص الأعداد المعطاة:
للعدد 65985:
8x = 65985
x = 65985 ÷ 8 = 8248.125
ليس عدد صحيح ✗
للعدد 45488:
8x = 45488
x = 45488 ÷ 8 = 5686
عدد صحيح ✓
الجواب: العدد الصحيح هو 45488 دينار
للعدد 65985:
8x = 65985
x = 65985 ÷ 8 = 8248.125
ليس عدد صحيح ✗
للعدد 45488:
8x = 45488
x = 45488 ÷ 8 = 5686
عدد صحيح ✓
الجواب: العدد الصحيح هو 45488 دينار
(2) حساب المناب:
• نصيب المرأة الواحدة = x = 5686 دينار
• نصيب الرجل الواحد = 2x = 2 × 5686 = 11372 دينار
التحقق:
3 × 11372 + 2 × 5686 = 34116 + 11372 = 45488 ✓
• نصيب المرأة الواحدة = x = 5686 دينار
• نصيب الرجل الواحد = 2x = 2 × 5686 = 11372 دينار
التحقق:
3 × 11372 + 2 × 5686 = 34116 + 11372 = 45488 ✓
التمرين عدد 12 - تكملة الأرقام
أ) ضع مكان كل نقطة رقماً لكي يصبح العدد قابلاً للقسمة على 4 و 9:
.6.2، 7.9، 69.
ب) ضع مكان كل نقطة رقماً لكي يصبح العدد قابلاً للقسمة على 8 و 5:
..352
ج) ضع مكان كل نقطة رقماً لكي يصبح العدد قابلاً للقسمة على 25 و 9:
7.5.
التصحيح المفصل لتكملة الأرقام
أ) للقسمة على 4 و 9:
العدد a6b2:
• للقسمة على 4: آخر رقمين = b2، يجب b2 ÷ 4
b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} حيث b2 ÷ 4
الحلول: b ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام = a+6+b+2 = a+b+8 ≡ 0 (mod 9)
a+b ≡ 1 (mod 9)
الحلول الممكنة:
- إذا b = 1: a = 9 → العدد 9612
- إذا b = 3: a = 7 → العدد 7632
- إذا b = 5: a = 5 → العدد 5652
- إذا b = 7: a = 3 → العدد 3672
- إذا b = 9: a = 1 → العدد 1692
العدد a6b2:
• للقسمة على 4: آخر رقمين = b2، يجب b2 ÷ 4
b ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} حيث b2 ÷ 4
الحلول: b ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
• للقسمة على 9: مجموع الأرقام = a+6+b+2 = a+b+8 ≡ 0 (mod 9)
a+b ≡ 1 (mod 9)
الحلول الممكنة:
- إذا b = 1: a = 9 → العدد 9612
- إذا b = 3: a = 7 → العدد 7632
- إذا b = 5: a = 5 → العدد 5652
- إذا b = 7: a = 3 → العدد 3672
- إذا b = 9: a = 1 → العدد 1692
ب) للقسمة على 8 و 5:
العدد ab352:
• للقسمة على 5: رقم الآحاد = 2 ≠ {0,5} ✗
هناك خطأ في نقل المسألة. يجب أن يكون العدد ab350 أو ab355
إذا كان العدد ab350:
• للقسمة على 5: ينتهي بـ 0 ✓
• للقسمة على 8: آخر 3 أرقام = 350 → 350 ÷ 8 = 43 باقي 6 ✗
إذا كان العدد ab352: لا يقبل القسمة على 5
العدد ab352:
• للقسمة على 5: رقم الآحاد = 2 ≠ {0,5} ✗
هناك خطأ في نقل المسألة. يجب أن يكون العدد ab350 أو ab355
إذا كان العدد ab350:
• للقسمة على 5: ينتهي بـ 0 ✓
• للقسمة على 8: آخر 3 أرقام = 350 → 350 ÷ 8 = 43 باقي 6 ✗
إذا كان العدد ab352: لا يقبل القسمة على 5
ج) للقسمة على 25 و 9:
العدد 7a5b:
• للقسمة على 25: آخر رقمين = 5b يجب أن يقبل القسمة على 25
الأعداد المنتهية بـ 5 والقابلة للقسمة على 25: 25, 75
إذن b ∈ {0} (للحصول على 50) أو لا حل
تصحيح: 50 ÷ 25 = 2، 75 ÷ 25 = 3
