تمارين قابلية القسمة

1

التمرين الأول

أحط بدائرة الأعداد القابلة للقسمة على:

أ) 2 و 3 في نفس الوقت من الأعداد:
8748, 4897, 5796, 4811, 7990, 5785
ب) 3 من الأعداد:
9814, 8642, 7652, 7533, 8646, 9339
ج) 4 و 3 في نفس الوقت من الأعداد:
6770, 8660, 5734, 3276, 5934, 5786
د) 5 و 3 في نفس الوقت من الأعداد:
9905, 8653, 6390, 8600, 6005, 7552
ع) 4 و 9 في نفس الوقت من الأعداد:
5820, 6444, 5733, 8216, 4736, 5232
س) 8 من الأعداد:
4446, 3912, 8766, 4538, 98734, 4518
ط) 3 و 8 في نفس الوقت من الأعداد:
4224, 1536, 3642, 5712, 6754, 3864
ك) 5 و 8 في نفس الوقت من الأعداد:
1200, 6350, 5325, 6275, 5835, 2775

الحل التفصيلي

قواعد القسمة المستخدمة:

القسمة على 2: الرقم الأخير زوجي

القسمة على 3: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 3

القسمة على 4: الرقمان الأخيران قابلان للقسمة على 4

القسمة على 5: الرقم الأخير 0 أو 5

القسمة على 8: الأرقام الثلاثة الأخيرة قابلة للقسمة على 8

القسمة على 9: مجموع الأرقام قابل للقسمة على 9

أ) الأعداد القابلة للقسمة على 2 و3:

نفحص كل عدد:

8748: زوجي ✓، مجموع الأرقام = 27 (قابل للقسمة على 3) ✓

5796: زوجي ✓، مجموع الأرقام = 27 (قابل للقسمة على 3) ✓

الإجابة: 8748, 5796

س) الأعداد القابلة للقسمة على 8:

نفحص الأرقام الثلاثة الأخيرة:

4446: 446 ÷ 8 = 55 باقي 6 ✗

8766: 766 ÷ 8 = 95 باقي 6 ✗

4538: 538 ÷ 8 = 67 باقي 2 ✗

يجب فحص جميع الأعداد بنفس الطريقة

2

التمرين الثاني

حدد x و y لكي يصبح العدد قابلاً للقسمة على:

1) 3 و 5 في كل حالة:
234xy, 10x2y, 2x4y, 32x5y, 36x5y, 4x7y
2) 9 و 5 في كل حالة:
34xy, 10x2y, 2x4y, 32x5y, 36x5y, 24x7y
3) 3 و 25 مع ذكر جميع الحلول إن وجدت:
34xy, 10x2y, 2x4y, 32x5y, 36x5y, 24x7y
4) 3 و 8 في كل حالة:
3x24y, 10xy24, 2x40y, 32x5y6
5) 9 و 8 في كل حالة:
34xy, 10x42y, 36x5y6, 24x7y0
6) 8 و 25 مع ذكر جميع الحلول:
34xy, 10x42y, 3665xy, 24x7y0
7) 5 و 4 و 3 مع ذكر جميع الحلول:
34xy, 10x42y, 36x5y6, 24x7y0

الحل التفصيلي

1) للعدد 234xy - القسمة على 3 و5:

للقسمة على 5: y = 0 أو y = 5

للقسمة على 3: مجموع الأرقام = 2+3+4+x+y = 9+x+y

لكي يقبل القسمة على 3: 9+x+y يجب أن يقبل القسمة على 3

بما أن 9 يقبل القسمة على 3، فنحتاج x+y يقبل القسمة على 3

إذا y = 0: x يجب أن يقبل القسمة على 3 → x ∈ {0,3,6,9}

إذا y = 5: x+5 يجب أن يقبل القسمة على 3 → x ∈ {1,4,7}

2) للعدد 34xy - القسمة على 9 و5:

للقسمة على 5: y = 0 أو y = 5

للقسمة على 9: مجموع الأرقام = 3+4+x+y = 7+x+y

لكي يقبل القسمة على 9: 7+x+y يجب أن يقبل القسمة على 9

إذا y = 0: 7+x يقبل القسمة على 9 → x = 2

إذا y = 5: 7+x+5 = 12+x يقبل القسمة على 9 → x = 6

3) للعدد 34xy - القسمة على 3 و25:

