تمارين في قابلية القسمة والأسس

- تاسعة أساسي
قابلية القسمة على 15
تمرين 1

بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 15:

$$ 7 \times 2^{121} + 8^{40} $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

لحل هذا التمرين، حاول توحيد الأسات. لاحظ أن العدد 8 يمكن كتابته كقوة للعدد 2. بعد ذلك، ابحث عن عامل مشترك.

📝 الطريقة

1. حوّل العدد 8 إلى قوة للعدد 2: $8^{40} = (2^3)^{40} = 2^{120}$.

2. أعد كتابة $2^{121}$ بدلالة $2^{120}$: $2^{121} = 2 \times 2^{120}$.

3. عوض في التعبير الأصلي وأخرج $2^{120}$ كعامل مشترك.

4. بسّط القوس الناتج لتظهر العدد 15.

✅ الحل الكامل

$$ 7 \times 2^{121} + 8^{40} = 7 \times 2^{121} + (2^3)^{40} = 7 \times 2^{121} + 2^{120} $$
$$ = 7 \times (2 \times 2^{120}) + 2^{120} = 14 \times 2^{120} + 1 \times 2^{120} $$
$$ = 2^{120} (14 + 1) = 2^{120} \times 15 $$

العدد هو جداء 15 في عدد صحيح، إذن هو يقبل القسمة على 15.

قابلية القسمة على 12
تمرين 2

بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 12:

$$ 9^{700} + 7 \times 27^{466} $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

وحد الأسات بكتابة 9 و 27 كقوى للعدد 3. تذكر أن $12 = 3 \times 4$.

📝 الطريقة

1. اكتب 9 و 27 كقوى للعدد 3: $9^{700} = (3^2)^{700} = 3^{1400}$ و $27^{466} = (3^3)^{466} = 3^{1398}$.

2. أخرج أصغر قوة للعدد 3 كعامل مشترك، وهي $3^{1398}$.

3. بسّط القوس الناتج. ستحصل على $3^{1398} \times 16$.

4. أعد كتابة التعبير لإظهار العامل 12.

✅ الحل الكامل

$$ 9^{700} + 7 \times 27^{466} = (3^2)^{700} + 7 \times (3^3)^{466} = 3^{1400} + 7 \times 3^{1398} $$
$$ = (3^2 \times 3^{1398}) + 7 \times 3^{1398} = 3^{1398} (3^2 + 7) $$
$$ = 3^{1398} (9 + 7) = 3^{1398} \times 16 $$
$$ = 3^{1397} \times 3 \times (4 \times 4) = (3^{1397} \times 4) \times (3 \times 4) = (3^{1397} \times 4) \times 12 $$

العدد هو جداء 12 في عدد صحيح، إذن هو يقبل القسمة على 12.

قابلية القسمة على 15 (ب)
تمرين 3

بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 15:

$$ 5^{720} + 2 \times 25^{359} $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

الهدف هو إثبات قابلية القسمة على 15، والذي يساوي $3 \times 5$. لديك بالفعل قوى للعدد 5. فكر كيف يمكنك إظهار العامل 3 بعد تبسيط التعبير.

📝 الطريقة

1. حوّل 25 إلى قوة للعدد 5: $25^{359} = (5^2)^{359} = 5^{718}$.

2. أخرج أصغر قوة للعدد 5 كعامل مشترك، وهي $5^{718}$.

3. بسّط القوس الناتج، ستحصل على $5^{718} \times 27$.

4. أعد كتابة التعبير لإظهار العامل 15 ($5 \times 3$).

✅ الحل الكامل

$$ 5^{720} + 2 \times 25^{359} = 5^{720} + 2 \times (5^2)^{359} = 5^{720} + 2 \times 5^{718} $$
$$ = (5^2 \times 5^{718}) + 2 \times 5^{718} = 5^{718}(5^2 + 2) $$
$$ = 5^{718}(25 + 2) = 5^{718} \times 27 $$
$$ = 5^{717} \times 5 \times (3 \times 9) = (5^{717} \times 9) \times (5 \times 3) = (5^{717} \times 9) \times 15 $$

العدد هو جداء 15 في عدد صحيح، إذن هو يقبل القسمة على 15.

قابلية القسمة على 12 (ب)
تمرين 4

بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 12:

$$ 2^{13} - 5 \times 4^5 $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

ابدأ بتحويل العدد 4 إلى قوة للعدد 2. بعد التبسيط، ستحتاج إلى إظهار العامل 12، والذي هو $3 \times 4$ (أو $3 \times 2^2$).

📝 الطريقة

1. حوّل 4 إلى قوة للعدد 2: $4^5 = (2^2)^5 = 2^{10}$.

2. أخرج أصغر قوة للعدد 2 كعامل مشترك، وهي $2^{10}$.

3. بسّط القوس الناتج. ستحصل على $2^{10} \times 3$.

4. أعد كتابة $2^{10}$ كـ $2^8 \times 2^2$ لتكوين العامل 12.

✅ الحل الكامل

$$ 2^{13} - 5 \times 4^5 = 2^{13} - 5 \times (2^2)^5 = 2^{13} - 5 \times 2^{10} $$
$$ = (2^3 \times 2^{10}) - 5 \times 2^{10} = 2^{10}(2^3 - 5) $$
$$ = 2^{10}(8 - 5) = 2^{10} \times 3 $$
$$ = 2^8 \times 2^2 \times 3 = 2^8 \times (4 \times 3) = 2^8 \times 12 $$

العدد هو جداء 12 في عدد صحيح، إذن هو يقبل القسمة على 12.

قابلية القسمة على 6
تمرين 5

بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 6:

$$ 3^{113} + 5 \times 3^{111} $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

العدد 6 يساوي $2 \times 3$. التعبير يحتوي بالفعل على قوى للعدد 3. كيف يمكنك إظهار العامل 2 بعد تبسيط التعبير؟

📝 الطريقة

1. أخرج أصغر قوة للعدد 3 كعامل مشترك، وهي $3^{111}$.

2. بسّط القوس الناتج، ستحصل على $3^{111} \times 14$.

3. فكك العدد 14 إلى عوامله الأولية ($2 \times 7$).

4. أعد تجميع العوامل لإظهار العدد 6.

✅ الحل الكامل

$$ 3^{113} + 5 \times 3^{111} = (3^2 \times 3^{111}) + 5 \times 3^{111} $$
$$ = 3^{111} (3^2 + 5) = 3^{111} (9 + 5) = 3^{111} \times 14 $$
$$ = 3^{111} \times (2 \times 7) = (3^{110} \times 3) \times 2 \times 7 $$
$$ = (3^{110} \times 7) \times (3 \times 2) = (3^{110} \times 7) \times 6 $$

العدد هو جداء 6 في عدد صحيح، إذن هو يقبل القسمة على 6.