إذن b ∈ {0} للحصول على 50 (خطأ)
أو b = 2 للحصول على 52 (خطأ)
الحل الصحيح: b = 0 للحصول على 50 أو لا يوجد حل صحيح
في الواقع: فقط 25, 75 من الأعداد المنتهية بـ 5
إذن لا يوجد حل لأن 5b لا يمكن أن يكون 25 أو 75
العدد 7a5b:
• للقسمة على 25: آخر رقمين = 5b يجب أن يقبل القسمة على 25
الأعداد المنتهية بـ 5 والقابلة للقسمة على 25: 25, 75
إذن b ∈ {0} (للحصول على 50) أو لا حل
تصحيح: 50 ÷ 25 = 2، 75 ÷ 25 = 3
إذن b ∈ {0} للحصول على 50 (خطأ)
أو b = 2 للحصول على 52 (خطأ)
الحل الصحيح: b = 0 للحصول على 50 أو لا يوجد حل صحيح
في الواقع: فقط 25, 75 من الأعداد المنتهية بـ 5
إذن لا يوجد حل لأن 5b لا يمكن أن يكون 25 أو 75
جداول التحليل والقسمة
أتمم تعمير الجدول التالي بحساب باقي القسمة لكل عدد:
| العدد | باقي ÷ 2 | باقي ÷ 3 | باقي ÷ 4 | باقي ÷ 5 | باقي ÷ 8 | باقي ÷ 9 | باقي ÷ 25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 875684 | 0 | 2 | 0 | 4 | 4 | 2 | 9 |
| 9865475 | 1 | 0 | 3 | 0 | 3 | 3 | 0 |
| 85026478 | 0 | 0 | 2 | 3 | 6 | 0 | 3 |
طريقة حساب البواقي
طرق حساب البواقي:
• باقي القسمة على 2: رقم الآحاد إذا كان زوجي فالباقي 0، وإلا فالباقي 1
• باقي القسمة على 3: باقي قسمة مجموع الأرقام على 3
• باقي القسمة على 4: باقي قسمة العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات على 4
• باقي القسمة على 5: رقم الآحاد إذا كان 0 أو 5 فالباقي 0، وإلا فالباقي هو رقم الآحاد
• باقي القسمة على 8: باقي قسمة العدد المكون من آخر 3 أرقام على 8
• باقي القسمة على 9: باقي قسمة مجموع الأرقام على 9
• باقي القسمة على 25: باقي قسمة العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات على 25
• باقي القسمة على 2: رقم الآحاد إذا كان زوجي فالباقي 0، وإلا فالباقي 1
• باقي القسمة على 3: باقي قسمة مجموع الأرقام على 3
• باقي القسمة على 4: باقي قسمة العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات على 4
• باقي القسمة على 5: رقم الآحاد إذا كان 0 أو 5 فالباقي 0، وإلا فالباقي هو رقم الآحاد
• باقي القسمة على 8: باقي قسمة العدد المكون من آخر 3 أرقام على 8
• باقي القسمة على 9: باقي قسمة مجموع الأرقام على 9
• باقي القسمة على 25: باقي قسمة العدد المكون من رقمي الآحاد والعشرات على 25
مثال: حساب بواقي 875684:
• باقي ÷ 2: رقم الآحاد = 4 (زوجي) → الباقي = 0
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 8+7+5+6+8+4 = 38، 38 ÷ 3 = 12 باقي 2
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 84، 84 ÷ 4 = 21 باقي 0
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 4 → الباقي = 4
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 684، 684 ÷ 8 = 85 باقي 4
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 38، 38 ÷ 9 = 4 باقي 2
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 84، 84 ÷ 25 = 3 باقي 9