للقسمة على 25: الرقمان الأخيران xy يجب أن يكونا من: 00, 25, 50, 75

للقسمة على 3: 7+x+y يقبل القسمة على 3

xy = 00: 7+0+0 = 7 لا يقبل القسمة على 3 ✗

xy = 25: 7+2+5 = 14 لا يقبل القسمة على 3 ✗

xy = 50: 7+5+0 = 12 يقبل القسمة على 3 ✓

xy = 75: 7+7+5 = 19 لا يقبل القسمة على 3 ✗

الحل الوحيد: x = 5, y = 0

3

التمرين الثالث

اذكر من بين الأعداد التالية تلك التي تقبل القسمة على 8:

32085, 4098721, 78456, 65400, 100170

الحل التفصيلي

قاعدة القسمة على 8:

العدد قابل للقسمة على 8 إذا كانت الأرقام الثلاثة الأخيرة تكون عدداً قابلاً للقسمة على 8

فحص الأعداد:

32085: الأرقام الثلاثة الأخيرة = 085 → 85 ÷ 8 = 10 باقي 5 ✗

4098721: الأرقام الثلاثة الأخيرة = 721 → 721 ÷ 8 = 90 باقي 1 ✗

78456: الأرقام الثلاثة الأخيرة = 456 → 456 ÷ 8 = 57 باقي 0 ✓

65400: الأرقام الثلاثة الأخيرة = 400 → 400 ÷ 8 = 50 باقي 0 ✓

100170: الأرقام الثلاثة الأخيرة = 170 → 170 ÷ 8 = 21 باقي 2 ✗

الإجابة: 78456 و 65400

4

التمرين الرابع

بيّن أن:

1) العدد 18152² قابل للقسمة على 7
بين أن العدد قابل للقسمة على 7
بين أن العدد 2^18-2^15 قابل للقسمة على 4 و 5 في نفس الوقت
بين أن العدد قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت
بين أن العدد قابل للقسمة على 3
بين أن العدد قابل للقسمة على 3 و 2 في نفس الوقت
بين أن العدد قابل للقسمة على 21 و 4 في نفس الوقت
بين أن العدد قابل للقسمة على 7
بين أنه إذا كان n عدد صحيح طبيعي فإن 3n+6 و 6n+3
هل أنعدد صحيح زوجي و عدد صحيح فردي يكونان أوليان فيما بينهما؟
نعتبر العدد الصحيح الطبيعي الفردي n .
• حدد البواقي الممكنة لقسمة n على 3
• بين أن جذاء ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية متتالية هو مضاعف لـ 3
) استنتج ان يقبل القسمة على 12
بين أن كل عدد صحيح متكون من 3 أرقام متتالية يقبل القسمة على 3
حدد باقي و خارج قسمة x على 4
بين يقبل القسمة على 63
أوجد كل القيم الممكنة لعددين a وb بحيث a+b=90 و ق م أ (a,b) هو 6
8) إذا كان n عدد صحيح طبيعي فإن 3n+6 و 6n+3
9) هل أن عدد صحيح زوجي وعدد صحيح فردي يكونان أوليان فيما بينهما؟
10) نعتبر العدد الصحيح الطبيعي الفردي n. حدد البواقي الممكنة لقسمة n على 3
11) بيّن أن جداء ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية متتالية هو مضاعف لـ3
12) بيّن أن 2n(n-1)(n+1)
13) استنتج أن 3n(n-1) يقبل القسمة على 12
14) بيّن أن كل عدد صحيح متكون من 3 أرقام متتالية يقبل القسمة على 3
15) إذا كان 8x = 7y + 6 حدد باقي وخارج قسمة x على 4
16) بيّن أن (53² + 50²) - (53² - 50²) يقبل القسمة على 63
17) أوجد كل القيم الممكنة لعددين a وb بحيث a+b=90 وق.م.أ(a,b) هو 6
18) بيّن أن 8ⁿ⁺¹ + 8ⁿ = 8ⁿ × 9
19) استنتج القواسم الأولية للعدد 8ⁿ⁺¹ + 8ⁿ

الحل التفصيلي

11) جداء ثلاثة أعداد متتالية:

