تمارين في الزوايا والمستقيمات المتوازية

التعليمات: بدون إجراء أي قياس، وباستخدام المعطيات المتوفرة في كل شكل فقط، حدد قياسات جميع الزوايا.
ملاحظة: الخطوط المنقطة متوازية في جميع الأشكال.
التحليل وقابلية القسمة (متقدم)
تمرين 14

أجب عن الأسئلة التالية مع التبرير:

  1. بين أن العدد $2^{18}-2^{15}$ قابل للقسمة على 7.
  2. بين أن العدد $2^{18}+2^{16}$ قابل للقسمة على 4 و 5 في نفس الوقت.
  3. بين أن العدد $3^{4}+3^{4}+3^{4}+3^{4}$ قابل للقسمة على 9 و 4 في نفس الوقت.
  4. بين أن العدد $5^{103}-2\times25^{50}$ قابل للقسمة على 3.
  5. بين أن العدد $243^{1001}-13\times3^{5000}$ قابل للقسمة على 3 و 2 في نفس الوقت.
  6. بين أن العدد $8^{666}+5\times2^{2000}$ قابل للقسمة على 21 و 4 في نفس الوقت.
  7. بين أن العدد $27^{2022}+5\times3^{6064}$ قابل للقسمة على 7.
  8. إذا كان n عدد صحيح طبيعي، فما هي العلاقة بين $3n+6$ و $6n+3$؟
  9. هل عدد صحيح زوجي و عدد صحيح فردي يكونان أوليان فيما بينهما دائمًا؟
  10. نعتبر العدد الصحيح الطبيعي الفردي n.
    • أ) حدد البواقي الممكنة لقسمة n على 3.
    • ب) بين أن جذاء ثلاثة أعداد صحيحة طبيعية متتالية هو مضاعف لـ 3.
  11. بين أن $n^{2}-1=(n-1)(n+1)$ ثم استنتج أن $n^2-1$ يقبل القسمة على 12 إذا كان n فرديًا وأوليًا مع 3.
  12. بين أن كل عدد صحيح متكون من 3 أرقام متتالية (مثل 123 أو 765) يقبل القسمة على 3.
  13. إذا كان $x=8y+7$، حدد باقي وخارج قسمة x على 4.
  14. بين أن $(2^{53}+2^{50})(2^{53}-2^{50})$ يقبل القسمة على 63.
  15. أوجد كل القيم الممكنة للعددين a و b بحيث a+b=90 و ق.م.أ (a,b) هو 6.
  16. أ) بين أن $8^{n+1}+8^{n}=8^{n}\times9$. ب) استنتج القواسم الأولية للعدد $8^{n+1}+8^{n}$.
  17. بين أن العدد $3^{2015}+3^{2013}$ قابل للقسمة على 15.
  18. بين أن العدد $9^{1020}+3^{2038}$ قابل للقسمة على 10.
  19. بين أن العدد $9^{100}+3^{204}$ قابل للقسمة على 82.
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

استراتيجيات مفتاحية:

  • توحيد الأساسات: قبل التحليل، حاول كتابة الأعداد على دليل القوة أولي مشترك (مثلاً: $9=3^2$, $8=2^3$, $25=5^2$, $243=3^5$).
  • إخراج العامل المشترك: هي الطريقة الأهم في معظم التمارين. أخرج دائمًا القوة ذات دليل القوة الأصغر.
  • المتطابقات الهامة: تذكر أن $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
  • القسمة الإقليدية: لفهم البواقي والعلاقة بين الأعداد (مثل سؤال 13).
  • القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ): في السؤال 15، إذا كان ق.م.أ(a,b)=d، يمكن كتابة a=dx و b=dy حيث x و y أوليان فيما بينهما.

📝 الطريقة

مثال تطبيقي (سؤال 5): بين أن $A = 243^{1001}-13\times3^{5000}$ يقبل القسمة على 3 و 2.

1. توحيد الدليل القوة: نعلم أن $243 = 3^5$.

\( A = (3^5)^{1001} - 13 \times 3^{5000} = 3^{5005} - 13 \times 3^{5000} \)

2. إخراج العامل المشترك: دليل القوة الأصغر هو 5000.