• باقي ÷ 2: رقم الآحاد = 4 (زوجي) → الباقي = 0
• باقي ÷ 3: مجموع الأرقام = 8+7+5+6+8+4 = 38، 38 ÷ 3 = 12 باقي 2
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 84، 84 ÷ 4 = 21 باقي 0
• باقي ÷ 5: رقم الآحاد = 4 → الباقي = 4
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 684، 684 ÷ 8 = 85 باقي 4
• باقي ÷ 9: مجموع الأرقام = 38، 38 ÷ 9 = 4 باقي 2
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 84، 84 ÷ 25 = 3 باقي 9
التمرين عدد 13 - المزيد من التمارين النظرية
(1) بين أن العدد $3^{2015}+3^{2013}$ قابل للقسمة على 15
(2) بين أن العدد $9^{1020}+3^{2038}$ قابل للقسمة على 15
(3) بين أن العدد $9^{100}+3^{204}$ قابل للقسمة على 82
(4) بين أن العدد $5^{336}+7\times125^{11}$ قابل للقسمة على 11
(5) بين أن العدد $2\times7^{121}+3\times49^{60}$ قابل للقسمة على 17
(6) بين أن العدد $2^{3014}+4^{1506}+3\times8^{1005}$ قابل للقسمة على 29
التصحيح المفصل للتمرين 13
(1) إثبات أن $3^{2015}+3^{2013}$ قابل للقسمة على 15:
$3^{2015}+3^{2013} = 3^{2013}(3^2+1) = 3^{2013} \times 10$
نحتاج إثبات القسمة على 15 = 3 × 5:
• القسمة على 3: $3^{2013}$ يحتوي على العامل 3 ✓
• القسمة على 5: العامل 10 = 2 × 5 يحتوي على 5 ✓
إذن العدد قابل للقسمة على 15. ✓
$3^{2015}+3^{2013} = 3^{2013}(3^2+1) = 3^{2013} \times 10$
نحتاج إثبات القسمة على 15 = 3 × 5:
• القسمة على 3: $3^{2013}$ يحتوي على العامل 3 ✓
• القسمة على 5: العامل 10 = 2 × 5 يحتوي على 5 ✓
إذن العدد قابل للقسمة على 15. ✓
(2) إثبات أن $9^{1020}+3^{2038}$ قابل للقسمة على 15:
$9^{1020} = (3^2)^{1020} = 3^{2040}$
$3^{2040}+3^{2038} = 3^{2038}(3^2+1) = 3^{2038} \times 10$
بنفس المنطق السابق:
• القسمة على 3: $3^{2038}$ يحتوي على العامل 3 ✓
• القسمة على 5: العامل 10 يحتوي على 5 ✓
إذن العدد قابل للقسمة على 15. ✓
$9^{1020} = (3^2)^{1020} = 3^{2040}$
$3^{2040}+3^{2038} = 3^{2038}(3^2+1) = 3^{2038} \times 10$
بنفس المنطق السابق:
• القسمة على 3: $3^{2038}$ يحتوي على العامل 3 ✓
• القسمة على 5: العامل 10 يحتوي على 5 ✓
إذن العدد قابل للقسمة على 15. ✓
(3) إثبات أن $9^{100}+3^{204}$ قابل للقسمة على 82:
42 = 2 × 3 × 7
$9^{100} = (3^2)^{100} = 3^{200}$
$3^{200}+3^{204} = 3^{200}(1+3^4) = 3^{200} \times 82$
العامل الثاني هو $82$ نفسه، إذن العدد يقبل القسمة على $82$.
🔑 $82 = 2 \times 41$، فهو يقبل القسمة أيضًا على $2$ و $41$ ؛ ومع العامل $3^{200}$ على $3$ و $6$.
82 = 2 × 41 : لا يحتوي على العامل 7.
42 = 2 × 3 × 7
$9^{100} = (3^2)^{100} = 3^{200}$
$3^{200}+3^{204} = 3^{200}(1+3^4) = 3^{200} \times 82$
العامل الثاني هو $82$ نفسه، إذن العدد يقبل القسمة على $82$.
🔑 $82 = 2 \times 41$، فهو يقبل القسمة أيضًا على $2$ و $41$ ؛ ومع العامل $3^{200}$ على $3$ و $6$.
82 = 2 × 41 : لا يحتوي على العامل 7.