لتكن الأعداد الثلاثة المتتالية: n, n+1, n+2

الجداء = n(n+1)(n+2)

البرهان:

في أي ثلاثة أعداد متتالية، واحد منها على الأقل قابل للقسمة على 3

- إذا n ≡ 0 (mod 3) فإن n قابل للقسمة على 3

- إذا n ≡ 1 (mod 3) فإن n+2 ≡ 0 (mod 3)

- إذا n ≡ 2 (mod 3) فإن n+1 ≡ 0 (mod 3)

إذن في جميع الحالات الجداء قابل للقسمة على 3

16) إثبات قابلية (53² + 50²) - (53² - 50²) للقسمة على 63:

نبسط التعبير:

(53² + 50²) - (53² - 50²) = 53² + 50² - 53² + 50² = 2 × 50² = 2 × 2500 = 5000

نحسب: 5000 ÷ 63 = 79 باقي 23

العدد ليس قابلاً للقسمة على 63

18) إثبات 8ⁿ⁺¹ + 8ⁿ = 8ⁿ × 9:

8ⁿ⁺¹ + 8ⁿ = 8ⁿ × 8 + 8ⁿ = 8ⁿ(8 + 1) = 8ⁿ × 9

التساوي محقق

19) القواسم الأولية للعدد 8ⁿ⁺¹ + 8ⁿ:

بما أن 8ⁿ⁺¹ + 8ⁿ = 8ⁿ × 9 = 8ⁿ × 3²

و 8ⁿ = (2³)ⁿ = 2³ⁿ

إذن 8ⁿ⁺¹ + 8ⁿ = 2³ⁿ × 3²

القواسم الأولية هي: 2 و 3

5

التمرين الخامس

بيّن أن:

1) العدد 3²⁰¹³ + 3²⁰¹⁵ قابل للقسمة على 15
2) العدد 9²⁰³⁸ + 3¹⁰²⁰ قابل للقسمة على 15
3) العدد 9¹⁰⁰ + 3²⁰⁴ قابل للقسمة على 42
4) العدد 5³³⁶ + 7 × 125¹¹¹ قابل للقسمة على 11
5) العدد 2 × 7¹²¹ + 3 × 49⁶⁰ قابل للقسمة على 51
6) العدد 2³⁰¹⁴ + 4¹⁵⁰⁶ + 3 × 8¹⁰⁰⁵ قابل للقسمة على 44

الحل التفصيلي

1) إثبات قابلية 3²⁰¹³ + 3²⁰¹⁵ للقسمة على 15:

نبسط التعبير:

3²⁰¹³ + 3²⁰¹⁵ = 3²⁰¹³ + 3²⁰¹³ × 3² = 3²⁰¹³(1 + 9) = 3²⁰¹³ × 10

بما أن 15 = 3 × 5، نحتاج إثبات القابلية للقسمة على 3 و5

القسمة على 3: العامل 3²⁰¹³ يحتوي على 3 كعامل

القسمة على 5: العامل 10 يحتوي على 5 كعامل

إذن العدد قابل للقسمة على 15

3) إثبات قابلية 9¹⁰⁰ + 3²⁰⁴ للقسمة على 42:

بما أن 9 = 3²، فإن:

9¹⁰⁰ + 3²⁰⁴ = (3²)¹⁰⁰ + 3²⁰⁴ = 3²⁰⁰ + 3²⁰⁴ = 3²⁰⁰(1 + 3⁴) = 3²⁰⁰ × 82

نحلل 42 = 2 × 3 × 7 و 82 = 2 × 41

العدد = 3²⁰⁰ × 2 × 41

يحتوي على العوامل 2 و 3، لكن لا يحتوي على 7

لذا ليس قابلاً للقسمة على 42

4) إثبات قابلية 5³³⁶ + 7 × 125¹¹¹ للقسمة على 11:

بما أن 125 = 5³، فإن:

5³³⁶ + 7 × 125¹¹¹ = 5³³⁶ + 7 × (5³)¹¹¹ = 5³³⁶ + 7 × 5³³³ = 5³³³(5³ + 7) = 5³³³ × 132

نحسب: 132 ÷ 11 = 12 باقي 0

بما أن 132 = 11 × 12، فالعدد قابل للقسمة على 11

تمارين قابلية القسمة على 4 و 25 و 8