\( A = 3^{5000} \times (3^5 - 13) \)

3. حساب القيمة داخل القوس:

\( A = 3^{5000} \times (243 - 13) = 3^{5000} \times 230 \)

4. الاستنتاج:

  • العدد A يقبل القسمة على 3 لأن $3^{5000}$ من مضاعفات 3.
  • العدد A يقبل القسمة على 2 لأن 230 عدد زوجي.
  • إذن، العدد A يقبل القسمة على 3 و 2 في نفس الوقت.

طبق هذه الاستراتيجية على بقية التمارين.

✅ الحل الكامل

  1. $2^{15}(2^3-1) = 2^{15} \times 7$. يقبل القسمة على 7.
  2. $2^{16}(2^2+1) = 2^{16} \times 5$. $2^{16}$ يقبل القسمة على 4. إذن العدد يقبل القسمة على 4 و 5.
  3. $4 \times 3^4 = 4 \times 81$. يقبل القسمة على 4. و $4 \times (9 \times 9)$ يقبل القسمة على 9.
  4. $5^{100}(5^3-2) = 5^{100} \times 123$. و 123 يقبل القسمة على 3 (مجموع أرقامه 6).
  5. $3^{5000}(3^5-13) = 3^{5000} \times 230$. يقبل القسمة على 3 (عامل $3^{5000}$) وعلى 2 (عامل 230).
  6. $2^{1998}+5\times2^{2000} = 2^{1998}(1+5\times2^2) = 2^{1998} \times 21$. العدد يقبل القسمة على 21 وعلى 4 (لأن $2^{1998}=4\times2^{1996}$).
  7. $3^{6066}+5\times3^{6064} = 3^{6064}(3^2+5) = 3^{6064} \times 14$. يقبل القسمة على 7.
  8. $3n+6 = 3(n+2)$ و $6n+3=3(2n+1)$. كلاهما من مضاعفات 3.
  9. لا. مثال: 6 (زوجي) و 9 (فردي) ليسا أوليين فيما بينهما (ق.م.أ = 3).
  10. أ) العدد الفردي n لا يقبل القسمة على 3. بواقي القسمة الممكنة هي 1 أو 2. ب) في أي ثلاثة أعداد متتالية يوجد دائمًا عدد واحد على الأقل من مضاعفات 3، إذن الجذاء مضاعف لـ 3.
  11. إذا كان n فرديًا، فإن n-1 و n+1 عددان زوجيان متتاليان. أحدهما يقبل القسمة على 4 والآخر على 2، إذن جذاؤهما يقبل القسمة على 8. وبما أن n ليس من مضاعفات 3، فإن n-1 أو n+1 هو من مضاعفات 3. إذن، الجذاء يقبل القسمة على 8 وعلى 3، أي على 24. (التصحيح: السؤال يطلب القسمة على 12، وهو محقق).
  12. عدد مكون من 3 أرقام متتالية n, n+1, n+2. مجموع أرقامه هو $n+(n+1)+(n+2) = 3n+3 = 3(n+1)$، وهو دائمًا من مضاعفات 3.
  13. $x=8y+7 = 4(2y)+4+3 = 4(2y+1)+3$. الخارج هو $2y+1$ والباقي 3.
  14. باستخدام $a^2-b^2$: $(2^{53})^2-(2^{50})^2 = 2^{106}-2^{100} = 2^{100}(2^6-1) = 2^{100} \times 63$. يقبل القسمة على 63.
  15. a=6x, b=6y. $6(x+y)=90 \Rightarrow x+y=15$. الأزواج (x,y) الممكنة والأولية فيما بينها هي (1,14), (2,13), (4,11), (7,8). الحلول (a,b) هي (6,84), (12,78), (24,66), (42,48).
  16. أ) $8^n(8+1)=8^n\times9$. ب) القواسم الأولية تأتي من $8^n = (2^3)^n = 2^{3n}$ ومن $9=3^2$. القواسم الأولية هي 2 و 3.
  17. $3^{2013}(3^2+1)=3^{2013}\times10$. العدد يقبل القسمة على 3 وعلى 10، ولكن ليس بالضرورة على 15 (ملاحظة: يقبل على 3 و 5، إذن يقبل على 15).
  18. $3^{2040}+3^{2038} = 3^{2038}(3^2+1) = 3^{2038}\times10$. يقبل القسمة على 10.
  19. $3^{200}+3^{204} = 3^{200}(1+3^4) = 3^{200}\times82 = 3^{200}\times2\times41$. لا يقبل القسمة على 42. (ملاحظة: ربما هناك خطأ في السؤال).