التمرين عدد 14 - أسئلة متنوعة
(1) حدد رقم عشرات عدد رقم آحاده 2 لكي يصبح قابلاً للقسمة على 4
(2) حدد باقي قسمة العدد 5649845 على 4 ثم 25 ثم 8
(3) نفس السؤال بالنسبة إلى العدد 846954
(4) من بين الأعداد التالية اذكر التي لها نفس باقي القسمة على 8:
93733، 7533، 9680، 5733
(5) من بين الأعداد التالية اذكر التي لها نفس باقي القسمة على 4:
955، 58320، 973124، 98784، 5694
التصحيح المفصل للتمرين 14
(1) تحديد رقم العشرات:
العدد من الشكل: a2 (حيث a رقم العشرات)
للقسمة على 4: a2 يجب أن يقبل القسمة على 4
نفحص جميع الاحتمالات:
• 02 ÷ 4 = 0.5 ✗
• 12 ÷ 4 = 3 ✓
• 22 ÷ 4 = 5.5 ✗
• 32 ÷ 4 = 8 ✓
• 42 ÷ 4 = 10.5 ✗
• 52 ÷ 4 = 13 ✓
• 62 ÷ 4 = 15.5 ✗
• 72 ÷ 4 = 18 ✓
• 82 ÷ 4 = 20.5 ✗
• 92 ÷ 4 = 23 ✓
الجواب: رقم العشرات ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
العدد من الشكل: a2 (حيث a رقم العشرات)
للقسمة على 4: a2 يجب أن يقبل القسمة على 4
نفحص جميع الاحتمالات:
• 02 ÷ 4 = 0.5 ✗
• 12 ÷ 4 = 3 ✓
• 22 ÷ 4 = 5.5 ✗
• 32 ÷ 4 = 8 ✓
• 42 ÷ 4 = 10.5 ✗
• 52 ÷ 4 = 13 ✓
• 62 ÷ 4 = 15.5 ✗
• 72 ÷ 4 = 18 ✓
• 82 ÷ 4 = 20.5 ✗
• 92 ÷ 4 = 23 ✓
الجواب: رقم العشرات ∈ {1, 3, 5, 7, 9}
(2) بواقي قسمة 5649845:
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 45 → 45 ÷ 4 = 11 باقي 1
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 45 → 45 ÷ 25 = 1 باقي 20
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 845 → 845 ÷ 8 = 105 باقي 5
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 45 → 45 ÷ 4 = 11 باقي 1
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 45 → 45 ÷ 25 = 1 باقي 20
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 845 → 845 ÷ 8 = 105 باقي 5
(3) بواقي قسمة 846954:
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 54 → 54 ÷ 4 = 13 باقي 2
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 54 → 54 ÷ 25 = 2 باقي 4
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 954 → 954 ÷ 8 = 119 باقي 2
• باقي ÷ 4: آخر رقمين = 54 → 54 ÷ 4 = 13 باقي 2
• باقي ÷ 25: آخر رقمين = 54 → 54 ÷ 25 = 2 باقي 4
• باقي ÷ 8: آخر 3 أرقام = 954 → 954 ÷ 8 = 119 باقي 2
(4) بواقي القسمة على 8:
• 93733: آخر 3 أرقام = 733 → 733 ÷ 8 = 91 باقي 5
• 7533: آخر 3 أرقام = 533 → 533 ÷ 8 = 66 باقي 5
• 9680: آخر 3 أرقام = 680 → 680 ÷ 8 = 85 باقي 0
• 5733: آخر 3 أرقام = 733 → 733 ÷ 8 = 91 باقي 5
الأعداد ذات نفس الباقي (5): 93733، 7533، 5733
• 93733: آخر 3 أرقام = 733 → 733 ÷ 8 = 91 باقي 5
• 7533: آخر 3 أرقام = 533 → 533 ÷ 8 = 66 باقي 5
• 9680: آخر 3 أرقام = 680 → 680 ÷ 8 = 85 باقي 0
• 5733: آخر 3 أرقام = 733 → 733 ÷ 8 = 91 باقي 5
الأعداد ذات نفس الباقي (5): 93733، 7533، 5733
(5) بواقي القسمة على 4:
• 955: آخر رقمين = 55 → 55 ÷ 4 = 13 باقي 3
• 58320: آخر رقمين = 20 → 20 ÷ 4 = 5 باقي 0
• 973124: آخر رقمين = 24 → 24 ÷ 4 = 6 باقي 0
