دليل مساعدة لتمارين القسمة والأسس

نصائح عامة للتعامل مع التمارين

تهدف هذه التمارين إلى تعزيز فهمك لقابلية القسمة وخصائص الأسس. ركز على إخراج العوامل المشتركة واستخدام خصائص الأسس لتبسيط التعابير. تذكر القواعد الأساسية التالية:

تمرين 1: قابلية القسمة على 8

لإثبات أن $$ 5^{n+1} + 3 \times 5^n + 8 $$ يقبل القسمة على 8:

مثال: بعد إخراج العامل المشترك، يصبح التعبير: $$ 5^n(5 + 3) + 8 = 8 \times 5^n + 8 $$.

تمرين 2: قابلية القسمة على 7

لإثبات أن $$ 10^n + 4 \times 10^{n-1} + 7 $$ يقبل القسمة على 7:

مثال: التعبير يصبح: $$ 10^{n-1}(10 + 4) + 7 = 14 \times 10^{n-1} + 7 $$.

تمرين 3: إيجاد رقم الآحاد

لإيجاد رقم الآحاد لـ $$ 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} $$:

مثال: إذا كان $$ n \equiv 1 \pmod{4} $$، فإن رقم الآحاد لـ $$ 2^n $$ هو 2، لذا رقم الآحاد لـ $$ 7 \times 2^n $$ هو $$ 7 \times 2 = 14 \to 4 $$.

تمارين في القسمة والأسس

تمارين متقدمة في الحساب الجبري وقابلية القسمة
قابلية القسمة على 8
تمرين 1

بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 8:

$$ 5^{n+1} + 3 \times 5^n + 8 $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

حاول إخراج $5^n$ كعامل مشترك من الحدين الأولين. تذكر القاعدة: $a^{m+k} = a^m \times a^k$.

📝 الطريقة

1. فكك الحد الأول: $5^{n+1} = 5^n \times 5^1 = 5 \times 5^n$.

2. يصبح التعبير: $5 \times 5^n + 3 \times 5^n + 8$.

3. أخرج العامل المشترك $5^n$ من الحدين الأولين: $5^n(5 + 3) + 8$.

4. بسّط القوس ثم أخرج العامل المشترك 8 من التعبير بأكمله.

✅ الحل الكامل

$$ 5^{n+1} + 3 \times 5^n + 8 = (5 \times 5^n) + (3 \times 5^n) + 8 $$
$$ = 5^n(5 + 3) + 8 $$
$$ = 8 \times 5^n + 8 $$
$$ = 8 (5^n + 1) $$

بما أن التعبير يمكن كتابته على شكل جداء للعدد 8 في عدد صحيح آخر ($5^n+1$)، فإنه يقبل القسمة على 8.

قابلية القسمة على 7
تمرين 2

بين أن العدد التالي يقبل القسمة على 7:

$$ 10^n + 4 \times 10^{n-1} + 7 $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

حاول إخراج أصغر قوة للعدد 10 كعامل مشترك، وهي $10^{n-1}$. تذكر أن $10^n = 10^{n-1} \times 10$.

📝 الطريقة

1. أعد كتابة الحد الأول: $10^n = 10 \times 10^{n-1}$.

2. يصبح التعبير: $10 \times 10^{n-1} + 4 \times 10^{n-1} + 7$.

3. أخرج العامل المشترك $10^{n-1}$: $10^{n-1}(10+4) + 7$.

4. بسّط القوس ثم أخرج العامل المشترك 7.

✅ الحل الكامل

$$ 10^n + 4 \times 10^{n-1} + 7 = (10 \times 10^{n-1}) + (4 \times 10^{n-1}) + 7 $$
$$ = 10^{n-1}(10+4) + 7 $$
$$ = 14 \times 10^{n-1} + 7 $$
$$ = 7 \times (2 \times 10^{n-1}) + 7 \times 1 $$
$$ = 7 (2 \times 10^{n-1} + 1) $$

بما أن التعبير هو جداء للعدد 7 في عدد صحيح، فإنه يقبل القسمة على 7.

إيجاد رقم الآحاد
تمرين 3

أوجد رقم الآحاد للعدد التالي بدلالة $n$:

$$ 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} $$
التقدم: لم تبدأ بعد

💡 مؤشر

أولاً، بسّط التعبير بإخراج $2^n$ كعامل مشترك. بعد ذلك، ادرس دورية أرقام الآحاد لقوى العدد 2 (أي كيف يتكرر رقم الآحاد لـ $2^1, 2^2, 2^3, \dots$).

📝 الطريقة

1. بسّط التعبير: $2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n(1 + 2^1 + 2^2) = 2^n(1+2+4) = 7 \times 2^n$.

2. ادرس دورية آحاد قوى العدد 2:

  • $2^1 \to 2$
  • $2^2 \to 4$
  • $2^3 \to 8$
  • $2^4 \to 6$
  • $2^5 \to 2$ (تتكرر الدورة)

الدورة هي (2, 4, 8, 6) وطولها 4.

3. ادرس الحالات الأربع الممكنة لباقي قسمة $n$ على 4 لحساب رقم آحاد $7 \times 2^n$.

✅ الحل الكامل

أولاً، نبسط التعبير:

$$ 2^n + 2^{n+1} + 2^{n+2} = 2^n (1 + 2 + 4) = 7 \times 2^n $$

الآن، ندرس رقم الآحاد حسب باقي قسمة $n$ على 4:

$$ \begin{cases} \text{إذا كان } n = 4k+1 & \text{آحاد } 2^n \text{ هو } 2 \implies \text{آحاد } 7 \times 2 \text{ هو } 4 \\ \text{إذا كان } n = 4k+2 & \text{آحاد } 2^n \text{ هو } 4 \implies \text{آحاد } 7 \times 4 \text{ هو } 8 \\ \text{إذا كان } n = 4k+3 & \text{آحاد } 2^n \text{ هو } 8 \implies \text{آحاد } 7 \times 8 \text{ هو } 6 \\ \text{إذا كان } n = 4k & \text{آحاد } 2^n \text{ هو } 6 \implies \text{آحاد } 7 \times 6 \text{ هو } 2 \end{cases} $$

إذن، رقم الآحاد يعتمد على باقي قسمة $n$ على 4 وهو (4, 8, 6, 2) على التوالي.