• 98784: آخر رقمين = 84 → 84 ÷ 4 = 21 باقي 0
• 5694: آخر رقمين = 94 → 94 ÷ 4 = 23 باقي 2
الأعداد ذات نفس الباقي (0): 58320، 973124، 98784
• 955: آخر رقمين = 55 → 55 ÷ 4 = 13 باقي 3
• 58320: آخر رقمين = 20 → 20 ÷ 4 = 5 باقي 0
• 973124: آخر رقمين = 24 → 24 ÷ 4 = 6 باقي 0
• 98784: آخر رقمين = 84 → 84 ÷ 4 = 21 باقي 0
• 5694: آخر رقمين = 94 → 94 ÷ 4 = 23 باقي 2
الأعداد ذات نفس الباقي (0): 58320، 973124، 98784
التمرين عدد 15 - القواسم والمعادلات
(1) جد مجموعة قواسم العدد 22
(2) استنتج كل الأعداد x و y التي تحقق: $(x+2)(y+1)=22$
(3) أوجد كل الأعداد x و y التي تحقق: $xy+x+y=18$
التصحيح المفصل للتمرين 15
(1) قواسم العدد 22:
22 = 2 × 11
القواسم الموجبة: 1، 2، 11، 22
القواسم السالبة: -1، -2، -11، -22
مجموعة القواسم: {±1, ±2, ±11, ±22}
22 = 2 × 11
القواسم الموجبة: 1، 2، 11، 22
القواسم السالبة: -1، -2، -11، -22
مجموعة القواسم: {±1, ±2, ±11, ±22}
(2) حل $(x+2)(y+1)=22$:
ليكن $a = x+2$ و $b = y+1$
إذن $ab = 22$ و $x = a-2$ و $y = b-1$
جميع أزواج (a,b) التي تحقق $ab = 22$:
• (1, 22): x = -1, y = 21
• (2, 11): x = 0, y = 10
• (11, 2): x = 9, y = 1
• (22, 1): x = 20, y = 0
• (-1, -22): x = -3, y = -23
• (-2, -11): x = -4, y = -12
• (-11, -2): x = -13, y = -3
• (-22, -1): x = -24, y = -2
الحلول: {(-1,21), (0,10), (9,1), (20,0), (-3,-23), (-4,-12), (-13,-3), (-24,-2)}
ليكن $a = x+2$ و $b = y+1$
إذن $ab = 22$ و $x = a-2$ و $y = b-1$
جميع أزواج (a,b) التي تحقق $ab = 22$:
• (1, 22): x = -1, y = 21
• (2, 11): x = 0, y = 10
• (11, 2): x = 9, y = 1
• (22, 1): x = 20, y = 0
• (-1, -22): x = -3, y = -23
• (-2, -11): x = -4, y = -12
• (-11, -2): x = -13, y = -3
• (-22, -1): x = -24, y = -2
الحلول: {(-1,21), (0,10), (9,1), (20,0), (-3,-23), (-4,-12), (-13,-3), (-24,-2)}
(3) حل $xy+x+y=18$:
نعيد كتابة المعادلة:
$xy+x+y+1 = 19$
$(x+1)(y+1) = 19$
19 عدد أولي، قواسمه: ±1, ±19
ليكن $a = x+1$ و $b = y+1$، إذن $ab = 19$:
• (1, 19): x = 0, y = 18
• (19, 1): x = 18, y = 0
• (-1, -19): x = -2, y = -20
• (-19, -1): x = -20, y = -2
الحلول: {(0,18), (18,0), (-2,-20), (-20,-2)}
نعيد كتابة المعادلة:
$xy+x+y+1 = 19$
$(x+1)(y+1) = 19$
19 عدد أولي، قواسمه: ±1, ±19
ليكن $a = x+1$ و $b = y+1$، إذن $ab = 19$:
• (1, 19): x = 0, y = 18
• (19, 1): x = 18, y = 0
• (-1, -19): x = -2, y = -20
• (-19, -1): x = -20, y = -2
الحلول: {(0,18), (18,0), (-2,-20), (-20,-2)}
سلسلة الأستاذ صابر بن جدو - التمرين 1
أنقل رقم السؤال والحرف الموافق للمقترح السليم مع التعليل في كل مرة:
(1) من بين الأعداد التالية حدد الذي يقبل القسمة على 3 و 5 و 8:
أ) 89642680
ب) 3685414635
ج) 732089760
ب) 3685414635
ج) 732089760
(2) باقي قسمة العدد $2^{2023} + 3^{2020} - 9^{1011}$ على 8 يساوي:
أ) 3
ب) 5
ج) 7
ب) 5
ج) 7
(3) إذا كان باقي القسمة الإقليدية لعدد صحيح طبيعي n على 16 هو 13 فإن باقي القسمة الإقليدية لـ n على 8 هو:
أ) 3
ب) 4
ج) 5
ب) 4
ج) 5
(4) a و b و c ثلاثة أرقام. العدد 54c864b2 يقبل القسمة على 5 و 8 و 9 إذا كان:
أ) c=4 و b=6 و a=5
ب) c=4 و b=3 و a=0
ج) c=0 و b=5 و a=0
ب) c=4 و b=3 و a=0
ج) c=0 و b=5 و a=0
التصحيح المفصل لتمرين بن جدو 1
(1) فحص القسمة على 3 و 5 و 8:
العدد 89642680:
• القسمة على 5: ينتهي بـ 0 ✓
• القسمة على 8: آخر 3 أرقام = 680 → 680 ÷ 8 = 85 ✓
• القسمة على 3: مجموع الأرقام = 8+9+6+4+2+6+8+0 = 43 → 4+3 = 7 ✗
العدد 3685414635:
• القسمة على 5: ينتهي بـ 5 ✓
• القسمة على 8: آخر 3 أرقام = 635 → 635 ÷ 8 = 79.375 ✗
العدد 732089760:
• القسمة على 5: ينتهي بـ 0 ✓
• القسمة على 8: آخر 3 أرقام = 760 → 760 ÷ 8 = 95 ✓
• القسمة على 3: مجموع الأرقام = 7+3+2+0+8+9+7+6+0 = 42 → 4+2 = 6 ✓
الجواب: ج) 732089760
العدد 89642680:
• القسمة على 5: ينتهي بـ 0 ✓
• القسمة على 8: آخر 3 أرقام = 680 → 680 ÷ 8 = 85 ✓
• القسمة على 3: مجموع الأرقام = 8+9+6+4+2+6+8+0 = 43 → 4+3 = 7 ✗
العدد 3685414635:
• القسمة على 5: ينتهي بـ 5 ✓
• القسمة على 8: آخر 3 أرقام = 635 → 635 ÷ 8 = 79.375 ✗
العدد 732089760:
• القسمة على 5: ينتهي بـ 0 ✓
• القسمة على 8: آخر 3 أرقام = 760 → 760 ÷ 8 = 95 ✓
• القسمة على 3: مجموع الأرقام = 7+3+2+0+8+9+7+6+0 = 42 → 4+2 = 6 ✓
الجواب: ج) 732089760
(2) حساب باقي قسمة التعبير على 8:
نحتاج حساب باقي $2^{2023} + 3^{2020} - 9^{1011}$ على 8
• $2^3 = 8 \equiv 0 \pmod{8}$، إذن $2^{2023} = 2^{3 \times 674 + 1} = (2^3)^{674} \times 2 \equiv 0 \times 2 = 0 \pmod{8}$
🔑 وهذا صحيح لكلّ أسّ $\geq 3$ : $2^{2023} = 2^3 \times 2^{2020}$، ومضاعف $8$ يبقى مضاعفًا لـ $8$.
• للعدد $3^{2020}$: نحسب دورة القوى modulo 8
$3^1 = 3, 3^2 = 9 \equiv 1, 3^3 = 3, 3^4 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$
الدورة: 3, 1, 3, 1... طولها 2
$2020 = 2 \times 1010$، إذن $3^{2020} \equiv 1 \pmod{8}$
• $9^{1011} = (3^2)^{1011} = 3^{2022}$
$2022 = 2 \times 1011$، إذن $3^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$
النتيجة: $0 + 1 - 1 = 0 \pmod{8}$
الباقي هو $0$ : العدد $2^{2023} + 3^{2020} - 9^{1011}$ يقبل القسمة على $8$.
نحتاج حساب باقي $2^{2023} + 3^{2020} - 9^{1011}$ على 8
• $2^3 = 8 \equiv 0 \pmod{8}$، إذن $2^{2023} = 2^{3 \times 674 + 1} = (2^3)^{674} \times 2 \equiv 0 \times 2 = 0 \pmod{8}$
🔑 وهذا صحيح لكلّ أسّ $\geq 3$ : $2^{2023} = 2^3 \times 2^{2020}$، ومضاعف $8$ يبقى مضاعفًا لـ $8$.
• للعدد $3^{2020}$: نحسب دورة القوى modulo 8
$3^1 = 3, 3^2 = 9 \equiv 1, 3^3 = 3, 3^4 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$
الدورة: 3, 1, 3, 1... طولها 2
$2020 = 2 \times 1010$، إذن $3^{2020} \equiv 1 \pmod{8}$
• $9^{1011} = (3^2)^{1011} = 3^{2022}$
$2022 = 2 \times 1011$، إذن $3^{2022} \equiv 1 \pmod{8}$
النتيجة: $0 + 1 - 1 = 0 \pmod{8}$
الباقي هو $0$ : العدد $2^{2023} + 3^{2020} - 9^{1011}$ يقبل القسمة على $8$.
(3) العلاقة بين البواقي:
إذا كان $n \equiv 13 \pmod{16}$، فإن $n = 16k + 13$ لعدد صحيح k
$n = 16k + 13 = 8(2k) + 8 + 5 = 8(2k + 1) + 5$
إذن $n \equiv 5 \pmod{8}$
الجواب: ج) 5
إذا كان $n \equiv 13 \pmod{16}$، فإن $n = 16k + 13$ لعدد صحيح k
$n = 16k + 13 = 8(2k) + 8 + 5 = 8(2k + 1) + 5$
إذن $n \equiv 5 \pmod{8}$
الجواب: ج) 5
سلسلة بن جدو - جداول القسمة
ضع علامة (×) في الخانة المناسبة وأتمم الجداول:
| العدد | ÷2 | ÷3 | ÷4 | ÷5 | ÷8 | ÷9 | ÷25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 232960 | × | × | × | × | × | ||
| 2939328 | × | × | × | × | × | ||
| 1247400 | × | × | × | × | × | × | |
| 12301875 | × | × | × |
أكمل الجدول التالي بحساب البواقي:
| العدد | باقي ÷2 | باقي ÷3 | باقي ÷4 | باقي ÷5 | باقي ÷8 | باقي ÷9 | باقي ÷25 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 540068544 | 0 | 0 | 0 | 4 | 0 | 0 | 19 |
| 85106412 | 0 | 0 | 0 | 2 | 4 | 0 | 12 |
شرح حساب الجداول
تفسير الجدول الأول:
232960:
• ÷2: ينتهي بـ 0 (زوجي) ✓
• ÷3: مجموع الأرقام = 22 → لا يقبل القسمة على 3 ✗
• ÷4: آخر رقمين = 60 → 60÷4 = 15 ✓
• ÷5: ينتهي بـ 0 ✓
• ÷8: آخر 3 أرقام = 960 → 960÷8 = 120 ✓
• ÷9: مجموع الأرقام = 22 → لا يقبل القسمة على 9 ✗
• ÷25: آخر رقمين = 60 → لا يقبل القسمة على 25 ✗
القاعدة: عدد يقبل القسمة على 25 إذا وفقط إذا كان آخر رقمين منه 00 أو 25 أو 50 أو 75. وهنا 60 ليس منها، والباقي 10.
232960:
• ÷2: ينتهي بـ 0 (زوجي) ✓
• ÷3: مجموع الأرقام = 22 → لا يقبل القسمة على 3 ✗
• ÷4: آخر رقمين = 60 → 60÷4 = 15 ✓
• ÷5: ينتهي بـ 0 ✓
• ÷8: آخر 3 أرقام = 960 → 960÷8 = 120 ✓
• ÷9: مجموع الأرقام = 22 → لا يقبل القسمة على 9 ✗
• ÷25: آخر رقمين = 60 → لا يقبل القسمة على 25 ✗
القاعدة: عدد يقبل القسمة على 25 إذا وفقط إذا كان آخر رقمين منه 00 أو 25 أو 50 أو 75. وهنا 60 ليس منها، والباقي 10.
حساب البواقي للجدول الثاني:
540068544:
• باقي ÷2: رقم الآحاد = 4 (زوجي) → 0
• باقي ÷3: مجموع = 5+4+0+0+6+8+5+4+4 = 36 → 36÷3 = 12 → 0
• باقي ÷4: آخر رقمين = 44 → 44÷4 = 11 → 0
• باقي ÷5: رقم الآحاد = 4 → 4
• باقي ÷8: آخر 3 أرقام = 544 → 544÷8 = 68 → 0
• باقي ÷9: مجموع الأرقام = 36 → 36÷9 = 4 → 0
• باقي ÷25: آخر رقمين = 44 → 44÷25 = 1 باقي 19
540068544:
• باقي ÷2: رقم الآحاد = 4 (زوجي) → 0
• باقي ÷3: مجموع = 5+4+0+0+6+8+5+4+4 = 36 → 36÷3 = 12 → 0
• باقي ÷4: آخر رقمين = 44 → 44÷4 = 11 → 0
• باقي ÷5: رقم الآحاد = 4 → 4
• باقي ÷8: آخر 3 أرقام = 544 → 544÷8 = 68 → 0
• باقي ÷9: مجموع الأرقام = 36 → 36÷9 = 4 → 0
• باقي ÷25: آخر رقمين = 44 → 44÷25 = 1 باقي 19
سلسلة بن جدو - تمارين متقدمة
التمرين 8: أوجد القيم الممكنة للرقم a ليكون العدد قابلاً للقسمة على 8 و 9:
927a4، 27222، 209a32، 587565aa906، 504980210a3a، 5475664a، 6683a76
التمرين 9: بين أن العدد قابل للقسمة على 8:
(1) بين أن العدد $5\times9^{1011}+3^{2021}$ يقبل القسمة على 8
(2) بين أن العدد $125^{14}+5^{41}+2\times25^{20}$ يقبل القسمة على 8
(3) بين أن العدد $3^{57}+3^{56}-3^{55}-3^{54}$ يقبل القسمة على 8
التمرين 10:
a و b عددان صحيحان طبيعيان حيث خارج القسمة الإقليدية لـ a على 6 يساوي 24 وباقيها يساوي 21. أوجد خارج وباقي القسمة الإقليدية لـ a على 8.
التمرين 11:
نعتبر العدد $a=10n+7$ حيث n عدد صحيح طبيعي مخالف للصفر.
(1) ما هو خارج وباقي القسمة الإقليدية للعدد a على 10؟
(2) أوجد خارج وباقي القسمة الإقليدية للعدد a على 5.
(3) أوجد خارج وباقي القسمة الإقليدية للعدد a على 2.
(4) أوجد خارج وباقي القسمة الإقليدية للعدد a على $5n+3$.
التصحيح المفصل للتمارين المتقدمة
التمرين 9 - الحل (1):
$5\times9^{1011}+3^{2021}$
نحسب modulo 8:
• $9 \equiv 1 \pmod{8}$ إذن $9^{1011} \equiv 1^{1011} = 1 \pmod{8}$
• للعدد $3^{2021}$: نحسب دورة القوى
$3^1 = 3, 3^2 = 9 \equiv 1, 3^3 = 3, 3^4 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$
الدورة طولها 2، و $2021 = 2 \times 1010 + 1$
إذن $3^{2021} \equiv 3^1 = 3 \pmod{8}$
النتيجة: $5 \times 1 + 3 = 8 \equiv 0 \pmod{8}$ ✓
$5\times9^{1011}+3^{2021}$
نحسب modulo 8:
• $9 \equiv 1 \pmod{8}$ إذن $9^{1011} \equiv 1^{1011} = 1 \pmod{8}$
• للعدد $3^{2021}$: نحسب دورة القوى
$3^1 = 3, 3^2 = 9 \equiv 1, 3^3 = 3, 3^4 = 9 \equiv 1 \pmod{8}$
الدورة طولها 2، و $2021 = 2 \times 1010 + 1$
إذن $3^{2021} \equiv 3^1 = 3 \pmod{8}$
النتيجة: $5 \times 1 + 3 = 8 \equiv 0 \pmod{8}$ ✓
التمرين 10:
معطى: $a = 6 \times 24 + 21 = 144 + 21 = 165$
نحسب قسمة 165 على 8:
$165 = 8 \times 20 + 5$
الجواب: خارج القسمة = 20، الباقي = 5
معطى: $a = 6 \times 24 + 21 = 144 + 21 = 165$
نحسب قسمة 165 على 8:
$165 = 8 \times 20 + 5$
الجواب: خارج القسمة = 20، الباقي = 5
التمرين 11:
$a = 10n + 7$
(1) القسمة على 10:
$a = 10n + 7$
خارج القسمة = n، الباقي = 7
(2) القسمة على 5:
$a = 10n + 7 = 5(2n) + 5 + 2 = 5(2n + 1) + 2$
خارج القسمة = 2n+1، الباقي = 2
(3) القسمة على 2:
$a = 10n + 7 = 2(5n) + 2(3) + 1 = 2(5n + 3) + 1$
خارج القسمة = 5n+3، الباقي = 1
(4) القسمة على 5n+3:
$a = 10n + 7 = 2(5n + 3) + 1$
خارج القسمة = 2، الباقي = 1
$a = 10n + 7$
(1) القسمة على 10:
$a = 10n + 7$
خارج القسمة = n، الباقي = 7
(2) القسمة على 5:
$a = 10n + 7 = 5(2n) + 5 + 2 = 5(2n + 1) + 2$
خارج القسمة = 2n+1، الباقي = 2
(3) القسمة على 2:
$a = 10n + 7 = 2(5n) + 2(3) + 1 = 2(5n + 3) + 1$
خارج القسمة = 5n+3، الباقي = 1
(4) القسمة على 5n+3:
$a = 10n + 7 = 2(5n + 3) + 1$
خارج القسمة = 2، الباقي = 1